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2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③
2．如图是二次函数的图象，使成立的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．一次函数y＝（k﹣1）x+3的图象经过点（﹣2，1），则k的值是（ ）
A．﹣1 B．2 C．1 D．0
4．关于x的方程ax2+bx+c＝0是一元二次方程，则满足（ ）
A．a≠0 B．a＞0 C．a≥0 D．全体实数
5．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，，以某点为位似中心，作出的位似图形，则位似中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点F，连接BC，BD，则错误结论为（ ）
A．OF=CF B．AF=BF C． D．∠DBC=90°
7．在中，，若，则的值为( )
A． B． C． D．
8．下列方程是一元二次方程的是( )
A． B． C． D．
9．如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
10．点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）都在反比例函数y=﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．计算的结果是__________．
12．如图，中，点在边上.若，，，则的长为______.
13．如图，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到的A、B的点E处，取AE、BE延长线上的C、D两点，使得CD∥AB，若测得CD＝5m，AD＝15m，ED＝3m，则A、B两点间的距离为_____m．
14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，tanA＝，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，点F是DE上一动点，以点F为圆心，FD为半径作⊙F，当FD＝_____时，⊙F与Rt△ABC的边相切．
15．九年级8班第一小组名同学在庆祝2020年新年之际，互送新年贺卡，表达同学间的真诚祝福，全组共送出贺卡30张，则的值是___．
16．已知二次函数的顶点坐标为，且与轴一个交点的横坐标为，则这个二次函数的表达式为__________．
17．如图，在等边△ABC中，AB=8cm，D为BC中点．将△ABD绕点A．逆时针旋转得到△ACE，则△ADE的周长为_________cm．
18．若正数a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，则a的值是______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
（1）求证：AD=CD；
（2）过点D作DEBA，垂足为E，作DFBC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD=CM，求直线DE与图形G的公共点个数．
20．（6分）在毕业晚会上，同学们表演哪一类型的节目由自己摸球来决定.在一个不透明的口袋中，装有除标号外其它完全相同的A、B、C三个小球，表演节目前，先从袋中摸球一次（摸球后又放回袋中），如果摸到的是A球，则表演唱歌；如果摸到的是B球，则表演跳舞；如果摸到的是C球，则表演朗诵.若小明要表演两个节目，则他表演的节目不是同一类型的概率是多少？
21．（6分）如图，为了测得旗杆AB的高度，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得旗杆顶点A的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m，又测得旗杆顶点A的仰角为60°，求旗杆AB的高度．
22．（8分）（1）如图①，在△ABC中，AB＝m，AC＝n（n＞m），点P在边AC上．当AP＝ 时，△APB∽△ABC；
（2）如图②，已知△DEF（DE＞DF），请用直尺和圆规在直线DF上求作一点Q，使DE是线段DF和DQ的比例项．（保留作图痕迹，不写作法）
23．（8分）如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm．温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，）．
24．（8分）关于x的一元二次方程为（ｍ－1）x2－2ｍx＋ｍ＋1＝0
（1）求出方程的根；
（2）ｍ为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
25．（10分）如图，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点．
（1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求出这两个函数图象的另一个交点的坐标，并根据图像写出使反比例函数的值大于一次函数的值的取值范围．
26．（10分）如图，在△ABC中，利用尺规作图，画出△ABC的内切圆．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线的对称轴方程得到b=-2a，则可对①②进行判断；利用判别式的意义可对③进行判断；利用平方差公式得到（a+b）2-b2=（a+b-b）（a+b+b），然后把b=-2a代入可对④进行判断．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，
∴b=-2a＜0，所以①正确；
∴b+2a=0，所以②错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2-4ac＞0，所以③正确；
∵（a+b）2-b2=（a+b-b）（a+b+b）=a（a+2b）=a（a-4a）=-3a2＜0，
∴（a+b）2＜b2，所以④正确．
故选：C．
【点睛】
考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
2、A
【分析】先找出抛物线与x轴的交点坐标，根据图象即可解决问题．
【详解】解：由图象可知，抛物线与x轴的交点坐标分别为（-3，0）和（1，0），
∴时，x的取值范围为．
故选：A．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点，对称轴等知识，解题的关键是学会数形结合,根据图象确定自变量的取值范围，属于中考常考题型．
3、B
【分析】函数经过点（﹣1，1），把点的坐标代入解析式，即可求得k的值．
【详解】解：根据题意得：﹣1（k﹣1）+3＝1，
解得：k＝1．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了函数的解析式与图象的关系，满足解析式的点一定在图象上，图象上的点一定满足函数解析式．
4、A
【解析】根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为1．
【详解】由于关于x的方程ax2+bx+c＝1是一元二次方程，所以二次项系数不为零，即a≠1．
故选：A．
【点睛】
此题考查一元二次方程的定义，熟记一元二次方程满足的条件即可正确解题.
5、C
【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心．
【详解】如图所示，点P即为位似中点，其坐标为（2，2），
故答案为：（2，2）．
【点睛】
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似中心的定义是解题关键．
6、A
【分析】分别根据垂径定理及圆周角定理对各选项进行分析即可．
【详解】解：∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于点F，
∴AF=BF，，∠DBC=90°，
∴B、C、D正确；
∵点F不一定是OC的中点，
∴A错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
7、C
【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠B，再求∠A，即可求解.
【详解】在中，，若，则∠B=30°
故∠A=60°，所以sinA=
故选：C
【点睛】
本题考查的是三角函数，掌握特殊角的三角函数值是关键.
8、B
【分析】一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
【详解】解：选项：是一元一次方程，故不符合题意；
选项：只含一个未知数，并且未知数最高次项是2次，是一元二次方程，故符合题意；
选项：有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；
选项：不是整式方程，故不符合题意；
综上，只有B正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，属于基础知识的考查，比较简单．
9、C
【解析】从上往下看，总体上是一个矩形，中间隔着一个竖直的同宽的小矩形，而挖空后长方体内的剩余部分用虚线表示为左右对称的两条靠近宽的线，选项C中图象便是俯视图.
故选：C.
10、C
【解析】将x的值代入函数解析式中求出函数值y即可判断．
【详解】当x=-3时，y1=1，
当x=-1时，y2=3，
当x=1时，y3=-3，
∴y3＜y1＜y2
故选：C．
【点睛】
考查反比例函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】先算开方，再算乘法，最后算减法即可．
【详解】
故答案为：．
【点睛】
本题考查了无理数的混合运算，掌握无理数的混合运算法则是解题的关键．
12、
【分析】根据相似三角形对应边成比例即可求得答案.
【详解】，
，
，，
，
解得：
故答案为：
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，找准对应边是解题的关键.
13、20m
【详解】∵CD∥AB，
∴△ABE∽△DCE，
∴，
∵AD=15m，ED=3m，
∴AE=AD-ED=12m，
又∵CD=5m,
∴，
∴3AB=60，
∴AB=20m.
故答案为20m.
14、或
【分析】如图1，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，切点为H，连接FH，则HF⊥AC，解直角三角形得到AC＝4，AB＝5，根据旋转的性质得到∠DCE＝∠ACB＝90°，DE＝AB＝5，CD＝AC＝4，根据相似三角形的性质得到DF＝；如图2，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，延长DE交AB于H，推出点H为切点，DH为⊙F的直径，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】如图1，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，切点为H，
连接FH，则HF⊥AC，
∴DF＝HF，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，tanA＝＝，
∴AC＝4，AB＝5，
将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，
∴∠DCE＝∠ACB＝90°，DE＝AB＝5，CD＝AC＝4，
∵FH⊥AC，CD⊥AC，
∴FH∥CD，
∴△EFH∽△EDC，
∴＝，
∴＝，
解得：DF＝；
如图2，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，延长DE交AB于H，
∵∠A＝∠D，∠AEH＝∠DEC
∴∠AHE＝90°，
∴点H为切点，DH为⊙F的直径，
∴△DEC∽△DBH，
∴＝，
∴＝，
∴DH＝，
∴DF＝，
综上所述，当FD＝或时，⊙F与Rt△ABC的边相切，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
15、1
【分析】根据题意列出方程，求方程的解即可．
【详解】根据题意可得以下方程
解得 （舍去）
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
16、
【分析】已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，把（3，0）代入求出的值即可．
【详解】设二次函数的解析式为，
∵抛物线与轴一个交点的横坐标为，则这个点的坐标为：（3，0），
∴将点（3，0）代入二次函数的解析式得，
解得：，
∴这个二次函数的解析式为：，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
17、12
【分析】由旋转可知，由全等的性质及等边三角形的性质可知是等边三角形，利用勾股定理求出AD长，可得△ADE的周长.
【详解】解：△ABC是等边三角形，
D为BC中点，AB=8
在中，根据勾股定理得
由旋转可知
是等边三角形
所以△ADE的周长为cm.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的判定和性质，灵活利用等边三角形的性质是解题的关键.
18、1
【解析】试题解析：∵a是一元二次方程x2-1x+m=0的一个根，-a是一元二次方程x2+1x-m=0的一个根，
∴a2-1a+m=0①，a2-1a-m=0②，
①+②，得2（a2-1a）=0，
∵a＞0，
∴a=1．
考点：一元二次方程的解．
三、解答题(共66分)
19、依题意画出图形G为⊙O，如图所示,见解析；（1）证明见解析；（2）直线DE与图形G的公共点个数为1个.
【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出图形G为⊙O，再根据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等得出；从而得出弦相等即可．
（2）先根据HL得出△CDF≌△CMF，得出DF=MF，从而得出BC为弦DM的垂直平分线，根据圆心角和圆周角之间的关系定理得出∠ABC=∠COD，再证得
DE为⊙O的切线即可
【详解】如图所示，依题意画出图形G为⊙O，如图所示
（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，
∴，∴AD=CD
（2）解：∵AD=CD，AD=CM，∴CD=CM.∵DF⊥BC，∴∠DFC=∠CFM=90°
在Rt△CDF和Rt△CMF中
，∴△CDF≌△CMF（HL），∴DF=MF，∴BC为弦DM的垂直平分线
∴BC为⊙O的直径，连接OD
∵∠COD=2∠CBD，∠ABC=2∠CBD，∴∠ABC=∠COD，∴OD∥BE.
又∵DE⊥BA，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线.
∴直线DE与图形G的公共点个数为1个.
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，圆心角和圆周角之间的关系定理，切线的判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
20、见解析
【分析】列举出所有情况，看他表演的节目不是同一类型的情况占总情况的多少即可．
【详解】法一：列表如下：
A
B
C
A
AA
AB
AC
B
BA
BB
BC
C
CA
CB
CC
法二：画树状图如下：
画树状图或列表
由上述树状图或表格知：所有可能出现的结果共有9种其中不是同一类型有6种因此他表演的节目不是同一类型的概率是
21、（16+5）米．
【详解】设AG=x．在Rt△AFG中，
∵tan∠AFG=，
∴FG=，在Rt△ACG中，
∵∠GCA=45°，
∴CG=AG=x，
∵DE=10，
∴x﹣=10，解得：x=15+5，
∴AB=15+5+1=16+5（米）．
答：电视塔的高度AB约为(16+5)米．
考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
22、（1）；（2）见解析.
【分析】（1）根据相似三角形的判定方法进行分析即可;
（2）直接利用相似三角形的判定方法以及结合做一角等于已知角进而得出答案．
【详解】（1）解：要使△APB∽△ABC成立，∠A是公共角，则,即,∴AP=.
（2）解：作∠DEQ＝∠F,
如图点Q就是所求作的点
【点睛】
本题考查了相似变换，正确掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
23、该台灯照亮水平面的宽度BC大约是67.1cm．
【解析】试题分析：根据sin75°=，求出OC的长，根据tan10°=，再求出BC的长，即可求解．
试题解析：在直角三角形ACO中，sin75°=≈0.97，解得OC≈18.8，在直角三角形BCO中，tan10°==≈，解得BC≈67.1．
答：该台灯照亮水平面的宽度BC大约是67.1cm．
考点：解直角三角形的应用．
24、（1）∴．
（2）ｍ=2或3 ．
【解析】（1）利用一元二次方程求根根式解方程．
（2）利用（1）中x的值来确定m的值．
【详解】解：（1）根据题意得ｍ≠1，
△＝（–2ｍ）2－4（ｍ－1）（ｍ＋1）＝4 ，
∴．
（2）由（1）知，
∵方程的两个根都是正整数，∴是正整数．
∴ｍ－1=1或2. ．∴ｍ=2或3 ．
考点：公式法解一元二次方程，一元二次方程的解．
25、（1），；（2）x＜－2，或0＜x＜1
【分析】（1）把A（1，-k+4）代入解析式，即可求出k的值；把求出的A点坐标代入一次函数的解析式，即可求出b的值；从而求出这两个函数的表达式；
（2）将两个函数的解析式组成方程，其解即为另一点的坐标．当一次函数的值小于反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值x的取值范围．
【详解】解：（1）由题意，得，
∴k＝2，
∴A（1，2），2＝b＋1
∴b＝1，
反比例函数表达式为：，
一次函数表达式为：．
（2）又由题意，得，
，
解得
∴B（－2，－1），
∴当x＜－2，或0＜x＜1时，反比例函数大于一次函数的值．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的综合，能正确看图象是解题的关键．
26、见解析
【分析】分别作出三角形两个内角的角平分线，交点即为三角形的内心，也就是三角形内切圆的圆心，进而得出即可．
【详解】如图所示
【点睛】
此题主要考查了复杂作图，正确把握三角形内心位置确定方法是解题关键．
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