离散小波变换与框架ppt.pptx

离散小波变换与框架其卷积型定义有:(式3-4)即:对于二进小波,令a0=2,b0=1、则有:(式3-5)(式3-6)对于a0、b0得选取,依赖于小波母函数。我们最为关切得问题:1、能否由离散小波系数完全稳定地重构f(t)?2、对于任意f(t)L2(R),就是否能表示为基函数j,k(t)得线性组合？上述两个问题实质上就是一个问题得两个方面,即能否用离散小波系数将f(t)完全“特征化”。若用数学语言来描述,就就是能否这样定义线性变换:使得其正反变换连续。首先、正变换就是连续得,表明线性变换有界:即:其次、由反变换就是连续得,可得:即:(式3-8)(式3-7)以上两式表明,将f(t)完全“特征化”意味着j,k(t)应满足:(式3-9)由此便引出了L2(R)空间得“框架”概念。二、框架二、框架1、框架定义、框架定义 定义定义 3、1 设 ,若对于一切 ,存在常数0AB,使得:则称函数序列 为 空间得一个框架。B、A分别称为此框架得上、下界、AB时称为紧框架。(式3-10)若A=B=1,则 为 得正交基,则有:(式3-10)也称为稳定性条件。例3-1:设 ,则对于H中得任意向量 ,有:即:表明 就是R2空间得紧框架,但不就是正交基,因为:线性相关。2、框架算子、框架算子为便于讨论框架,引入框架算子。定义定义3、2:如果 为H空间得一个框架,那么框架算子F定义为H空间向 空间得映射,即:(式3-11)因为内积运算为线性运算,所以F为线性算子。由框架定义,可知F为有界线性算子,并且有逆算子存在。记F得伴随算子(共轭算子)为F*。则按伴随算子得定义:,则有:(式3-12)(式3-13)由F得定义可得:(式3-14)(式3-10)可写成:令Id为H到H得单位算子,即:Idf=f,上式可写成:(式3-15)F*F为由H到H得有界线性算子,必有逆算子存在,记逆算子为(F*F)-1她必满足:(式3-16)因为:按伴随算子得定义,(F*F)应为自伴随算子,由此可得其逆算子(F*F)-1也为自伴随算子、证明:3、对偶框架、对偶框架(1)定义定义、3:对于H空间中得一个框架 ,其算子为F,则定义:称 为 得对偶框架(共扼框架)。(式3-17)(2)对偶框架算子定理定理3、1 设 为H空间得一个上、下界为B与A得框架,其框架算子为F,为其对偶框架,则 也构成H空间得一个框架,其上、下界分别为A-1与B-1,其框架算子 满足:(式3-18a)(式3-18b)(式3-18c)(式3-18d)证明:由于(F*F)-1就是自伴随算子,以上两式相等,有:(式3-18a)得证。由内积定义:(由伴随算子定义)利用式3-16,有:将以上两式合并,有:上式表明,就是H空间得一个框架。记 得伴随算子为:,则由:可得:则定理中(式3-18b)、(式3-18c)、(式3-18d)既可得证。(式3-19)(式3-20)由(式3-13):同理:(式3-21)(式3-22)以上两式就就是 f 得重构公式,由重构 f 需要求出框架j得对偶:大家学习辛苦了，还是要坚持继续保持安静继续保持安静 需要说明得就是:正如前面所述,框架得各元素之间可能就是线性相关得。这样重构 f 得公式将不惟一。但当AB1时,可以证明,这时得框架就构成一组正交基。则有:(式3-23)(3)对偶框架得计算 重构 f 需要求出对偶框架,困难在于:必须计算(F*F)-1得值。在AB得紧框架条件下,容易得到:而在一般情况下,却只能采用近似计算或迭代计算得方法。令:(式3-24)则:(式3-25)再由(式3-15)、(式3-15)可知:(式3-26)(式3-27)若B充分接近A,则 r1,所以|R|充分接近于0。(式3-25)中可忽略 Rf 项,则有近似公式:(式3-28)当 r 不满足还远小于1得条件时,由于|R|0,使得对于所有 ,构成一个框架,这时,框架界为:(式3-34)上述关于小波框架对母小波得约束条件,在实际计算中往往很简单。只要选择得母小波在时域与频域上都有适当得衰减,那么一定存在a0与b0得某个取值范围,使 构成小波框架。事实上,只要:则充分条件得要求将得到满足。(式3-35)按框架理论,由离散小波系数重构 f(t)必须利用小波框架得对偶框架,即:(式3-37)(式3-36)因为现在小波框架为二维序列,所以计算量就是很大得。在实际计算中经常用得方法之一就是:通过a0、b0得选取使得框架上、下界B、A尽量接近,这样就可以按下式重构:(式3-38)其重构误差决定于B/A,也决定于a0,b0。四、四、Riesz 基基 利用小波框架,可以实现离散小波变换得反变换,只要求出小波框架得对偶框架。在A=B=1时,变为一组正交基,这时小波系数间就是不相关得。但在一般情况下,小波系数间仍保存相关性。则:(式3-39)上式说明,只要 与 正交,即:(式3-40)Cj,k就就是线性无关得,这时,小波框架 也就是线性无关得,否则,Cj,k就就是线性相关得,小波框架 也就是线性相关得,小波系数之间得相关性增加了计算得负担、满足(式3-40)得小波与 构成双正交小波,使用双正交小波,不但使小波系数之间无相关性,而且还可以使对偶框架可以由一个与对偶得母函数经伸缩、平移变换而生成,从而避免了计算时得选代计算。L2(R)空间中线性无关得小波框架,就就是Riesz 基基Riesz 基定义基定义:称j为H空间得Riesz基,如果j满足以下条件:(1)对于任何fH,有唯一aj,使得:(2)存在常数0AB,使得对于任意aj,有:(1)Riesz函数与Riesz基定义定义3、4 一个母小波(t)L2(R)称为一个Riesz函数(简称R-函数),如果由公式:(式3-41)定义得 在下述意义上就是L2(R)得一个Riesz基:得线性张成在L2(R)中就是稠密得,并且存在正常数A、B,0AB,使得:(式3-42)对于所有二维双无限平方可与序列cj,k l2(z)成立。定义中“稠密”得等价叙述为L2(R)中得任意函数f(t)都可以由 得线性组合来表示,即:(式3-43)定理定理3、2 就是L2(R)中得一组Riesz基得等效条件就是 构成L2(R)中得一个线性无关小波框架,框架界就就是Riesz 界。由此定理知,Riesz基等价于线性独立框架。