齐次线性方程组解的结构.ppt

数理学院数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS1 1 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构2 2 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构第三章 第四讲数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS一、一、齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构（1）齐次线性方程组齐次线性方程组则方程组则方程组(1)可写成向量方程可写成向量方程若记若记回顾回顾若若为方程为方程 的解的解称为方程组称为方程组(1)的的解向量解向量，它也是向量方程的解，它也是向量方程的解则则数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS 显然齐次线性方程组总是有解，显然齐次线性方程组总是有解，就是该方程组的一个解，这个解叫做就是该方程组的一个解，这个解叫做零解零解，若方程组还有其他解，若方程组还有其他解，那么这些解就叫做那么这些解就叫做非零解非零解.方程组方程组 有非零解的充要条件是有非零解的充要条件是 。齐次线性方程组的解有如下的性质齐次线性方程组的解有如下的性质性质（性质（1 1）若若 为为 的解，则的解，则 也是也是 的解的解.证证性质（性质（2 2）若若 为为 的解，的解，为实数，则为实数，则 也是也是 的解的解证证证毕证毕.由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组线性方程组 的的解空间数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS 因此，求齐次线性方程组的解就是求出解空间，这就需要求出解空间因此，求齐次线性方程组的解就是求出解空间，这就需要求出解空间的一组基。称解空间的一组基为方程组的的一组基。称解空间的一组基为方程组的基础解系基础解系。定义定义 1 1并称为方程组的通解通解。数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS定理定理 1 齐次线性方程组若有非零解，则它一定有基础解系，且基础齐次线性方程组若有非零解，则它一定有基础解系，且基础 解系解系所含解向量的个数等于所含解向量的个数等于n-r，其中，其中r是系数矩阵的秩。是系数矩阵的秩。基础解系的求法基础解系的求法证明：证明：系数矩阵为系数矩阵为 有非零解，从而秩有非零解，从而秩rn.对对A进行行初等变换，进行行初等变换，A可化为可化为齐次线性方程组齐次线性方程组（1）数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS与之对应的方程组为与之对应的方程组为令为自由未知量，得取 数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS可得从而得到(1)的n-r个解 数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS首先，这n-r个解向量显然线性无关.其次，设()是方程组的任意解，代入方程组得 数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS于是因此方程组的每一个解向量，都可以由这n-r个解向量所以是方程组的基础解系.定理的证明实际上指出了求齐次线性方程组的基础解系的一种方法.线性表示，数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS例例 1 1 解齐次线性方程组解齐次线性方程组解解 齐次线性方程组的系数矩阵为齐次线性方程组的系数矩阵为 对对A A进行进行行行初等变换，得初等变换，得 数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICSTHANK YOUSUCCESS2024/5/7 周二11可编辑数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS秩r24，故有非零解.其对应的方程组是其对应的方程组是 基础解系为基础解系为方程组的通解为方程组的通解为 数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS二、非二、非齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构称为非齐次线性方程组(不全为0).如果把它的常数项都换成0，就得到相应的齐次线性方程组，称它为非齐次线性方程组(2)的导出方程组，简称导出组.线性方程组（2）数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS定理定理 3 3 （非齐次线性方程组解的结构定理非齐次线性方程组解的结构定理）如果非齐次线性方程组有如果非齐次线性方程组有 解，那么它的一个解与其导出方程组的解之和是非齐次线性方解，那么它的一个解与其导出方程组的解之和是非齐次线性方 程组的一个解，非齐次线性方程组的任意解都可以写成它的一程组的一个解，非齐次线性方程组的任意解都可以写成它的一 个特解与其导出方程组的解之和。个特解与其导出方程组的解之和。数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS 其中 为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组Ax=b的通解为例例 2 2 试求 的全部解。数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS解解 对增广矩阵进行行初等行变换 系数矩阵与增广矩阵的秩都是25，故有解。数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS对应的齐次线性方程（去掉常数列）的基础解系为 令令x3x4x50，得齐次线性方程组的一个特解为，得齐次线性方程组的一个特解为(30/7,-3/7,0,0,0)，(不能忽略常数列不能忽略常数列)，于是它的全部解为，于是它的全部解为 其中其中k1，k2，k3，为任意实数。，为任意实数。数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS例例 3 设线性方程组设线性方程组试就试就p,t讨论方程组讨论方程组的解的情况，有解的解的情况，有解时并求出解时并求出解.解解 对增广矩阵进行行初等变换对增广矩阵进行行初等变换 (1)当当 时，有惟一解时，有惟一解数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS(2)(2)当当p p=1=1，且，且1-41-4t t+2+2pt pt=1-2=1-2t t=0=0 即即t t=时，方程组有无穷多解，此时时，方程组有无穷多解，此时于是方程组的一般解为于是方程组的一般解为(k为任意常数为任意常数).(3)(3)当当p p=1=1，但，但1-41-4t t+2pt=1-2+2pt=1-2t t00，即，即t t1/21/2时，方程组无解时，方程组无解.(4)(4)当当t t=0=0时，时，1-41-4t t+2+2pt pt=10=10，故方程组也无解，故方程组也无解.数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS练习练习.设设 (1)求求|A|；（2）已知）已知有无穷多解，求有无穷多解，求，并求的通解，并求的通解.数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS齐次线性方程组解的情况齐次线性方程组基础解系的求法三、小结三、小结（一）、（一）、齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构n=()()BRAR=n()()BRAR=1 非齐次线性方程组解的情况非齐次线性方程组解的情况2非齐次线性方程组通解的求法非齐次线性方程组通解的求法（二）、非（二）、非齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构数理学院SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICSTHANK YOUSUCCESS2024/5/7 周二22可编辑