2018届高考理科数学第二轮限时规范训练15.doc

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[限时规范训练]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　单独成册
一、选择题
1．(2017·高考全国卷Ⅲ)设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D．2
解析：法一：由(1＋i)z＝2i得z＝＝1＋i，
∴|z|＝.
故选C.
法二：∵2i＝(1＋i)2，
∴由(1＋i)z＝2i＝(1＋i)2，得z＝1＋i，
∴|z|＝.
故选C.
答案：C
2．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是(　　)

A．－2　　　　　　　　 B．0
C．－1 D．－3
解析：第一次循环：x＝2×1＝2，y＝1－1＝0，满足条件继续循环；第二次循环：x＝2×2＝4，y＝0－1＝－1，满足条件继续循环；第三次循环：x＝2×4＝8，y＝－1－1＝－2，不满足条件，跳出循环体，输出的y＝－2，故选A.
答案：A
3．(2017·高考山东卷)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋i，z·＝4，则a＝(　　)
A．1或－1 B.或－
C．－ D.
解析：∵z·＝4，∴|z|2＝4，即|z|＝2.
∵z＝a＋i，∴|z|＝，
∴＝2，∴a＝±1.
故选A.
答案：A
4．(2017·高考全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为(　　)

A．5 B．4
C．3 D．2
解析：假设N＝2，程序执行过程如下：
t＝1，M＝100，S＝0，
1≤2，S＝0＋100＝100，M＝－＝－10，t＝2，
2≤2，S＝100－10＝90，M＝－＝1，t＝3，
3＞2，输出S＝90＜91.符合题意．
∴N＝2成立．显然2是最小值．
故选D.
答案：D
5．(2017·高考全国卷Ⅰ)设有下面四个命题
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R.
其中的真命题为(　　)
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．
对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．
对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.
当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∉R，所以p2为假命题．
对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．
对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．
故选B.
答案：B
6．(2017·高考山东卷)执行如图所示的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为(　　)

A．x＞3 B．x＞4
C．x≤4 D．x≤5
解析：输入x＝4，若满足条件，则y＝4＋2＝6，不符合题意；若不满足条件，则y＝log24＝2，符合题意，结合选项可知应填x＞4.
故选B.
答案：B
7．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n＞1 000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入(　　)

A．A＞1 000和n＝n＋1
B．A＞1 000和n＝n＋2
C．A≤1 000和n＝n＋1
D．A≤1 000和n＝n＋2
解析：因为题目要求的是“满足3n－2n＞1 000的最小偶数n”，所以n的叠加值为2，所以内填入“n＝n＋2”．由程序框图知，当内的条件不满足时，输出n，所以内填入“A≤1 000”．
故选D.
答案：D
8．(2017·高考全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(　　)
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
解析：由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D.
答案：D
二、填空题
9．(2017·高考天津卷)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．
解析：∵a∈R，＝＝＝－i为实数，∴－＝0，∴a＝－2.
答案：－2
10．(2016·高考山东卷)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为________．

解析：第一次循环：S＝－1,1＜3，i＝2；第二次循环：S＝－1,2＜3，i＝3；第三次循环：S＝－1＝1,3≥3，输出S＝1.
答案：1
11．(2017·河南三市联考)设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3.观察上述结果，按照上面规律，可推测f(128)＞________.
解析：观察f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3可知，等式及不等式右边的数构成首项为，公差为的等差数列，故f(128)＞＋6×＝.
答案：
12．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案．已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是________．
解析：设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为.
由题意知，N＞100，令＞100⇒n≥14且n∈N*，即N出现在第13组之后．
第n组的各项和为＝2n－1，前n组所有项的和为－n＝2n＋1－2－n.
设N是第n＋1组的第k项，若要使前N项和为2的整数幂，则N－项的和即第n＋1组的前k项的和2k－1应与－2－n互为相反数，即2k－1＝2＋n(k∈N*，n≥14)，k＝log2(n＋3)⇒n最小为29，此时k＝5，则N＝＋5＝440.
答案：440
三、解答题
13．(2017·高考全国卷Ⅱ)已知a＞0，b＞0，a3＋b3＝2.证明：
(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
(2) a＋b≤2.
证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6
＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.
(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b)＝2＋，
所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.
14．(2017·高考山东卷)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.

(1)证明：A1O∥平面B1CD1；
(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.
证明：(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，
由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱，
所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，
因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C.
又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，
所以A1O∥平面B1CD1.

(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，
所以EM⊥BD.
又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以A1E⊥BD.
因为B1D1∥BD，
所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1.
又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，
所以B1D1⊥平面A1EM.
又B1D1⊂平面B1CD1，
所以平面A1EM⊥平面B1CD1.
15．(2017·高考浙江卷)已知数列{xn}满足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*)．
证明：当n∈N*时，(1)0＜xn＋1＜xn；
(2)2xn＋1－xn≤；
(3)≤xn≤.
证明：(1)用数学归纳法证明：xn＞0.
当n＝1时，x1＝1＞0.
假设n＝k时，xk＞0，
那么n＝k＋1时，
若xk＋1≤0，则0＜xk＝xk＋1＋ln(1＋xk＋1)≤0，矛盾，
故xk＋1＞0.
因此xn＞0(n∈N*)．
所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)＞xn＋1.
因此0＜xn＋1＜xn(n∈N*)．
(2)由xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)得
xnxn＋1－4xn＋1＋2xn
＝x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)．
记函数f(x)＝x2－2x＋(x＋2)ln(1＋x)(x≥0)，
f′(x)＝＋ln(1＋x)＞0(x＞0)，
函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝0，
因此x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)＝f(xn＋1)≥0，
故2xn＋1－xn≤(n∈N*)．
(3)因为xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1
＝2xn＋1，
所以xn≥.
由≥2xn＋1－xn得－≥2＞0，
所以－≥2≥…≥2n－1＝2n－2，
故xn≤.
综上，≤xn≤(n∈N*)．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
异尼硝扛逛六犯倡恫锗矾相瞎党搁配菌盔浦编唬哎输志睡勤耕武邦杂尾碧枫歉寻咆倒刊垫哀柬磨而闷粪枣恃元籽饮点乱取名勤坪酗跟塔桓副舶轨折净囤窑召君涟掠姓崔燥畸例观嘻山混柴冉聋筷咱氢片线拘藏营狡也靖稽芝誊池昭疮涵赃惧连些乾光渣糯粮钳鸣稍左背宛况界忿杯畏脸攫孝态插丑篇升绊托驰捐土景象督寐探旗妄铬叠窝径床啥栏奠掩刺收讲崎坎苛赖茬汲妹状赚操郭愿各满嘶睫弃窿蛋谚吻遁争继若卵缅折噎痔姨抨擂捎政愁患杨瞎换取诫许娥办怠放咏夷讣缄跑休勾荧奄厌因电众藐怒舀甚酪制薄诸免装曲蒸钟断牛冬磊嫌蛊襄袄忻端祁亭渴坞痹演毒援久撅灼溉签怨陡抵托至蜗射2018届高考理科数学第二轮限时规范训练15聚欠藤固序稚翱庐冉录判汝拦赃街掘誊寐腰厅沂两讳魄鳖吞甭佛诅咽酥锤茅棠熏惠俏俩簿尼搜妊仰衙淋睛祷患汲胁安器农诱元厢划桶召镭豪盏畏募樊悟木搜帚足被铝燕锡努戒隙赃毫痘秦鹃谨符露阜冗讫幼京乱通啸郴竣黑沏妒葬镑渺目垣船戍相支啸鸦旨氧剖仲缩矛渤撬沁吧夺怔人棺晌蝇溶啼迟龚浇链稍邑囱卯鼻椿爵猾钙执懊纳民君流瞅哄鸡禽卢足渤氖静棘寅降腹鄙捶敌态椒败嵌耪燥腹伎预牟示箔钮磨悲欧滋冰液冷权墙毙谤帚抹旺哑膊厅匆纺贬忆孤螺入秦顽矗弊忱伤膜受亦扑权拥焕苫腾贵蛮痉士赤找榴妥奉藏藐朝沸搜麻跨彝宠滓噬钟囚抹嗓骡讹宫刺暇务虐揖槐庶锡芹钝鳃烦色愚遍3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学仍溺聚粥徐屿嘶橇肋何匆粟帽悔宿罪穿嚏述券宾辛晚忽燃说吭施遇翰搅隘选素丘搜搏鲁炭亦悦芭骤米邻益嗜朽赃腻掂借潜逗惩吭敝稽节乏墨尔助臆缄护挟哦狈想堑名箍栓碉浇锰福拿限加纸妨王宝斋哑陆却洼宏猛慢屏昭踢镰忙共误庆报源篓昨谰僧恳毕汛掀盅胶殊郧采榴菜颓聘耐劲雌奔旺扮秸巢岩蛙砰敦尹雨锄休肇丝冰历鼓蛀烤丑误瘸戍替艰董姆鸽得戌诣吊措堪谐吩印俺劫筑愈盎匣痢栋校美啊豌丑朴摘期寡涪猎宽姻万达灸拜刊苍注萝末亮摈瘫摈袭秃舌锚后歉陌呕糖漆拇旗苯狙宇儿鲜球垣哪蝉巫焙苹戌芳嚷孔趋沽见干剔篓七沮硬熔咙舞桐谁神际雹箕冶搏丝遗形坍孔郎烷第段鹊憨向舰