资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点、、和、、，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．在中，点在线段上，请添加一个条件使，则下列条件中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．与x轴有唯一交点
C．对称轴是直线 D．当时，y随x的增大而减小
5．已知抛物线经过和两点，则n的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
6．对于二次函数的图象，下列结论错误的是( )
A．顶点为原点 B．开口向上 C．除顶点外图象都在轴上方 D．当时，有最大值
7．如图，将线段 AB 先向右平移 5 个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转 90°，得到线段 AB ，则点 B 的对应点 B′的坐标是（ ）
A．（-4 , 1） B．（ －1, 2） C．（4 ,- 1） D．（1 ,- 2）
8．如图，.分别与相切于.两点，点为上一点，连接.，若，则的度数为（ ）.
A．； B．； C．； D．.
9．下列命题中，①直径是圆中最长的弦；②长度相等的两条弧是等弧；③半径相等的两个圆是等圆；④半径不是弧，半圆包括它所对的直径，其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数的图象过点，则该函数的图象必在（ ）
A．第二、三象限 B．第二、四象限
C．第一、三象限 D．第三、四象限
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是_____．
12．菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为_____．
13．抛物线y＝﹣x2向上平移1个单位长度得到抛物线的解析式为_____．
14．如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，CB于点P，Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心，其中结论正确的是________(只需填写序号)．
15．若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为_____________．
16．一元二次方程x2﹣x﹣=0配方后可化为__________．
17．观察下列运算：81=8，82=64，83=512，84=4096，85=32768，86=262144，…，则：81+82+83+84+…+82014的和的个位数字是 .
18．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD：DC＝5：3，则DE的长等于__________________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为:A(－2，－2) ， B(－4，－1) ， C(－4，－4)．
(1) 画出与△ABC关于点P(0，－2)成中心对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2) 将△ABC绕点O顺时针旋转的旋转90°后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
20．（6分）平行四边形中，点为上一点，连接交对角线于点，点为上一点，于，且，点为的中点，连接；若．
（1）求的度数；
（2）求证：
21．（6分）如图，二次函数（其中）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于B的左侧），与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线CD交二次函数图像于点D．
（1）当m=2时，求A、B两点的坐标；
（2）过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，使得ÐBAE=ÐDAB．求点E的坐标（用含m的式子表示）；
（3）在第（2）问的条件下，二次函数的顶点为F，过点C、F作直线与x轴于点G，试求出GF、AD、AE的长度为三边长的三角形的面积（用含m的式子表示）．
22．（8分）随着经济快速发展，环境问题越来越受到人们的关注．某校为了了解节能减排、垃圾分类等知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查的学生共有___________人，估计该校名学生中“不了解”的人数是__________人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）“非常了解”的人中有，两名男生，，两名女生，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到名男生的概率．
23．（8分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+a-c=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若△ABC是正三角形，试求这个一元二次方程的根．
24．（8分）如图，正方形ABCD中，AB=，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF.
(1)若A，E，O三点共线，求CF的长；
(2)求△CDF的面积的最小值.
25．（10分）若抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴为直线x＝1，且该抛物线经过点（3，0）．
（1）求该抛物线对应的函数表达式．
（2）当﹣2≤x≤2时，则函数值y的取值范围为 ．
（3）若方程ax2+bx﹣3＝n有实数根，则n的取值范围为 ．
26．（10分）三台县教育和体育局为帮助万福村李大爷“精准脱贫”，在网上销售李大爷自己手工做的竹帘，其成本为每张40元，当售价为每张80元时，每月可销售100张.为了吸引更多顾客，采取降价措施.据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5张.设每张竹帘的售价为元（为正整数），每月的销售量为张．
（1）直接写出与的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）李大爷深感扶贫政策给自己带来的好处，为了回报社会，他决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生.为了保证捐款后每月利润不低于4220元，求销售单价应该定在什么范围内？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】将方程的一次项移到左边，两边加上4变形后，即可得到结果．
【详解】解：方程移项得：x2−4x=1，
配方得：x2−4x+4=1，
即(x−2)2=1．
故选A．
【点睛】
本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟记完全平方公式.
2、C
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理即可得出结论．
【详解】∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，得出是解答本题的关键．
3、B
【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．
【详解】解：如图，
在中，∠B的夹边为AB和BC，
在中，∠B的夹边为AB和BD，
∴若要，
则，即
故选B.
【点睛】
此题主要考查的是相似三角形的判定，正确地判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键．
4、D
【分析】先把抛物线化为顶点式，再根据抛物线的性质即可判断A、C、D三项，令y=0，解关于x的方程即可判断B项，进而可得答案.
【详解】解：；
A、∵a=1>0，∴抛物线的开口向上，说法正确，所以本选项不符合题意；
B、令y=0，则，该方程有两个相等的实数根，所以抛物线与x轴有唯一交点，说法正确，所以本选项不符合题意；
C、抛物线的对称轴是直线，说法正确，所以本选项不符合题意；
D、当时，y随x的增大而减小，说法错误，应该是当时，y随x的增大而增大，所以本选项符合题意.
故选：D.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和抛物线与x轴的交点问题，属于基本题型，熟练掌握抛物线的性质是解题关键.
5、B
【分析】根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的即可求解；
【详解】解：抛物线经过和两点，
可知函数的对称轴，
，
；
，
将点代入函数解析式，可得；
故选B．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．
6、D
【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可.
【详解】根据二次函数的性质，可得：
二次函数顶点坐标为（0，0），开口向上，故除顶点外图象都在x轴上方，
故A、B、C正确；当x=0时，y有最小值为0，故D错误.
故选：D.
【点睛】
本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点坐标，开口方向，最值与系数之间的关系是解题的关键.
7、D
【解析】在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度；
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
【详解】将线段AB先向右平移5个单位，点B（2，1），连接OB，顺时针旋转90°，则B'对应坐标为（1，-2），
故选D．
【点睛】
本题考查了图形的平移与旋转，熟练运用平移与旋转的性质是解题的关键．
8、D
【解析】连接.，由切线的性质可知，由四边形内角和可求出的度数，根据圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）可知的度数.
【详解】解：连接.，
∵.分别与相切于.两点，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了圆的切线性质及圆周角定理，灵活应用切线性质及圆周角定理是解题的关键.
9、C
【分析】根据弦、弧、等弧的定义即可求解．
【详解】解：①直径是圆中最长的弦，真命题；
②在等圆或同圆中，长度相等的两条弧是等弧，假命题；
③半径相等的两个圆是等圆，真命题；
④半径是圆心与圆上一点之间的线段，不是弧，半圆包括它所对的直径，真命题．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
10、B
【解析】试题分析：对于反比例函数y=，当k>0时，函数图像在一、三象限；当k<0时，函数图像在二、四象限.根据题意可得：k=－2.
考点：反比例函数的性质
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、（6，）．
【分析】过点D作DM⊥OB，垂足为M，先根据勾股定理求出菱形的边长，即可得到点B、D的坐标，进而可根据菱形的性质求得点A的坐标，进一步即可求出反比例函数的解析式，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后解由直线BC和反比例函数的解析式组成的方程组即可求出答案.
【详解】解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，
∵D（3，4），∴OM＝3，DM＝4，∴OD＝＝5，
∵四边形OBCD是菱形，∴OB＝BC＝CD＝OD＝5，
∴B（5，0），C（8，4），
∵A是菱形OBCD的对角线交点，∴A（4，2），代入y＝，得：k＝8，∴反比例函数的关系式为：y＝，
设直线BC的关系式为y＝kx+b，将B（5，0），C（8，4）代入得：，解得：k＝，b＝﹣，
∴直线BC的关系式为y＝x﹣，
将反比例函数与直线BC联立方程组得：，解得：，（舍去），∴F（6，），
故答案为：（6，）．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、勾股定理、待定系数法求函数的解析式以及求两个函数的交点等知识，属于常考题型，正确作出辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键.
12、1
【分析】根据菱形对角线垂直平分，再利用勾股定理即可求解.
【详解】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，
根据勾股定理可得菱形的边长为＝1．
故答案为1．
【点睛】
此题主要考查菱形的边长求解，解题的关键是熟知菱形的性质及勾股定理的运用.
13、y＝﹣+1
【分析】直接根据平移规律作答即可．
【详解】解：抛物线y＝﹣x2向上平移1个单位长度得到抛物线的解析式为y＝﹣x2+1，
故答案为：y＝﹣x2+1．
【点睛】
本题考查了函数图像的平移. 要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求解析式.
14、②③
【解析】试题分析：∠BAD与∠ABC不一定相等，选项①错误；
∵GD为圆O的切线，∴∠GDP=∠ABD，又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，∵CF⊥AB，∴∠AEP=90°，∴∠ADB=∠AEP，又∠PAE=∠BAD，∴△APE∽△ABD，∴∠ABD=∠APE，又∠APE=∠GPD，∴∠GDP=∠GPD，∴GP=GD，选项②正确；
由AB是直径，则∠ACQ=90°，如果能说明P是斜边AQ的中点，那么P也就是这个直角三角形外接圆的圆心了．Rt△BQD中，∠BQD=90°-∠6， Rt△BCE中，∠8=90°-∠5，而∠7=∠BQD，∠6=∠5， 所以∠8=∠7， 所以CP=QP；由②知：∠3=∠5=∠4，则AP=CP； 所以AP=CP=QP，则点P是△ACQ的外心，选项③正确．
则正确的选项序号有②③．故答案为②③．
考点：1．切线的性质；2．圆周角定理；3．三角形的外接圆与外心；4．相似三角形的判定与性质．
15、16 cm
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求解．
【详解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且，即相似三角形的相似比为，
∵△ABC的周长为12cm
∴△A′B′C′的周长为12÷=16cm．
故答案为：16.
【点睛】
此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握相似三角形周长的比等于相似比．
16、
【分析】移项，配方，即可得出选项．
【详解】x2﹣x﹣=0
x2﹣x=
x2﹣x+=+
故填：.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．
17、1．
【解析】试题分析：易得底数为8的幂的个位数字依次为8，2，1，6，以2个为周期，个位数字相加为0，呈周期性循环．那么让1012除以2看余数是几，得到相和的个位数字即可：
∵1012÷2=503…1，
∴循环了503次，还有两个个位数字为8，2．
∴81+81+83+82+…+81012的和的个位数字是503×0+8+2=11的个位数字.
∴81+81+83+82+…+81012的和的个位数字是1．
考点：探索规律题（数字的变化类——循环问题）.
18、
【解析】试题分析：∵∠ADC=∠BDE，∠C=∠E，∴△ADC∽△BDE，∴，
∵AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，∴BD=5，DC=3，∴DE=．故选B．
考点：相似三角形的判定与性质．
三、解答题(共66分)
19、（1）详见解析；(2，-2)；（2）详见解析；(-4，4)
【分析】（1）分别得出A、B、C三点关于点P的中心对称点，然后依次连接对应点可得；
（2）分别做A、B、C三点绕O点顺时针旋转90°的点，然后依次连接对应点即可．
【详解】（1）△A1B1C1如下图所示．
点A1的坐标为(2，-2)
（2）△A2B2C2如上图所示．
点C2的坐标为(-4，4)．
【点睛】
本题考查绘制中心对称图形和绘制旋转图形，解题关键是绘制图形中的关键点的对应点．
20、（1）30° （2）证明见解析
【分析】（1）通过平行四边形的性质、中点的性质、平行线的性质去证明，可得，再根据求解即可；
（2）延长FE至点N，使，连接AN，通过证明，可得，再根据特殊角的锐角三角函数值，即可得证．
【详解】（1）∵四边形ABCD为平行四边形
∵M为AD的中点
即
即
；
（2）延长FE至点N，使，连接AN，由（1）知，
．
【点睛】
本题考查了平行四边形的综合问题，掌握平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质以及判定定理、特殊三角函数值是解题的关键．
21、（1），；（2）；（3）
【分析】（1）求图象与x轴交点，即函数y值为零，解一元二次方程即可;
（2）过作轴，过作轴，先求出D点坐标为，设E点为，即可列等式求m的值得E点坐标；
（3）由直线的方程：，得G点坐标，再用m的表达式分别表达GF、AD、AE即可.
【详解】（1） 当时，，
∵图象与x轴分别交于点A、B
∴时，
∴，
（2）∵，轴
∴
过作轴，过作轴
∵
∴
设E
∴
（3）以GF、BD、BE的长度为三边长的三角形是直角三角形.理由如下：
二次函数的顶点为F,则F的坐标为(−m,4)，过点F作FH⊥x轴于点H.
∵tan∠CGO=，tan∠FGH=，
∴=，
∴=，
∵OC=3，HF=4，OH=m，
∴，
∴OG=3m.
∴
，
∴
∴、、能构成直角三角形面积是
所以、、能构成直角三角形面积是
【点睛】
此题考查二次函数综合题，解题关键在于掌握二次函数图象的问题转换.
22、（1）50，600；（2）见解析；（3）见解析，
【分析】（1）用“非常了解”的人数除以其对应百分比可得总人数，用1减去其他所占的百分比可得“不了解”的学生所占百分比，用2000乘以“不了解”的学生所占百分比即可得“不了解”的学生人数；
（2）先求出“不了解”的人数，再补充条形统计图即可；
（3）根据题意画出表格，可得一共12种抽取情况，恰好抽到2名男生的情况有2种，再利用概率公式计算即可．
【详解】解：（1）本次调查的学生总人数为人；“不了解”的学生所占百分比为，
估计该校名学生中“不了解”的人数约有（人）
（2）30%×50=15（人）
如下图
（3）列表如下，由表可知共有种可能的结果，恰好抽到名男生的结果有个，
（恰好抽到名男生）
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及树状图和表格求远概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
23、（1）直角三角形；（2）．x1=-1，x2=0
【解析】试题分析：（1）根据方程有两个相等的实数根得出△=0，即可得出a2=b2+c2，根据勾股定理的逆定理判断即可；
（2）根据等边进行得出a=b=c，代入方程化简，即可求出方程的解．
解：（1）△ABC是直角三角形，
理由是：∵关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）=0有两个相等的实数根，
∴△=0，
即（﹣2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴a=b=c，
∴方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）=0可整理为2ax2﹣2ax=0，
∴x2﹣x=0，
解得：x1=0，x2=1．
考点：根的判别式；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理．
24、 (1)CF=3；(2).
【分析】（1）由正方形的性质可得AB=BC=AD=CD=2，根据勾股定理可求AO=5，即AE=3，由旋转的性质可得DE=DF，∠EDF=90°，根据“SAS”可证△ADE≌△CDF，可得AE=CF=3；
（2）由△ADE≌△CDF，可得S△ADE=S△CDF，当OE⊥AD时，S△ADE的值最小，即可求△CDF的面积的最小值．
【详解】(1)由旋转得：，，
∵是边的中点，
∴，
在中，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
即，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）由于，所以点可以看作是以为圆心，2为半径的半圆上运动，
过点作于点，
∵，
∴，
当，，三点共线，最小，，
∴.
【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，证明△ADE≌△CDF是本题的关键．
25、（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）﹣1≤y≤5；（3）n≥﹣1．
【分析】（1）由对称轴x＝1可得b=-2a，再将点（3，0）代入抛物线解析式得到9a+3b-3=0，然后列二元一次方程组求出a、b即可；
（2）用配方法可得到y＝（x﹣1）2﹣1，则当x=1时，y有最小值-1，而当x=-2时，y=5，即可完成解答；
（3）利用直线y=n与抛物线y＝（x﹣1）2﹣1有交点的坐标就是方程ax2+bx-3=n有实数解，再根据根的判别式列不式、解不等式即可.
【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣ ＝1，即b＝﹣2a，
∵抛物线经过点（3，0）．
∴9a+3b﹣3＝0，
把b＝﹣2a代入得9a﹣6a﹣3＝0，解得a＝1，
∴b＝﹣2，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣1，
∴x＝1时，y有最小值﹣1，
当x＝﹣2时，y＝1+1﹣3＝5，
∴当﹣2≤x≤2时，则函数值y的取值范围为﹣1≤y≤5；
（3）当直线y＝n与抛物线y＝（x﹣1）2﹣1有交点时，方程ax2+bx﹣3＝n有实数根，
∴n≥﹣1．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质及其与二元一次方程的关系，把求二次函数图像与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解答本题的关键.
26、（1）；（2）当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；（3）．
【分析】（1）根据“销售单价每降1元，则每月可多销售5张”写出与的函数关系式即可；
（2）根据题意，利用利润=每件的利润×数量即可得出w关于x的表达式，再利用二次函数的性质即可得到最大值；
（3）先求出每月利润为4220元时对应的两个x值，再根据二次函数的图象和性质即可得出答案．
【详解】（1）由题意可得：整理得；
（2）由题意，得：
∵.
∴有最大值
即当时，
∴应降价（元）
答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；
（3）由题意，得：
解之，得：，，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质以及一元二次方程的解法是解题的关键．
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