1、将将军饮马问题1.2.看看图思考:思考:为什么有的人会什么有的人会经常践踏草地呢常践踏草地呢?绿地里本没有路,走的人多了地里本没有路,走的人多了 禁止践踏禁止践踏两点之两点之间,线段最短段最短爱护爱护草坪草坪草坪草坪3.P两点之两点之间线段最短段最短.根据:根据:BA(一一)两点在一条两点在一条直直线两两侧例例1.1.如如图:古希腊一位将:古希腊一位将军骑马从城堡从城堡A到城堡到城堡B,途中,途中马要到小溪要到小溪边饮水一次。水一次。问将将军怎怎样走路走路程最短?程最短?最短路最短路线:将将军饮马:A-P-B.5.例例2.2.如如图:一位:一位将将军骑马从从城堡城堡A A到城堡到城堡B B,途
2、中途中马要到河要到河边饮水一次水一次,问:这位将位将军怎怎样走路程最短?走路程最短?AB河河两点在一条直两点在一条直线同同侧(二二)一次一次轴对称称:7.BABC例例2作法作法:(1 1)作)作点点B关于关于直直线 MN 的的对称点称点 B(2 2)连结BA,交,交MN于点于点 C C;点点C C就是所求的点就是所求的点MN两点在一条直两点在一条直线同同侧(二二)一次一次轴对称称:8.BC+C+AC C BC C +AC C ,即即AC+BCAC+BC最小最小NABCBC 直直线MN是点是点B、B的的对称称轴,点点C C、C C在在对称称轴上上,BC=C=BC C,BC C=BC C 在在MN
3、 上任取另一点上任取另一点C C,连结BC C、BC C、AC C 、BC C 例例2证明明:在在AB AB C C中中,AB AB ACAC+B+B C C,BC+C+AC C =BC+C+AC C =BAMBC C +AC C =BC C +AC C 两点在一条直两点在一条直线同同侧(二二)一次一次轴对称称:9.练习:已知:已知:P、Q是是ABC的的边AB、AC上的点,你能在上的点,你能在BC上确定一点上确定一点R,使,使PQR的周的周长最最短短吗?两点在一条直两点在一条直线同同侧(二二)一次一次轴对称称:RP10.草地草地河河边.驻地地A例例3.如如图:一位将:一位将军骑马从从驻地地A出
4、出发,先,先牵马去去草地草地OM吃草,再吃草,再牵马去去河河边ON喝水,喝水,最后回最后回到到驻地地A,问:这位将位将军怎怎样走路程最短?走路程最短?OMN(三三)二次二次轴对称称:一点一点在两相交直在两相交直线内部内部11.例例3已知如已知如图 和和 内内一一点点 ,(三三)二次二次轴对称称:一点一点在两相交直在两相交直线内部内部求作求作:OM上一点上一点B,ON上一点上一点C,使使AB+BC+AC最小最小作法作法(1)作点)作点A关于关于OM、ON的的对称点称点A、A”12.巩固练习1.在平面直角坐在平面直角坐标系中有两点,要在系中有两点,要在y轴上找一上找一点,使它到的点,使它到的A、B
5、两点距离之和最小,两点距离之和最小,现有有如下四种方案,其中正确的是(如下四种方案,其中正确的是()D D13.2.如如图,在等,在等边ABC中,中,边BC的高的高AD=4,点,点P是高是高AD上的一个上的一个动点,点,E是是边AC的中点,的中点,在点在点P运运动的的过程中,存在程中,存在PE+PC的最小的最小值,则这个最小个最小值是()是()A4B5C6D8A A14.3如如图,正方形,正方形ABCD的的边长为8,BCE是是等等边三角形,点三角形,点E在正方形内,在在正方形内,在对角角线AC上有一点上有一点P,使,使PD+PE的和最小,的和最小,则这个最个最小小值为()()A.4B.6C.8
6、D.10c15.4.如如图,一个旅游船从大,一个旅游船从大桥AB的的P处前往山脚前往山脚下的下的Q处接游客,然后将游客送往河岸接游客,然后将游客送往河岸BC上,上,再返回再返回P处,请画出旅游船的最短路径画出旅游船的最短路径P PQ QC CB BQQPQDP为最短路径最短路径D DQQD D17.例例4:如如图,A为马厩,厩,B为帐篷篷,将将军某一天要某一天要从从马厩厩牵出出马,先到草地,先到草地边某一某一处牧牧马,再,再到河到河边饮马,然后回到,然后回到帐篷篷,请你你帮助确定帮助确定这一天的一天的最短路最短路线。(四)二次(四)二次轴对称称:两两点在两相交直点在两相交直线内部内部18.例例
7、4答案:如答案:如图,A是是马厩厩,B为帐篷篷,牧牧马人某一天要从人某一天要从马厩厩牵出出马,先到草地先到草地边某一某一处牧牧马,再到河再到河边饮马,然后回到然后回到帐篷篷.请你帮他确定你帮他确定这一天的最短路一天的最短路线.ABABCD(四)二次(四)二次轴对称称:两两点在两相交直点在两相交直线内部内部19.(四)二次(四)二次轴对称称:两两点在两相交直点在两相交直线内部内部例例4变式式1:已知:已知:MON和和 MON内两点内两点A、B。求作:点求作:点C和点和点D,使得点使得点C在在OM上,上,点点D在在ON上,且上,且AC+CD+BD+AB最短。最短。20.例例4变式式2:如如图,OM
8、CN是矩形的台球桌面,有是矩形的台球桌面,有黑、白两球分黑、白两球分别位于位于B、A两点的位置上,两点的位置上,试问怎怎样撞撞击白球,使白球白球,使白球A依次碰撞球台依次碰撞球台边OM、ON后,反后,反弹击中黑球?中黑球?(四)二次(四)二次轴对称称:两两点在两相交直点在两相交直线内部内部21.AABBCDMON例4变式2:(四)二次(四)二次轴对称称:两两点在两相交直点在两相交直线内部内部22.能力提高能力提高.1.1.已知已知,求求 2.2.已知已知24.4 4.已已知关于知关于x x的方程的方程x x2 2-2(k-1)x+k-2(k-1)x+k2 2=0=0有两个有两个实数数根根x x
9、1 1,x,x2 2.(1)(1)求求k k的取的取值范范围.(2)(2)若若|x|x1 1+x+x2 2|=x|=x1 1x x2 2-1,-1,求求k k的的值.解解:(1)1)依依题意:意:b b2 2-4ac=4(k-1)-4ac=4(k-1)2 2-4k-4k2 20,0,解得:解得:k .k .(2)(2)依依题意:意:|2(k-1)|=k|2(k-1)|=k2 2-1,-1,故有:故有:2(k-1)=k2(k-1)=k2 2-1-1或或-2(k-1)=k-2(k-1)=k2 2-1,-1,解得:解得:k=1k=1或或k=-3;k=-3;又又k ,k ,故故k=-3.k=-3.25.反思是进步的阶梯我的收我的收获;我的疑惑;我的疑惑;面面对一个新一个新的求的求线段最短段最短问题时,我我们可以通可以通过怎怎样的途径去研究它的途径去研究它?26.