人教版八年级下册数学期末试卷综合测试(Word版含答案)(1).doc

人教版八年级下册数学期末试卷综合测试（Word版含答案）(1)
一、选择题
1．下列二次根式有意义的范围为x≥﹣4的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是（ ）
A．2，3，4 B．5，7，8 C．5，10，13 D．1，，2
3．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）

A．AB＝BC B．AC＝BD C．∠A＝∠C D．∠A＝∠B
4．在脱贫攻坚工作中，为比较甲、乙两村扶贫攻坚工作的成效，从这两村中，各随机抽取20户对其年收入情况进行调查．统计结果是两村年人均收入的平均数相同，方差分别是S甲2=6000，S乙2=480，则年人均收入比较均衡的村是（ ）
A．甲村 B．乙村
C．甲、乙两村一样 D．无法确定
5．如图，点E是边长为8的正方形ABCD的对角线BD上的动点，以AE为边向左侧作正方形AEFG，点P为AD的中点，连接PG，在点E运动过程中，线段PG的最小值是（　　）

A．2 B． C．2 D．4
6．如图，在△ABC中，AC＝2，∠ABC＝45°，∠BAC＝15°，将△ABC沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ADC．过点A作AE，使∠EAD＝∠DAC，与CD的延长线交于点E，则线段ED的长为（　　）

A．2﹣ B．2﹣2 C．2﹣ D．3﹣
7．△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝7，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（ ）
A．5 B．9 C．10 D．18
8．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=5，则AD的长是（ )

A．5 B．5 C．5 D．10
二、填空题
9．若式子成立，则a的取值范围是________________
10．已知一个菱形有一个内角为，周长为，那么该菱形的面积等于________ ．
11．一条直角边3，斜边长为5的直角三角的面积为_________．
12．如图，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平，再一次折叠，使点落在上点处，若，则的长为______．

13．正比例函数经过点，则__________．
14．如图，在矩形中，，对角线，相交于点，垂直平分于点，则的长为__________．

15．甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以的速度行驶1小时后，乙车才沿相同路线行驶乙车先到达B地并停留1小时后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离与乙车行驶时间之间的函数关系如图所示下列说法：①乙车的速度是；②；③点H的坐标是；④．其中错误的是_______．（只填序号）

16．如图，Rt△ABC中，AB，BC＝3，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 _____．

三、解答题
17．计算：
（1）(＋1)×－；
（2）＋×．
18．一艘轮船以30千米/时的速度离开港口，向东南方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以40千米/时的速度航行，它们离开港口一个半小时后相距75千米，求第二艘船的航行方向．

19．如图是一个的正方形网格，已知每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，请按要求解答下列问题：

（1）如图，满足线段的格点共有______个；
（2）试在图中画出一个格点，使其为等腰三角形，，且的内部只包含4个格点（不包含在边上的格点）．
20．如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE＝CF．求证：
（1）△ABE≌DCF；
（2）四边形AEFD是平行四边形；探究：连结DE，若DE平分∠AEC，直接写出此时四边形AEFD的形状．

21．阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn=，则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简．
例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2
∴==+
请你仿照上例将下列各式化简
（1），（2）．
22．某市出租车收费标准分白天和夜间分别计费，计费方案见下列表格及图象（其中，，为常数）
行驶路程
收费标准
白天
夜间（22时至次日5时）
不超过的部分
起步价6元
起步价元
超过不超出的部分
每公里2元
每公里元
超出的部分
每公里3元
每公里元

设行驶路程为时，白天的运价为（元），夜间的运价为（元）．如图，折线表示与之间的函数关系式，线段表示当时，与的函数关系式，根据图表信息，完成下列各题：
（1）填空：______，______，______；
（2）当时，求的函数表达式；
（3）若幸福小区到阳光小区的路程为，小明从幸福小区乘出租车去阳光小区，白天收费比夜间收费少多少元?
23．如图1，在一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方。在△ABC中，∠C=90°，则AC2+BC2＝AB2．我们定义为“商高定理”。
（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5，试求AC＝__________；
（2）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边BC和斜边AB为边向外作正方形BCFG和正方形ABED，连结CE、AG、GE．已知BC＝4，AB＝5，求GE2的值．

24．[模型建立]如图等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E，易证明△BEC≌△CDA．（无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：

[模型运用]
（1）如图1，若AD＝2，BE＝5，则△ABC的面积为　 　；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求AB与y轴交点D的坐标；
（3）如图3，在平面直角坐标系中，直线l函数关系式为：y＝2x+1，点A（3，2），在其线l上是否存在点B，使直线AB与直线l的夹角为45°？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
[模型拓限]（4）如图4，在平面直角坐标系中，已知点B（0，4），P是直线y＝2x﹣5上一点，将线段BP延长至点Q，使BQ＝BP，将线段BQ绕点B顺时针旋转45°后得BA，直接写出OA的最小值为　 　．（≈3.2，结果精确到0.1）
25．如图，在矩形 ABCD中， AB=16 ， BC=18 ，点 E在边 AB 上，点 F 是边 BC 上不与点 B、C 重合的一个动点，把△EBF沿 EF 折叠，点B落在点 B' 处.
(I)若 AE=0 时，且点 B' 恰好落在 AD 边上，请直接写出 DB' 的长；
(II)若 AE=3 时， 且△CDB' 是以 DB' 为腰的等腰三角形，试求 DB' 的长；
(III)若AE=8时，且点 B' 落在矩形内部（不含边长），试直接写出 DB' 的取值范围.

26．如图，平行四边形ABCD中，连接对角线BD，∠ABD＝30°，E为平行四边形外部一点，连接AE、BE、DE，若AE＝BE，∠DAE＝60°．
（1）如图1，若∠C＝45°，BC＝2，求AB的长；
（2）求证：DE＝BC；
（3）如图2，若∠BCD＝15°，连接CE，延长CB与DE交于点F，连接AF，直接写出（）2的值．

【参考答案】
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据二次根式中的被开方数是非负数，分式的分母不为0列出不等式，分别计算即可．
【详解】
解：A、x﹣4≥0，解得x≥4，故此选项不符合题意；
B、x﹣4＞0，解得x＞4，故此选项不符合题意；
C、x+4＞0，解得x＞﹣4，故此选项不符合题意；
D、x+4≥0，解得x≥﹣4，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解题关键是熟记二次根式和分式有意义的条件，列出不等式求解．
2．D
解析：D
【分析】
若三角形三边满足，则三角形是直角三角形，根据勾股定理逆定理即可求解.
【详解】
解：A. 因为22+3242，所以不能构成直角三角形，因此A不符合题意；
B. 因为52+7282，所以不能构成直角三角形，因此B不符合题意；
C. 因为52+102132，所以不能构成直角三角形，因此C不符合题意；
D. 因为，所以能构成直角三角形，因此D符合题意；
故选D.
【点睛】
本题主要考查勾股定理的逆定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理逆定理.
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用平行线的判定与性质结合平行四边形的判定得出即可.
【详解】
∵ABCD，
∴∠B+∠C=180°，
当∠A=∠C时，则∠A+∠B=180°，
故ADBC，
则四边形ABCD是平行四边形.
故选C.
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据方差的意义求解即可，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【详解】
S甲2=6000，S乙2=480，
S乙2< S甲2，
年人均收入比较均衡的村是乙，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查方差的意义，属于基础题，比较简单，熟练掌握方差的意义是解题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
连接DG，可证△AGD≌△AEB，得到G点轨迹，利用点到直线的最短距离进行求解．
【详解】
解：连接DG，如图，
，
∵四边形ABCD、四边形AEFG均为正方形，
∴∠DAB＝∠GAE＝90°，AB＝AD，AG＝AE，
∵∠GAD+∠DAE＝∠DAE+∠BAE，
∴∠GAD＝∠BAE，
∵AB＝AD，AG＝AE，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴∠PDG＝∠ABE＝45°，
∴G点轨迹为线段DH，
当PG⊥DH时，PG最短，
在Rt△PDG中，∠PDG＝45°，P为AD中点，DP＝4，
设PG＝x，则DG＝x，由勾股定理得，
x2+x2＝42，
解得x＝2．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握连接DG，得到G点轨迹，是解题的关键．
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
延长BC交AE于H，由折叠的性质∠DAC=∠BAC=15°，∠ADC=∠ABC=45°，∠ACB=∠ACD=120°，由外角的性质可求∠AED=∠EAC，可得AC=EC，再求得∠ABC=∠BAH=45°，AH=BH，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
【详解】
解：如图，延长BC交AE于H，

∵∠ABC=45°，∠BAC=15°，
∴∠ACB=120°，
∵将△ACB沿直线AC翻折，
∴∠DAC=∠BAC=15°，∠ADC=∠ABC=45°，∠ACB=∠ACD=120°，CB=CD，
∵∠DAE=∠DAC，
∴∠DAE=∠DAC=15°，
∴∠CAE=30°，
∵∠ADC=∠DAE+∠AED，
∴∠AED=45°-15°=30°，
∴∠AED=∠EAC，
∴AC=EC=2，
∵∠ABC=45°，∠BAH=45°，
∴∠BHA=90°，BH=AH，
在Rt△ACH中，∠CAH=30°，AC=2，
∴CH=，BH=AH=，
∴CB=CD=BH-CH=，
∴ED=EC-CD=，
故选：D．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理求得,进而求得三角形的周长．
【详解】
解：∵点D，E分别AB、BC的中点，AC＝7，
∴DE＝AC＝3.5，
同理，DF＝BC＝2.5，EF＝AB＝3，
∴△DEF的周长＝DE＋EF＋DF＝9，
故选：B．

【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，理解三角形中位线定理是解题的关键．
8．A
解析：A
【分析】
根据矩形的性质可得△AOB是等边三角形，可得BD的长度，再根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：因为在矩形ABCD中，AO＝AC＝BD＝BO，
又因为∠AOB＝60°，所以△AOB是等边三角形，所以AO＝AB＝5，
所以BD＝2AO＝10，
所以AD2＝BD2﹣AB2＝102﹣52＝75，
所以AD＝5．
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩的性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于基本题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
二、填空题
9．
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，即可求得．
【详解】

或者
解得：
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，分式的性质，理解被开方数为非负数是解题的关键．
10．E
解析：
【解析】
【分析】
作于E，由三角函数求出菱形的高AE，再运菱形面积公式=底×高计算即可；
【详解】
作于E，如图所示，

∵四边形ABCD是菱形，周长为，，
∴，，
∴，
∴菱形的面积．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，结合三角函数的计算是解题的关键．
11．6
【解析】
【分析】
根据勾股定理可以求得另一条直角边的长，然后即可求得此直角三角形的面积．
【详解】
解：∵直角三角形一直角边的长是3，斜边长是5，
∴另一条直角边为=4，
∴此直角三角形的面积为：=6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和三角形的面积公式解答．
12．
【分析】
由折叠的性质可知，，从而可得，继而求得，所以，再根据勾股定理求解即可
【详解】
由折叠可知：，
，
是的中点

，

四边形是矩形

故答案为：
【点睛】
本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，求得是解题的关键．
13．
【分析】
把代入，利用待定系数法求解即可得到答案．
【详解】
解：把代入，

故答案为：
【点睛】
本题考查的是利用待定系数法求解正比例函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键．
14．A
解析：
【分析】
结合题意，由矩形的性质和线段垂直平分线的性质可得AB=AO=OB=OD=4，根据勾股定理可求AD的长．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO，
∵AE垂直平分OB于点E，
∴AO=AB=4，
∴AO=OB=AB=4，
∴BD=8，
在Rt△ABD中,AD==.
故答案为.
【点睛】
本题考查矩形的性质和线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和线段垂直平分线的性质.
15．④
【分析】
根据题意，两车距离为函数，由图象可知两车起始距离为80，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量．
【详解】
解：由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时
解析：④
【分析】
根据题意，两车距离为函数，由图象可知两车起始距离为80，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量．
【详解】
解：由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km，则乙的速度为120km/h．①正确；
由图象第2-6小时，乙由相遇点到达B，用时4小时，每小时比甲快40km，则此时甲乙距离4×40=160km，则m=160，②正确；
当乙在B休息1h时，甲前进80km，则H点坐标为（7，80），③正确；
乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4小时，则n=6+1+0.4=7.4，④错误．
故答案为：④．
【点睛】
本题考查函数的应用，主要是以函数图象为背景，考查双动点条件下，两点距离与运动时间的函数关系，解答时既要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态．
16．2
【分析】
根据题意，设，由折叠，在利用勾股定理列方程解出x，就求出BN的长．
【详解】
∵D是CB中点，，
∴，
设，则，
在中，，
，
解得：，
∴．
故答案是：2．
【点睛】
本题考查折叠的
解析：2
【分析】
根据题意，设，由折叠，在利用勾股定理列方程解出x，就求出BN的长．
【详解】
∵D是CB中点，，
∴，
设，则，
在中，，
，
解得：，
∴．
故答案是：2．
【点睛】
本题考查折叠的性质和勾股定理，关键是利用方程思想设边长，然后用勾股定理列方程解未知数，求边长．
三、解答题
17．（1）4－；（2）3．
【分析】
（1）根据二次根式的混合运算法则先算乘法，然后合并同类二次根式求解即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则先算乘法，然后合并同类二次根式求解即可．
【详解】
（1）
解析：（1）4－；（2）3．
【分析】
（1）根据二次根式的混合运算法则先算乘法，然后合并同类二次根式求解即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则先算乘法，然后合并同类二次根式求解即可．
【详解】
（1）(＋1)×－

（2）＋×

【点睛】
此题考查了二次根式的加减乘法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的加减乘法运算法则．
18．第二艘船的航行方向为东北或西南方向
【分析】
根据路程=速度×时间分别求得OA、OB的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形OAB是直角三角形，从而求解．
【详解】
解：如图，
根据题意，
解析：第二艘船的航行方向为东北或西南方向
【分析】
根据路程=速度×时间分别求得OA、OB的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形OAB是直角三角形，从而求解．
【详解】
解：如图，

根据题意，得
（千米），（千米），千米．
∵，
∴，∴
∴第二艘船的航行方向为东北或西南方向．
【点睛】
此题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．根据条件得出第二艘船的航行方向与第一艘船的航行方向成90°是解题的关键．
19．（1）3；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）先根据勾股定理算出AB的两条直角边，再结合画图即可解答；
（2）根据题意画出图形即可．
【详解】
解：（1）∵10=12+32
∴如图：
∴满足
解析：（1）3；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）先根据勾股定理算出AB的两条直角边，再结合画图即可解答；
（2）根据题意画出图形即可．
【详解】
解：（1）∵10=12+32
∴如图：

∴满足线段的格点共有3个
故填3；
（2）画图如下（答案不唯一）：

【点睛】
本题主要考查了勾股定理和等腰三角形的定义，掌握勾股定理成为解答本题的关键．
20．（1）见解析；（2）证明见解析；探究：菱形
【分析】
（1）根据矩形性质直接根据边角边证明△ABE≌DCF即可；
（2）证明AE∥DF，AE＝DF，可得结论；
探究：证明FD＝FE，可得结论．
【详
解析：（1）见解析；（2）证明见解析；探究：菱形
【分析】
（1）根据矩形性质直接根据边角边证明△ABE≌DCF即可；
（2）证明AE∥DF，AE＝DF，可得结论；
探究：证明FD＝FE，可得结论．
【详解】
.证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝DC，∠B＝∠DCF，
∵BE＝CF，
∴△ABE≌DCF；
（2）∵△ABE≌DCF，
∴∠AEB＝∠F，AE＝DF，
∴AE∥DF，
∴AE＝DF，
∴四边形AEFD是平行四边形．
（3）此时四边形AEFD是菱形．
理由：如图1中，连接DE．

∵DE平分∠AEC，
∴∠AED＝∠DEF，
∵AD∥EF，
∴∠ADE＝∠DEF，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴四边形AEFD是菱形．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．（1）1+；（2）.
【解析】
【分析】
参照范例中的方法进行解答即可.
【详解】
解：（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴.
解析：（1）1+；（2）.
【解析】
【分析】
参照范例中的方法进行解答即可.
【详解】
解：（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴.
22．（1）7，2.4，3.6；（2）y=2x+2；（3）5.4元
【分析】
（1）a即为AB与y轴的交点的纵坐标，可结合图象，单价=总价÷路程，b、c便可以求出；
（2）利用表格中的数据求解即可；
（3
解析：（1）7，2.4，3.6；（2）y=2x+2；（3）5.4元
【分析】
（1）a即为AB与y轴的交点的纵坐标，可结合图象，单价=总价÷路程，b、c便可以求出；
（2）利用表格中的数据求解即可；
（3）利用待定系数法求解求出当x＞10时，y2与x之间的函数关系式，再把x=12分别代入y1和y2的函数表达式即可解答．
【详解】
解：解：（1）由图可知，a=7，
b=（26.2-7）÷（10-2）=2.4，
c=（29.8-26.2）÷（11-10）=3.6（元）；
故答案为7，2.4，3.6；
（2）当2＜x≤10时，求y1的函数表达式为y1=6+2（x-2）=2x+2；
（3）设当x＞10时，y2与x之间的函数关系式为y2=kx+b，
根据题意得，，
解得：，
∴y2与x之间的函数关系式为y2=3.6x-9.8（x＞10）；
当x＞10时，y1与x之间的函数关系式为6+2×（10-2）+3（x-10）=3x-8（x＞10）．
当x=12时，y2=3.6×12-9.8=33.4（元），y1=3×12-8=28（元），33.4-28=5.4（元），
答：白天收费比夜间收费少5.4元．
【点睛】
本题主要考查一次函数的应用问题，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
23．（1）3；（2）见解析；（2）73
【分析】
（1）由勾股定理得出AC==3；
（2）由勾股定理得出OD2+OA2=AD2，OD2+OC2=CD2，OB2+OC2=BC2，OA2+OB2=AB2，则
解析：（1）3；（2）见解析；（2）73
【分析】
（1）由勾股定理得出AC==3；
（2）由勾股定理得出OD2+OA2=AD2，OD2+OC2=CD2，OB2+OC2=BC2，OA2+OB2=AB2，则AB2+CD2=OA2+OB2+OD2+OC2，AD2+BC2=OD2+OA2+OB2+OC2，即可得出结论；
（3）连接CG、AE，设AG交CE于I，AB交CE于J，由正方形的性质得出∠GBC=∠EBA=90°，AB=BE=5，BG=BC=4，证出∠ABG=∠EBC，由SAS证得△ABG≌△EBC得出∠BAG=∠BEC，则∠EBJ=∠AIJ=90°，得出AG⊥CE，由（2）可得AC2+GE2=CG2+AE2，由勾股定理得出CG2=BC2+BG2，即CG2=42+42=32，AE2=BE2+AB2，即AE2=52+52=50，AB2=AC2+BC2，即52=AC2+42，推出AC2=9，代入AC2+GE2=CG2+AE2 ，即可得出结果．
【详解】
解：（1）：∵在△ABC中，∠C=90°中，BC=4，AB=5，
∴AC==3，
故答案为：3；
（2）证明：在Rt△DOA中，∠DOA=90°，
∴OD2+OA2=AD2，
同理：OD2+OC2=CD2，OB2+OC2=BC2，OA2+OB2=AB2，
∴AB2+CD2=OA2+OB2+OD2+OC2，AD2+BC2=OD2+OA2+OB2+OC2，
∴AB2+CD2=AD2+BC2 ；
（3）解：连接CG、AE，设AG交CE于I，AB交CE于J，如图3所示：
∵四边形BCFG和四边形ABED都是正方形，
∴∠GBC=∠EBA=90°，AB=BE=5，BG=BC=4，
∴∠GBC+∠CBA=∠EBA+∠CBA，
∴∠ABG=∠EBC，
在△ABG和△EBC中，
，
∴△ABG≌△EBC（SAS），
∴∠BAG=∠BEC，
∵∠AJI=∠EJB，
∴∠EBJ=∠AIJ=90°，
∴AG⊥CE，
由（2）可得：AC2+GE2=CG2+AE2，
在Rt△CBG中，CG2=BC2+BG2，
即CG2=42+42=32，
在Rt△ABE中，AE2=BE2+AB2，
即AE2=52+52=50，
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，
即52=AC2+42，
∴AC2=9，
∵AC2+GE2=CG2+AE2 ，
 即9+GE2=32+50，
∴GE2=73．

【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的知识；熟练掌握正方形的性质与勾股定理是解题的关键．
24．（1）；（2）；（3）存在两个点，，理由见解析；（4）1.9.
【解析】
【分析】
（1）由可得，在中，利用勾股定理解得的长，最后根据三角形面积公式解题；
（2）作轴于点，根据题意，可证，再由全等三
解析：（1）；（2）；（3）存在两个点，，理由见解析；（4）1.9.
【解析】
【分析】
（1）由可得，在中，利用勾股定理解得的长，最后根据三角形面积公式解题；
（2）作轴于点，根据题意，可证，再由全等三角形对应边相等的性质得到，结合点的坐标分别解得的长，继而得到的坐标，再由待定系数法解得直线的解析式为：，令即可解题；
（3）画出符合题意的示意图，可知有两个点符合，设，过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，由点坐标解得，根据题意可证，再由全等三角形对应边相等的性质解得的长，继而得到点，最后将点代入直线上即可解题；
（4）过点作于点，于点，连接，设，由全等三角形的判定与性质得到，再由全等三角形对应边相等得到
，由此解得点，继而推出点在直线上，过点作直线的垂线，根据垂线段最短及等积法解题即可.
【详解】
解：（1）根据题意得，

在与中，

中，

中，

，
故答案为：；

（2）作轴于点,

在与中，

设直线的解析式为：，代入点得，

解得：
直线的解析式为：
令得，，
；

（3）存在，有两个点符合题意，，理由如下：
设，过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，如图，

由题意得

在中，

即
在直线上，

如图，

（4）过点作于点，于点，连接，如图，

设，
由题意可知

点在直线上，
过点作直线的垂线，垂足为点，根据垂线段最短原理，可知此时线段最短，如图，
令

解得直线与轴的交点
令
解得直线与轴的交点

由等积法得，

，
故答案为：1.9.

【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式、垂线段最短等知识，是重要考点，难度一般，正确作出辅助线、掌握相关知识是解题关键.
25．(I) ；(II) 16或10；(III) .
【解析】
【分析】
(I)根据已知条件直接写出答案即可.
(II)分两种情况： 或讨论即可.
(III)根据已知条件直接写出答案即可.
【详解】
(I
解析：(I) ；(II) 16或10；(III) .
【解析】
【分析】
(I)根据已知条件直接写出答案即可.
(II)分两种情况： 或讨论即可.
(III)根据已知条件直接写出答案即可.
【详解】
(I) ；
(II)∵四边形是矩形，∴，.
分两种情况讨论：
（i）如图1，

当时，即是以为腰的等腰三角形.
（ii）如图2，当时，过点作∥，分别交与于点、.

∵四边形是矩形,
∴∥,.
又∥，
∴四边形是平行四边形，又，
∴□是矩形，∴，，即，
又，
∴，，
∵，∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
综上，的长为16或10.
(III) . （或）.
【点睛】
本题主要考查了四边形的动点问题.
26．（1）；（2）证明见解析；（3）
【分析】
（1）过点D作DF⊥AB于F，有等腰直角三角形和含30度角的直角三角形的性质，利用勾股定理求出AF和BF的长即可求解.
（2）过点E作EF⊥AB于F，过点
解析：（1）；（2）证明见解析；（3）
【分析】
（1）过点D作DF⊥AB于F，有等腰直角三角形和含30度角的直角三角形的性质，利用勾股定理求出AF和BF的长即可求解.
（2）过点E作EF⊥AB于F，过点A作AG⊥BD交BD延长线于G，先证明△GAD≌△FAE，再证明三角形ADE时等边三角形，即可得到答案；
（3）过点A作AP⊥DE于P，过点D作DN⊥BF于点N，可证明∠BDN=∠DBN=45°，∠FDN=30°，以及EF=BF，设FN=m，根据勾股定理，用含m的式子分别表示出和，即可得出结果.
【详解】
解：（1）如图，过点D作DF⊥AB于F，
∴∠AFD=∠BFD=90°
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=45°，BC=2
∴∠A=∠C=45°，AD=BC=2
∴AF=DF，
∵∠DBA=30°，
∴BD=2DF，
在直角三角形AFD中，，
∴，
∴，
∴，
在直角三角形DFB中，，
∴；

（2）过点E作EF⊥AB于F，过点A作AG⊥BD交BD延长线于G，
∵AE=BE，
∴，
∵∠G=90°，∠DBA=30°，
∴，∠DAB=60°
∴，
∵∠DAE=60°，
∴∠GAD=∠FAE=60°-∠DAF，
∵∠G=∠AFE=90°，
∴△GAD≌△FAE（ASA），
∴AD=AE，
∴三角形ADE时等边三角形，
∴AD=DE，
∴DE=BC；

（3）如图，过点A作AP⊥DE于P，过点D作DN⊥BF于点N，则∠APE=∠APF=∠DNF=∠DNB=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABF=∠C=15°，∠DFB=∠ADF=60°，
∴∠DBN=∠ABF+∠ABD=45°，∠FDN=30°，
∴∠BDN=∠DBN=45°，
∴∠EBD=∠EDB=∠FDN+∠BDN=75°，
∴∠FEB=180°-75°-75°=30°，
∴∠FBE=∠DFB-∠FEB=60°-30°=30°=∠FEB，
∴EF=BF，
设FN=m，DF=2m，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴.

【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.