三角形全等之倍长中线(含答案和练习).doc

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三角形全等之倍长中线
1. 如图，AD为△ABC的中线．
（1）求证：AB+AC >2AD．
（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．

2. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．
求证：AB=AC．

3. 如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．
求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．

4. 如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F．
求证：∠AEF=∠EAF．

5. 如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF．
求证：AD为△ABC的角平分线．

6. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，且AF⊥AB，已知AD=2.7，AE=BE=5，求CE的长．

7. 如图，在正方形ABCD的边CB的延长线上取一点E，△FEB为等腰直角三角形，∠FEB=90°，连接FD，取FD的中点G，连接EG，CG．
求证：EG=CG且EG⊥CG．

【参考答案】
1. （1）证明：如图，

延长AD至E，使DE=AD，连接BE，
∴AE=2AD．
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD
在△BDE和△CDA中

∴△BDE≌△CDA（SAS）
∴BE=AC
在△ABE中，AB+BE>AE
∴AB+AC>2AD
（2）解：由①可知
AE=2AD，BE=AC
在△ABE中，
AB-BE<AE<AB+BE
∵AC=3，AB=5
∴5-3<AE<5+3
∴2<2AD<8
∴1<AD<4

2. 证明：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE．

在△ADC和△EDB中

∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴AC=EB，∠2=∠E
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC
3. 证明：如图，

延长CD到F，使DF=CD，连接BF．
∴CF=2CD
∵CD是△ABC的中线
∴BD=AD
在△BDF和△ADC中

∴△BDF≌△ADC（SAS）
∴BF=AC，∠3=∠A
∵CB是△AEC的中线
∴BE=AB
∵AC=AB
∴BE=AC
∴BE=BF
∵∠CBE是△ABC的一个外角
∴∠CBE=∠BCA+∠A
=∠BCA+∠3
∵AC=AB
∴∠BCA=∠CBA
∴∠CBE=∠CBA+∠3
=∠CBF
在△CBE和△CBF中

∴△CBE≌△CBF（SAS）
∴CE=CF，∠4=∠5
∴CE=2CD
CB平分∠DCE
4. 证明：如图，延长AD到M，使DM=AD，连接BM．

∵D是BC边的中点
∴BD=CD
在△ADC和△MDB中

∴△ADC≌△MDB（SAS）
∴∠CAD=∠M，AC=MB
∵BE=AC
∴BE=MB
∴∠M=∠BEM
∴∠CAD=∠BEM
∵∠AEF=∠BEM
∴∠CAD=∠AEF
即∠AEF=∠EAF
5. 证明：如图，延长FE到M，使EM=EF，连接BM．

∵点E是BC的中点
∴BE=CE
在△CFE和△BME中

∴△CFE≌△BME（SAS）
∴CF=BM，∠F=∠M
∵BG=CF
∴BG=BM
∴∠3=∠M
∴∠3=∠F
∵AD∥EF
∴∠2=∠F，∠1=∠3
∴∠1=∠2
即AD为△ABC的角平分线．
6. 解：如图，延长AF交BC的延长线于点G．

∵AD∥BC
∴∠3=∠G
∵点F是CD的中点
∴DF=CF
在△ADF和△GCF中

∴△ADF≌△GCF（AAS）
∴AD=CG
∵AD=2.7
∴CG=2.7
∵AE=BE
∴∠5=∠B
∵AB⊥AF
∴∠4+∠5=90°
∠B+∠G=90°
∴∠4=∠G
∴EG=AE=5
∴CE=EG-CG
=5-2.7
=2.3
7. 证明：如图，延长EG，交CD的延长线于M．

由题意，∠FEB=90°，∠DCB=90°
∴∠DCB+∠FEB=180°
∴EF∥CD
∴∠FEG=∠M
∵点G为FD中点
∴FG=DG
在△FGE和△DGM中

∴△FGE≌△DGM（AAS）
∴EF=MD，EG=MG
∵△FEB是等腰直角三角形
∴EF=EB
∴BE=MD
在正方形ABCD中，BC=CD
∴BE+BC=MD+CD
即EC=MC
∴△ECM是等腰直角三角形
∵EG=MG
∴EG⊥CG，∠ECG=∠MCG=45°
∴EG=CG
全等三角形之倍长中线每日一题
1. （4月21日）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点．
求证：AE⊥BE．

2. （4月22日）已知：如图，△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，BA⊥AC，ED⊥BD，垂足分别为A，D，连接EC，F为EC中点，连接AF，DF，猜测AF，DF的数量关系和位置关系，并说明理由．

3. （4月23日）已知：如图，D为线段AB的中点，在AB上任取一点C（不与点A，B，D重合），分别以AC，BC为斜边在AB同侧作等腰Rt△ACE与等腰Rt△BCF，∠AEC=∠CFB=90°，连接DE，DF，EF．
求证：△DEF为等腰直角三角形．

4. （4月24日）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并说明理由．

【参考答案】
1. 证明：延长AE交BC的延长线于点F．

∵AD∥BC
∴∠D=∠DCF，∠DAE=∠F
∵E是CD的中点
∴DE=CE
在△ADE和△FCE中

∴△ADE≌△FCE（AAS）
∴AD=FC，AE=FE
∵AB=AD+BC
∴AB=CF+BC=BF
在△ABE和△FBE中

∴△ABE≌△FBE（SSS）
∴∠AEB=∠FEB=90°
即AE⊥BE

2. 解：AF⊥DF，AF=DF，理由如下：
延长DF交AC于点P.

∵BA⊥AC，ED⊥BD
∴∠BAC=∠EDA=90°
∴DE∥AC
∴∠DEC=∠ECA
∵F为EC中点
∴EF=CF
在△EDF和△CPF中

∴△EDF≌△CPF（ASA）
∴DE=CP，DF=PF
∵△ABC与△BDE均为等腰直角三角形
∴AB=AC，DE=BD
∴AB-BD=AC-DE=AC -CP
即AD=AP
在△DAF和△PAF中

∴△DAF≌△PAF（SSS）
∴∠DFA=∠PFA=90°，∠DAF=∠PAF=45°
∴AF⊥DF，AF=DF

3. 证明：延长ED到点G，使DG=DE，连接BG，FG．

∵D为线段AB的中点
∴AD=BD
在△EDA和△GDB中

∴△EDA≌△GDB（SAS）
∴EA=GB，∠A=∠GBD
∵△ACE与△BCF是等腰直角三角形
∴AE=CE=BG，CF=FB，∠A=∠ECA=∠FCB=∠FBC=45°
∴∠ECF=90°，∠GBF=∠GBD+∠FBD=90°
在△ECF和△GBF中

∴△ECF≌△GBF（SAS）
∴EF=GF，∠EFC=∠GFB
∵∠CFB=∠CFG+∠GFB=90°
∴∠EFG=∠EFC+∠CFG=90°
在△EFD和△GFD中

∴△EFD≌△GFD（SSS）
∴∠EDF=∠GDF=90°，∠EFD=∠GFD=45°
∴DE=DF
∴△DEF为等腰直角三角形
4. 解：AB=AF+CF，理由如下：
延长AE交DF的延长线于点G．

∵E为BC边的中点
∴BE=CE
∵AB∥DC
∴∠B=∠BCG，∠BAG=∠G
在△ABE和△GCE中

∴△ABE≌△GCE（AAS）
∴AB=GC
∵∠BAE=∠EAF
∴∠G=∠EAF
∴AF=GF
∵GC=GF+FC
∴AB=AF+CF
三角形全等之倍长中线（随堂测试）
1. 在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是_______________．

2. 已知：如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥AB交AE于点F，DF=AC．
求证：AE平分∠BAC．

【参考答案】
1. 3<AB<13
2. 证明略（提示：延长AE到点G，使EG=EF，连接CG，
证明△DEF≌△CEG）．
三角形全等之倍长中线（作业）
1. 已知：如图，在△ABC中，AB=4，AC=2，点D为BC边的中点，且AD是整数，则AD=________．

2. 已知：如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD=DE，EF∥BC交BD于F．求证：AB=EF．

3. 已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形．求证：EF=2AD．

4. 如图，在△ABC中，AB >AC，E为BC边的中点，AD为
∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．

5. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，连接AF，若∠DAF=∠EAF，求证：AF⊥EF．

【参考答案】
1. 2
2. 证明略（提示：延长FD到点G，使得DG=DF，连接AG，证明△ADG≌△EDF，转角证明AB=EF）
3. 证明略（提示：延长AD到点G，使得AD=GD，连接CG，证明△ABD≌△GCD，△EAF≌△GCA）
4. 证明略（提示：延长FE到点H，使得FE=EH，连接CH，证明△BFE≌△CHE，转角证明BF=CG）
5. 证明略（提示：延长AF交BC的延长线于点G，证明△ADF≌△GCF，转角证明AF⊥EF）

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