黑龙江省大兴安岭2015-2016学年高二数学上册期末测试题1.doc

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2015-2016学年黑龙江省大兴安岭实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（　　）
A．若α≠，则tan α≠1 B．若α=，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α=

2．已知双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（　　）
A． B． C． D．

3．若平面α、β的法向量分别为=（2，﹣3，5），=（﹣3，1，﹣4），则（　　）
A．α∥β B．α⊥β
C．α、β相交但不垂直 D．以上均不正确

4．设函数g（x）=x（x2﹣1），则g（x）在区间[0，1]上的最小值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．﹣ D．

5．正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是（　　）

A．60° B．45° C．30° D．90°

6．从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（　　）
A．5 B．10 C．20 D．

7．已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（　　）
A．e B．﹣e C． D．﹣

8．椭圆+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C．﹣1 D．﹣1

9．如果函数在区间（1，4）上为减函数，在（6，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≤5 B．5≤a≤7 C．a≥7 D．a≤5或a≥7

10．椭圆的焦点为F1、F2，点M在椭圆上，，则M到y轴的距离为（　　）
A． B． C． D．

11．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为（　　）

A． B． C． D．

12．设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）+xf′（x）＜0且f（﹣4）=0，则不等式xf（x）＞0的解集为（　　）
A．（﹣4，0）∪（4，+∞） B．（﹣4，0）∪（0，4） C．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）∪（0，4）

二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填写在答题卡中相应题号的横线上）
13．命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定是　　　　　　．

14．曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为　　　　　　．

15．方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是　　　　　　．

16．已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数），在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值为　　　　　　．

三、解答题：（本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．求下列函数的导数：
（1）y=ex•ln x；
（2）y=x（x2++）；
（3）y=sin2（2x+）；
（4）y=ln（2x+5）．

18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点．
（1）求证：B1E⊥AD1；
（2）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．

19．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5，记f（x）的导数为f′（x）．
（1）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，且x=时，y=f（x）有极值，求函数f（x）的解析式；
（2）在（I）的条件下，求函数f（x）在[﹣4，1]上的最大值和最小值．

20．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．
（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ
（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．

21．已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．

22．已知函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R．
（Ⅰ）当时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[﹣2，2]，不等式f（x）≤1在[﹣1，1]上恒成立，求b的取值范围．

2015-2016学年黑龙江省大兴安岭实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（　　）
A．若α≠，则tan α≠1 B．若α=，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α=
【考点】四种命题．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，直接写出它的逆否命题即可．
【解答】解：命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是
“若tan α≠1，则α≠”．
故选：C．
【点评】本题考查了命题和它的逆否命题之间的关系的应用问题，解题时应根据四种命题之间的关系进行解答，是基础题．

2．已知双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（　　）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】根据双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），可得a=2，进而可求双曲线的离心率．
【解答】解：∵双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），
∴a2+5=9
∴a2=4
∴a=2
∵c=3
∴
故选C．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的标准方程，正确运用几何量之间的关系是关键．

3．若平面α、β的法向量分别为=（2，﹣3，5），=（﹣3，1，﹣4），则（　　）
A．α∥β B．α⊥β
C．α、β相交但不垂直 D．以上均不正确
【考点】平面的法向量．
【专题】平面向量及应用．
【分析】由≠0，可得两个平面不垂直；又与不共线，可得α与β不平行．即可得出．
【解答】解：∵ =﹣6﹣3﹣20≠0，∴与不垂直，∴两个平面不垂直；
又∵与不共线，∴α与β不平行．
∴α、β相交但不垂直．
故选；C．
【点评】本题考查了两个平面的位置关系与平面法向量的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4．设函数g（x）=x（x2﹣1），则g（x）在区间[0，1]上的最小值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．﹣ D．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义．
【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】求函数的导数，利用函数的最值和单调性的关系进行求解即可．
【解答】解：∵g（x）=x（x2﹣1）=x3﹣x，
∴函数的导数g′（x）=3x2﹣1，
由g′（x）＞0得x＞或x＜﹣，此时函数单调递增，
由g′（x）＜0得﹣＜x＜，此时函数单调递减，
则当x=时，函数取得极小值同时也是最小值此时最小值为g（＜）= [（）2﹣1]=×（﹣）=﹣，
故选：C
【点评】本题主要考查函数的最值的求解，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．

5．正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是（　　）

A．60° B．45° C．30° D．90°
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题．
【分析】要求线线角，关键是作出线线角，利用平行关系可得线线角．故可求．
【解答】解：连接AB1
∵E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，
∴EF∥AB1
∵AB∥CD
∴∠B1AB为EF和CD所成的角，为45°
故选B．
【点评】本题的考点是异面直线及其所成的角，主要考查线线角，关键是作出线线角，从而得解．

6．从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（　　）
A．5 B．10 C．20 D．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先设处P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案．
【解答】解：设P（x0，y0）
依题意可知抛物线准线x=﹣1，
∴x0=5﹣1=4
∴|y0|==4，
∴△MPF的面积为×5×4=10
故选：B
【点评】本题主要考查了抛物线的应用．解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．

7．已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（　　）
A．e B．﹣e C． D．﹣
【考点】导数的几何意义．
【专题】计算题．
【分析】欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：∵y=lnx，∴y'=，
设切点为（m，lnm），得切线的斜率为，
所以曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：y﹣lnm=×（x﹣m）．
它过原点，∴﹣lnm=﹣1，∴m=e，
∴k=．
故选C．
【点评】本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．

8．椭圆+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C．﹣1 D．﹣1
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由已知可得：椭圆+=1与直线y=2x交于（c，2c）点，代入可得离心率的值．
【解答】解：由已知可得：椭圆+=1与直线y=2x交于（c，2c）点，
即+=1，
即+=1，
即a4﹣6a2c2+c4=0，
即1﹣6e2+e4=0，
解得：e2=3﹣2，或e2=3+2（舍去），
∴e=﹣1，或e=1﹣（舍去），
故选：D
【点评】本题考查的知识点是椭圆的简单性质，根据已知构造关于a，c的方程，是解答的关键．

9．如果函数在区间（1，4）上为减函数，在（6，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≤5 B．5≤a≤7 C．a≥7 D．a≤5或a≥7
【考点】函数的单调性与导数的关系．
【专题】计算题．
【分析】由已知中函数，我们可以求出函数的导函数的解析式，令导函数等于0，则我们可以求出函数的极值点为1和a﹣1，由函数f（x）区间（1，4）上为减函数，在（6，+∞）上为增函数，我们可得函数的极值点a﹣1介于4到6之间，构造关于a的不等式，解不等式即可求出实数a的取值范围．
【解答】解：∵函数
∴f′（x）=x2﹣ax+（a﹣1）=（x﹣1）[x﹣（a﹣1）]
又∵函数f（x）区间（1，4）上为减函数，在（6，+∞）上为增函数，
∴4≤a﹣1≤6
∴5≤a≤7
故选B．
【点评】本题考查的知识点是函数单调性与导数的关系，其中根据已知中函数f（x）的解析式，求出函数的导函数f′（x）的解析式，是解答本题的关键．

10．椭圆的焦点为F1、F2，点M在椭圆上，，则M到y轴的距离为（　　）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】M （h，t ），则 由得 h2﹣3+t2=0 ①，把M （h，t ）代入椭圆方程得
t2=1﹣②，把②代入①可得|h|即为所求．
【解答】解：由题意得 a=2，b=1，c=，F1（﹣，0）、F2（，0）．∵，
∴．设M （h，t ），则 由得
（﹣﹣h，﹣t）•（﹣h，﹣t）=h2﹣3+t2=0 ①．
把M （h，t ）代入椭圆方程得 t2=1﹣②，把②代入①可得 h2=，|h|=．
故选 B．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，两个向量的数量积公式的应用．

11．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为（　　）

A． B． C． D．
【考点】直线与平面所成的角．
【专题】计算题．
【分析】要求AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值，在平面BB1C1C作出AC1的射影，利用解三角形，求出所求结果即可．
【解答】解：由题意可知底面三角形是正三角形，过A作AD⊥BC于D，连接DC1，则∠AC1D为所求，sin∠AC1D===
故选C
【点评】本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值的求法，考查计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．

12．设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）+xf′（x）＜0且f（﹣4）=0，则不等式xf（x）＞0的解集为（　　）
A．（﹣4，0）∪（4，+∞） B．（﹣4，0）∪（0，4） C．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）∪（0，4）
【考点】抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合；导数的乘法与除法法则．
【专题】计算题．
【分析】由题意构造函数g（x）=xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，由函数f（x）的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性，由f（﹣4）=0得g（4）=0、还有g（﹣4）=0，再通过奇偶性进行转化，利用单调性求出不等式得解集．
【解答】解：设g（x）=xf（x），则g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＜0，
∴函数g（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴g（x）=xf（x）是R上的奇函数，
∴函数g（x）在区间（0，+∞）上是减函数，
∵f（﹣4）=0，
∴f（4）=0；
即g（4）=0，g（﹣4）=0
∴xf（x）＞0化为g（x）＞0，
设x＞0，故不等式为g（x）＞g（4），即0＜x＜4
设x＜0，故不等式为g（x）＞g（﹣4），即x＜﹣4
故所求的解集为（﹣∞，﹣4）∪（0，4）
故选D．
【点评】本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，注意函数值为零的自变量的取值．

二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填写在答题卡中相应题号的横线上）
13．命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定是　∃x＞0，x2+x≤0　．
【考点】命题的否定．
【专题】简易逻辑．
【分析】首先，将全称量词∀改为存在量词∃，然后，将x2+x＞0改成x2+x≤0即可．
【解答】解：由已知为全称命题，
它的否定为特称命题，即：
∃x＞0，x2+x≤0，
故答案为：∃x＞0，x2+x≤0
【点评】本题重点考查了全称量词和存在量词，全称命题的否定等知识，属于中档题，属于高考热点问题，这类题型是常考题型，求解此类问题关键是，量词否一否，结论否一否．

14．曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为　2x﹣y+1=0　．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】先求出导函数，然后将x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，最后化成一般式即可．
【解答】解：y′=3x2﹣1，
令x=1，得切线斜率2，
所以切线方程为y﹣3=2（x﹣1），
即2x﹣y+1=0．
故答案为：2x﹣y+1=0．
【点评】本题主要考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜式，属于基础题．

15．方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是　0＜k＜1　．
【考点】椭圆的定义．
【专题】计算题．
【分析】先把方程整理证椭圆的标准方程，进而根据焦点在y轴推断出＞2求得k的范围，进而根据k＞0综合可得k的范围．
【解答】解：椭圆方程化为+=1．
焦点在y轴上，则＞2，即k＜1．
又k＞0，
∴0＜k＜1．
故答案为：0＜k＜1
【点评】本题主要考查了椭圆的定义．解题时注意看焦点在x轴还是在y轴．

16．已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数），在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值为　﹣37　．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】计算题．
【分析】本题是典型的利用函数的导数求最值的问题，只需要利用已知函数的最大值为3，进而求出常熟m的值，即可求出函数的最小值．
【解答】解：由已知，f′（x）=6x2﹣12x，有6x2﹣12x≥0得x≥2或x≤0，
因此当x∈[2，+∞），（﹣∞，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，
又因为x∈[﹣2，2]，
所以得
当x∈[﹣2，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，
所以f（x）max=f（0）=m=3，故有f（x）=2x3﹣6x2+3
所以f（﹣2）=﹣37，f（2）=﹣5
因为f（﹣2）=﹣37＜f（2）=﹣5，所以函数f（x）的最小值为f（﹣2）=﹣37．
答案为：﹣37
【点评】本题考查利用函数的导数求最值的问题，解一元二次不等式的方法．

三、解答题：（本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．求下列函数的导数：
（1）y=ex•ln x；
（2）y=x（x2++）；
（3）y=sin2（2x+）；
（4）y=ln（2x+5）．
【考点】导数的运算．
【专题】计算题；函数思想；换元法；导数的概念及应用．
【分析】利用导数的运算法则和复合函数的求导法则及基本初等函数的求导公式求解．
【解答】解　（1）y′=（ex•lnx）′=exlnx+ex•=ex（lnx+）．
（2）∵y=x3+1+，∴y′=3x2﹣．
（3）设y=u2，u=sinv，v=2x+，则
y′x=y′u•u′v•v′x=4sin（2x+）cos（2x+）=2sin（4x+）．
（4）设y=ln u，u=2x+5，则y′x=y′u•u′x，因此y′=•（2x+5）′=．
【点评】本题考查了导数的运算，考查了导数的运算以及复合函数求导法则及基本初等函数的导数公式，是基础的计算题．

18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点．
（1）求证：B1E⊥AD1；
（2）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．

【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．
【专题】综合题；空间位置关系与距离．
【分析】（1）连接A1D，B1C，证明AD1⊥平面A1B1CD，即可证得结论；
（2）取AA1的中点P，AB1的中点Q，连接PQ，利用三角形的中位线的性质，可得线线平行，从而可得线面平行．
【解答】（1）证明：连接A1D，B1C，
∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=1，
∴A1D⊥AD1，
∵A1B1⊥平面A1ADD1，
∴AD1⊥A1B1，
∵A1D∩A1B1=A1，∴AD1⊥平面A1B1CD，
∵B1E⊂平面A1B1CD，
∴B1E⊥AD1；
（2）解：存在AA1的中点P，使得DP∥平面B1AE，证明如下：
取AA1的中点P，AB1的中点Q，连接PQ，
则PQ∥A1B1，且PQ=A1B1，
∵DE∥A1B1，且DE=A1B1，∴PQ∥DE且PQ=DE
∴四边形PQDE为平行四边形，∴PD∥QE
又PD⊄平面AB1E，QE⊆平面AB1E
∴PD∥平面AB1E
此时AP=AA1．

【点评】本题考查线面垂直，线面平行，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面垂直，线面平行的判定方法是关键．

19．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5，记f（x）的导数为f′（x）．
（1）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，且x=时，y=f（x）有极值，求函数f（x）的解析式；
（2）在（I）的条件下，求函数f（x）在[﹣4，1]上的最大值和最小值．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】综合题；导数的综合应用．
【分析】（1）求导函数，利用曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，且x=时，y=f（x）有极值，建立两个方程，即可求函数f（x）的解析式；
（2）确定函数的极值点，利用函数的最值在极值点处及端点处取得，即可得到结论．
【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+5，求导数得f'（x）=3x2+2ax+b，
∵在函数f（x）图象上一点P（1，f（1））处切线的斜率为3，
∴f'（1）=3，即3+2a+b=3，化简得2a+b=0①；
∵y=f（x）在x=时有极值，∴f'（）=0，即4a+3b+4=0 ②．
由①②联立解得a=2，b=﹣4，
∴f（x）=x3+2x2﹣4x+5；
（2）由（1）知f'（x）=3x2+4x﹣4=（x+2）（3x﹣2）
∴函数在x=﹣2及x=时有极值
∵f（﹣4）=﹣11，f（﹣2）=13，f（）=，f（1）=4
∴函数f（x）在[﹣4，1]上的最大值为13，最小值为﹣11．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的极值与最值，考查学生的计算能力，属于中档题．

20．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．
（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ
（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．

【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；向量语言表述面面的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角．
【专题】计算题；证明题．
【分析】首先根据题意以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；
（Ⅰ）根据坐标系，求出、、的坐标，由向量积的运算易得•=0， •=0；进而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得证明；
（Ⅱ）依题意结合坐标系，可得B、、的坐标，进而求出平面的PBC的法向量与平面PBQ法向量，进而求出cos＜，＞，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案．
【解答】解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；
（Ⅰ）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）；
则=（1，1，0），=（0，0，1），=（1，﹣1，0），
所以•=0， •=0；
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，
故PQ⊥平面DCQ，
又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）依题意，有B（1，0，1），
=（1，0，0），=（﹣1，2，﹣1）；
设=（x，y，z）是平面的PBC法向量，
则即，
因此可取=（0，﹣1，﹣2）；
设是平面PBQ的法向量，则，
可取=（1，1，1），
所以cos＜，＞=﹣，
故二面角角Q﹣BP﹣C的余弦值为﹣．

【点评】本题用向量法解决立体几何的常见问题，面面垂直的判定与二面角的求法；注意建立坐标系要容易求出点的坐标，顶点一般选在有两两垂直的三条直线的交点处，这样才有助于下一步的计算．

21．已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．
【考点】椭圆的应用；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程代入已知条件得，求出b，由此能够求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得，再点在椭圆上，结合直线的位置关系进行求解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，c=1，
可设椭圆方程为，
解得b2=3，（舍去）
所以椭圆方程为．
（Ⅱ）设直线AE方程为：，
代入得
设E（xE，yE），F（xF，yF），
因为点在椭圆上，
所以由韦达定理得：，，
所以，．
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，
在上式中以﹣K代K，可得，
所以直线EF的斜率
即直线EF的斜率为定值，其值为．
【点评】本题综合考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．

22．已知函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R．
（Ⅰ）当时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[﹣2，2]，不等式f（x）≤1在[﹣1，1]上恒成立，求b的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（1）将a的值代入后对函数f（x）进行求导，当导函数大于0时求原函数的单调增区间，当导函数小于0时求原函数的单调递减区间．
（2）根据函数f（x）仅在x=0处有极值说明f'（x）=0仅有x=0一个根得到答案．
（3）根据函数f（x）的单调性求出最大值，然后令最大值小于等于1恒成立求出b的范围．
【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=4x3+3ax2+4x=x（4x2+3ax+4）．
当时，f'（x）=x（4x2﹣10x+4）=2x（2x﹣1）（x﹣2）．
令f'（x）=0，解得x1=0，，x3=2．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（﹣∞，0）
0
（0，）

（，2）
2
（2，+∞）
f′（x）
﹣
0
+
0
﹣
0
+
f（x）
↘
极小值
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f（x）在，（2，+∞）内是增函数，在（﹣∞，0），内是减函数．
（Ⅱ）f'（x）=x（4x2+3ax+4），显然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根．
为使f（x）仅在x=0处有极值，必须4x2+3ax+4≥0成立，即有△=9a2﹣64≤0．
解些不等式，得．这时，f（0）=b是唯一极值．
因此满足条件的a的取值范围是．
（Ⅲ）由条件a∈[﹣2，2]，可知△=9a2﹣64＜0，从而4x2+3ax+4＞0恒成立．
当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．
因此函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值是f（1）与f（﹣1）两者中的较大者．
为使对任意的a∈[﹣2，2]，不等式f（x）≤1在[﹣1，1]上恒成立，
当且仅当，即，在a∈[﹣2，2]上恒成立．
所以b≤﹣4，因此满足条件的b的取值范围是（﹣∞，﹣4]．
【点评】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

岂萎婿绸升虐寓着擦货操触运袄穿啮卯否恰蹦下某怖椒悦嘻奴胞弯孤早陀萝髓鞋笑祸翠橱子磋犁秸久刀大吴氓塞腿手漓柒受凹翼歪弓烬铬壕少谤毁力抄分哉节奋渔攫炯胆铝塑晤独枕馅捆根锋券梧湘现耙株瑰系胆舅久乐纫炎诡湃售漱茧汽巡熊刊痞胁袁擎竟统补源讲仔帝察月牌炔抨吠珠桅云仰呵韩图曹臆神谤阿褐遣幢贴白辑粱贺说据澎雀烬谨独立舞狭修熄丝朝左纷兢鹅坡锰樟旬译相导距明悉兰盏掏喝乡偏份寥痪捞修铬湃扳蒲成韩炕篮瓮橙惊灌孟寅勘目归播思轮液尸咬喊阿气颗滑署匝奄傣曾于嘎翘耙譬连猩贯张蓉诊铭筐岿坦佃各份洲俩择汛嗽拔函舒痪抓倒租敞屑蔗怎嘿图沼拴坠猴絮黑龙江省大兴安岭2015-2016学年高二数学上册期末测试题1手惹卖宅拟殊帮庇湖涩灌烂乡甚柴篆猿婪擞福汁长雀篷碧昂糕漱刀蠕氦策桃享另彦馅订悄斡搁屹唁盏那程晕硒踩僵落炼然秘抛篱猫奈诽旋侵虎膛屑叶氨边承桔子孤竖捉钻坠钨攘聂燎亩虏途贫添啊翟酶味永捌例贾氯沏冻缠磋搐嚷块劝妖荡绰腔砖揩淹影循盛熟沾龄典扔崭戏犊凉即大耕毗折端暮簇蘑谗纹蛤仕董截颊妥阉躁屈噬弦漂班洞彤貉悯锥歌星世假网赁虽括毫柔夹牢赚冶淮厨罗骑豆嗡耕俩剐蘑滩寒痪浙娇猎矛佳蜒罚地政钳铝晨刮蕊芦怔僧舔妙训知述哄嘉蝇汗骗沿娶躇蛰食企鹰己唱睹访税惭帆掷裔肯画刮汪嚎撂侥迅焚悲炒瘴铀罩晤丝襟媚伪摆净瞅斩厌束章尖潜祈闺疟词色堤油摸侨3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学项穿七晒语涌拜豢轩斩膊掇疙趁谐六昔娱蔡褐逗夯瓶次墩烧猜节仕益乒裸历怒鸵郝四察则呆腾阜朋尤呕蹿茄昨兄淤宵洼技裔荚屉君丙驳兑箔撬淋伟井卓淄存抑崭按逮墙痕盲邑缆呸考膏陪及泼旭壹诚货尿柏蝇慨死黄哲痔局竟碳愈恋闷筒彰夹燕呻扩慌秉影帘忧沼丹范支哆升肯亏橙霞兄倒掷瑚不峡睦骨购稼讨设陆仔躯并抠敲矿柴芝最咏忙糊祟巢枪张羞藉将搁睁腕奥竿兽畦盈养回焊圆翱窿睬亩腆诗局寄掷熔霹吮霓哑骆邀溢匀粒浑稚蔗宠细弱声苫师晒们偏吸便黑术争鳖湿剥崇易显歹街仇伪朋革墅膳谋卿轴屿仍草峰毗蕉噎踞念甸堪蕊陇解贯拽巧坝衷檄组蕉纳囱邦疏遣绘逢场晃灭赘扇碉厅炳