高三极坐标与参数方程综合练习题.doc

高三极坐标与参数方程综合练习题
1. (2016·全国Ⅱ，23)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A、B两点，
|AB|＝，求l的斜率.

2. (2015·全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋
(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积.

3. (2016·全国Ⅲ，23)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标系方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.

4. (2014·辽宁，23)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(1)写出C的参数方程；
(2)设l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.

5. (2015·湖南，16Ⅱ)已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点M的直角坐标为(5，)，l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值.

6. 已知直线l的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos.
(1)求直线l的倾斜角； (2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|.

7. (2016·高考全国模拟一)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)倾斜角α＝的直线l经过点P(1，2).
(1)写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；
(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值.

8. (2016·南昌模拟)已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的非负半轴重合，且长度单位相同.直线l的极坐标方程为：
ρsin＝10，曲线C：(α为参数)，其中α∈[0，2π).
(1)试写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；
(2)若点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值.

9. (2014·全国Ⅰ卷)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数).
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.

10. (2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设
l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M为与C的交点，求M的极径.

11. 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线M的直角坐标方程为x－2y＋2＝0(x>0).
(1)以曲线M上的点与点O连线的斜率k为参数，写出曲线M的参数方程；
(2)设曲线C与曲线M的两个交点为A，B，求直线OA与直线OB的斜率之和.

12. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ－2cosθ－6sinθ＋＝0，直线l的参数方程为(t为参数).
(1)求曲线C的普通方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，点P的坐标为(3，3)，求|PA|＋|PB|的值.

高三极坐标与参数方程综合练习题参考答案
1. 解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R).
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.
由|AB|＝得cos2α＝，tanα＝±.
所以l的斜率为或－.
2. 解　(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，
C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－3ρ＋4＝0，
解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.
由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，
所以△C2MN的面积为.
3. 解　(1)C1的普通方程为＋y2＝1.C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cosα，sinα).
因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2距离d(α)的最小值，
d(α)＝＝.
当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.
4. 解　(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，
依题意，得由x＋y＝1得x2＋＝1，
即曲线C的方程为x2＋＝1.故C的参数方程为(t为参数).
(2)由解得：或
不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，于是所求直线方程为y－1＝，化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即ρ＝.
5. 解　(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①
将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②
(2)将代入②式，得t2＋5t＋18＝0.
设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，
|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.
6. 解　(1)直线的参数方程可以化为
根据直线参数方程的意义，直线l经过点，倾斜角为60°.
(2)直线l的直角坐标方程为y＝x＋，
ρ＝2cos的直角坐标方程为＋＝1，
所以圆心到直线l的距离d＝. 所以|AB|＝.
7. [解]　(1)消去θ得圆的标准方程为x2＋y2＝16.
直线l的参数方程为即(t为参数).
(2)把直线l的方程代入x2＋y2＝16.得＋＝16.
即t2＋(2＋)t－11＝0.
所以t1·t2＝－11，即|PA|·|PB|＝11.
8. 解　(1)∵ρsin＝10，∴ρsin θ－ρcos θ＝10，直线l的直角坐标方程：x－y＋10＝0.
由曲线C：(α为参数)，得曲线C：x2＋(y－2)2＝4.
(2)由(1)可知，x2＋(y－2)2＝4的圆心(0，2)，半径为2.
圆心到直线的距离为：
d＝＝4，点P到直线l距离的最大值：4＋2.
9. 解　(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝|4cosθ＋3sinθ－6|.
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为；
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
10. 解　(1)由l1：(t为参数)消去t，化为l1的普通方程y＝k(x－2)，①
同理得直线l2的普通方程为x＋2＝ky，②
联立①，②消去k，得x2－y2＝4(y≠0).
所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0).
(2)将直线l3化为普通方程为x＋y＝，
联立得
∴ρ2＝x2＋y2＝＋＝5，∴与C的交点M的极径为.
11. 解　(1)由得
故曲线M的参数方程为.
(2)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，∴x2＋y2＝4x.
将代入x2＋y2＝4x整理得k2－4k＋3＝0，∴k1＋k2＝4.
故直线OA与直线OB的斜率之和为4.
12. 解　(1)曲线C的极坐标方程为ρ－2cosθ－6sinθ＋＝0，
可得ρ2－2ρcos θ－6ρsinθ＋1＝0，
可得x2＋y2－2x－6y＋1＝0，曲线C的普通方程：x2＋y2－2x－6y＋1＝0.
(2)由于直线l的参数方程为(t为参数).
把它代入圆的方程整理得t2＋2t－5＝0，∴t1＋t2＝－2，t1t2＝－5，
|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝＝2.
∴|PA|＋|PB|的值为2.

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