函数的概念与性质中易错问题剖析和提醒.pdf

朱 珠 函数的概念与性质比较抽象,初学者常常会犯这样或那样的错误,下面归纳整理剖析并提醒之。易错点1:混淆复合函数的定义域和外层函数的定义域例1 若 函 数f(x2+1)的 定 义 域 为-2,1),则函数f(2x+1)的定义域为。错解:当x-2,1 时,可得x2+1-2,1,解得x=0,所以2x+1=0,所以x=-12,则f(2x+1)的定义域为-12 。剖析:已知复合函数的定义域,求另一个复合函数的定义域,应先求出外层函数f(x)的定义域即为内层函数的值域,再求定义域。当x-2,1 时,可得x2+11,5,则f(x)的定义域为1,5。由12x+15,可得0 x 2,所以函数f(2x+1)的定义域为0,2。提醒:已知函数f(x)的定义域求外层f(x)的定义域,实质是求(x)的值域;已知函数f(x)的定义域A,求fg(x)的定义域,先 求 出(x)的 值 域B应 为 外 层f(x)的 定 义 域,再 利 用 整 体 变 量 观 念 使g(x)B解出x的范围,即为fg(x)的定义域。易错点2:求函数值域时,忽略定义域的限制作用例2 求函数y=-x2+x+2的值域。错解:因为-x2+x+2=-x-12 2+94-,94 ,所 以 此 函 数 的 值 域 为-,32 。剖析:上述解法没有考虑函数的定义域,导致所求值域扩大了。由-x2+x+20,可得x-1,2。由x-1,2,可 得-x2+x+2=-x-12 2+94 0,94 ,所以此函数的值域为0,32 。提醒:解决函数值域问题,应从函数的定义域入手,由内到外利用函数在区间上的单调性求解。易错点3:混淆函数值域为R与函数定义域为R的区别例3 函数y=k x2-6x+k+8的值域为0,+),则k的取值范围是。错解:由题意得k x2-6x+k+80恒成 立。当k0时,显 然 不 合 题 意,所 以k 0,=3 6-4k(k+8)0,解得k 1。剖 析:上 述 解 法 认 为 函 数y=k x2-6x+k+8的定义域为R,混淆值域为R与函数定义域为R的区别。因为k x2-6x+k+8取遍所有非负数,所以f(x)=k x2-6x+k+8的最小值应等于零。当k=0时,函数f(x)=-6x+8,满足题意;当k 0时,由=3 6-4k(k+8)0,解得0 0,求实数m的取值范围。错解:由f(x)是奇函数,可得f(-x)=-f(x)。由f(m-1)+f(2m-1)0,可得f(m-1)-f(2m-1)=f(1-2m)。因为f(x)是定义在(-2,2)上的 减 函 数,所 以m-11-2m,可 得m23,即 实 数m-,23 。剖析:f(m-1),f(2m-1)都是复合函数,在定义域上有隐含条件-2m-12,-2 2m-12,由此解得-12m23,再与错解求交集即可。故实数m-12,23 。提醒:利用函数单调区间求参数的取值范围,一定要让所有的整体变量都在所给区间上,再利用单调性进行转化,最后求交集。易错点6:分段函数求函数值,忽略整体变量的范围例6 已 知 实 数a0,函 数f(x)=2x+a,x 1,若f(1-a)=f(1+a),则a=。错解:当1-a 1,1+a0时,可得1-a 1,即a0。由f(1-a)=f(1+a),可得2-2a+a=-1-a-2a,解 得a=-32,这时与a0矛盾,舍去。当a 1,1+a1,即a0。由f(1-a)=f(1+a),可得1-a-2a=2+2a+a,解得a=-34。综上所述,a=-34。提醒:处理分段函数的求值问题,必须考虑自变量的取值所在区间,如果取值不太明确时,要进行分类讨论,同时检验所求自变量的值或范围是否符合题意。易错点7:奇偶性的判断中,忽视对参数的分类讨论例7 判断函数f(x)=ax2-b x3的奇偶性。错解:f(x)的定义域为(-,0)(0,+),关 于 原 点 对 称。因 为f(-x)=a(-x)2-b(-x)3=ax2+b x3f(x),所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数。剖析:上述解法没有对参数进行分类讨论,认为f(-x)f(x)。当a=0,b0时,f(x)是 奇 函 数;当a0,b=0时,f(x)是偶函数;当a=0,b=0时,f(x)既是奇函数又是偶函数;当a0,b0时,f(x)既不是奇函数也不是偶函数。提醒:函数定义域关于原点不对称,函数一定是非奇非偶函数。在定义域关于原点对称的前提下,对定义域内任意x都有f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数;对定义域内任意x都有f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数;若 定 义 域 内 存 在x0使f(-x0)-f(x0),则f(x)不是奇函数;若定义域内存在x0使f(-x0)f(x0),则f(x)不是偶函数。作者单位:江苏省阜宁县东沟中学(责任编辑 郭正华)43 易错题归类剖析 高一数学 2 0 2 3年1 0月21例析求函数解析式的四种方法22小议函数的值域的应用问题24如何确定幂函数的解析式我的学习方法25学透函数的奇偶性核心考点演练26函数的概念与性质核心考点综合演练秦雷宇王健于梦瑜韩雨彤中学生教理化5高中版DOLEDITLON全面配合教材注重求实、创新、博学全程备考理含，指点方法、本甜刊特联全国优秀科技期利河南省一做期利中国基仙教育知识仓库来源解刊中国邮政投核心报刊数高2023年第4 0 期总第9 9 1 期10月绿色印期技巧、刘中亮封面人物易错题归类剖析朱珠，现任教于江苏省阜宁县33函数的概念与性质中易错问题剖析和提醒创新题追根溯源35如何解答函数单调性的热点问题37既要重视“形”，也要关注“数”谈幂函数中的应用问题经典题突破方法39常见函数的值域或最值的经典求法41函数的概念与性质常见典型考题赏析张文伟赵昆封面刊名题字：华罗庚顾问单位：中国数学会中国物理学会中学术顾问：任子朝韩家勋李勇委员：（按拼音排序）陈进前戴儒京狄振山高慧明郭统福何万龄黄干生蒋天林李伟李胜荣李树祥刘大鸣孟卫东 施建昌隋俊礼王国平王后雄王星元 徐汉屏余永安袁竞成张向东东沟中学，担任数学备课组长。从教1 3 年来，先后担任高一、高二、高朱珠三年级的数学教学工作，成绩优异。在全县高中数学青年教师教学基本功比赛和全县高中数学青年教师优质课比赛中荣获二等奖，先后获得孙海燕“综合考核优秀奖”“教科研能手”“优秀教师”等荣誉称号。撰写的多篇论文在专业报刊上发表。任远版权声明本刊所有文字和图片作品，未经许可，不得转载、摘编。凡投稿本陈升强刊，或允许本刊登载的作品，均视为已授权本刊在刊物、增刊、图书上使用，以及许可本刊授权合作网站（中国知网、万方数据库或维普资讯网等）以数字化方式复制、汇编、发行、信息网络传播本刊全文。本刊支付的稿酬，已包含授权费用。作者投稿给本刊即意味着同意上述约定，如中国化学会有异议请与本刊签订书面协议。本社广告中心根据中华人民共和国广告法等国家有关法律法规审查及刊登广告，若广告主有超张援过广告内容的后续行为，均与本刊张北春及广告中心无关。