人教版中学七7年级下册数学期末试题(附答案).doc

人教版中学七7年级下册数学期末试题（附答案）
一、选择题
1．如图，下面结论正确的是（ ）

A．和是同位角 B．和是内错角
C．和是同旁内角 D．和是内错角
2．下列现象中是平移的是（ ）
A．将一张纸对折 B．电梯的上下移动
C．摩天轮的运动 D．翻开书的封面
3．如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）

A． B． C． D．
4．下列命题中是假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．8的立方根是±2
C．实数和数轴上的点是一一对应的
D．平行于同一直线的两条直线平行
5．直线，直线与，分别交于点，，．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
6．下列说法中：①立方根等于本身的是,0,1；②平方根等于本身的数是0,1；③两个无理数的和一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的；⑤是负分数；⑥两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数．其中正确的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，一条“U”型水管中AB//CD，若∠B=75°，则∠C应该等于（ ）

A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，向右平移3个单位长度到达点，再向上平移6个单位长度到达点，再向左平移9个单位长度到达点，再向下平移12个单位长度到达点，再向右平移15个单位长度到达点……按此规律进行下去，该动点到达的点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
九、填空题
9．计算：的结果为_____．
十、填空题
10．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（﹣2，5），点Q与点A关于y轴对称，点P与点Q关于x轴对称，则点P的坐标是___．
十一、填空题
11．如图，分别作和的角平分线交于点，称为第一次操作，则_______；接着作和的角平分线交于，称为第二次操作，继续作和的角平分线交于，称方第三次操作，如此一直操作下去，则______．

十二、填空题
12．如图，直线，被直线所截，，，则_________．

十三、填空题
13．如图，在长方形纸片ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，将长方形纸片沿直线EF折叠后，点D、C分别落在点D1、C1的位置，如果∠=40°，那么∠EFB的度数是_____度．

十四、填空题
14．对于这样的等式：若（x+1）5＝a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则﹣32a0+16a1﹣8a2+4a3﹣2a4+a5的值为_____．
十五、填空题
15．如图，若“马”所在的位置的坐标为，“象”所在位置的坐标为，则“将"所在位置的坐标为_______．

十六、填空题
16．如图，在平面直角坐标系中，将正方形①依次平移后得到正方形②，③，④…；相应地，顶点A依次平移得到A1，A2，A3，…，其中A点坐标为（1，0），A1坐标为（0，1），则A20的坐标为__________．

十七、解答题
17．（1）计算：；
（2）解方程组：．
十八、解答题
18．求下列各式中x的值
（1）81x2 =16
（2）
十九、解答题
19．如图，已知∠AED=∠C,∠DEF=∠B，试说明∠EFG+∠BDG=180∘，请完成下列填空：

∵∠AED=∠C (_________)
∴ED∥BC(_________)
∴∠DEF=∠EHC (___________)
∵∠DEF=∠B（已知）
∴_______(等量代换)
∴BD∥EH(同位角相等，两直线平行)
∴∠BDG=∠DFE(两直线平行，内错角相等)
∵_________________(邻补角的意义)
∴∠EFG+∠BDG=180∘(___________)
二十、解答题
20．如图，在平面直角坐标系中，三角形OBC的顶点都在网格格点上，一个格是一个单位长度．

（1）将三角形OBC先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度（点与点C是对应点），得到三角形，在图中画出三角形；
（2）直接写出三角形的面积为____________．
二十一、解答题
21．已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的平方根．
二十二、解答题
22．小丽想用一块面积为的正方形纸片，如图所示，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长是宽的2倍．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗?你认为小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗?为什么?

二十三、解答题
23．（1）如图①，若∠B+∠D=∠E，则直线AB与CD有什么位置关系？请证明（不需要注明理由）．
（2）如图②中，AB//CD，又能得出什么结论？请直接写出结论 ．
（3）如图③，已知AB//CD，则∠1+∠2+…+∠n-1+∠n的度数为 ．

二十四、解答题
24．如图，两个形状，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
（1）①如图1，∠DPC＝　 　度．
②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”，如图1，三角板BPD不动，三角板PAC从图示位置开始每秒10°逆时针旋转一周（0°旋转360°），问旋转时间t为多少时，这两个三角形是“孪生三角形”．
（2）如图3，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速2°/秒，在两个三角板旋转过程中，（PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为t秒，以下两个结论：①为定值；②∠BPN+∠CPD为定值，请选择你认为对的结论加以证明．

二十五、解答题
25．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．
问题迁移：
(1)如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
(2)在(1)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合)，请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．

【参考答案】
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角作答
【详解】
解：A、由同位角的概念可知，∠1与∠2不是同位角，故A选项错误；
B、由内错角的概念可知，∠2与∠3不是内错角，故B选项错误；
C、 和 是对顶角，故C错误；
D、由内错角的概念可知，∠1与∠4是内错角，故D选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了同位角、内错角、同旁内角的概念；解题的关键是理解三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线.同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．
2．B
【分析】
根据平移的概念，依次判断即可得到答案；
【详解】
解：根据平移的概念：把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，判断：
A、将一张纸对折，不符合平移定
解析：B
【分析】
根据平移的概念，依次判断即可得到答案；
【详解】
解：根据平移的概念：把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，判断：
A、将一张纸对折，不符合平移定义，故本选项错误；
B、电梯的上下移动，符合平移的定义，故本选项正确；
C、摩天轮的运动，不符合平移定义，故本选项错误；
D、翻开的封面，不符合平移的定义，故本选项错误．
故选B．
【点睛】
本题考查平移的概念，在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
3．C
【分析】
根据各象限内点的坐标特征判断即可．
【详解】
由图可知，小手盖住的点在第四象限，
∴点的横坐标为正数，纵坐标为负数，
∴(2，－3)符合．其余都不符合
故选：C．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标特征，熟记各象限内点的坐标特征是解题的关键．
4．B
【分析】
根据平行线的判定、对顶角、立方根和实数与数轴关系进行判断即可．
【详解】
解：A、对顶角相等，是真命题；
B、8的立方根是2，原命题是假命题；
C、实数和数轴上的点是一一对应的，是真命题；
D、平行于同一直线的两条直线平行，是真命题；
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的判定、对顶角、立方根和实数与数轴，属于基础题，难度不大．
5．B
【分析】
由对顶角相等得∠DFE=55°，然后利用平行线的性质，得到∠BEF=125°，即可求出的度数．
【详解】
解：由题意，根据对顶角相等，则
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，对顶角相等，解题的关键是掌握平行线的性质，正确的求出．
6．A
【分析】
根据平方根和立方根的性质，以及无理数的性质判断选项的正确性．
【详解】
解：立方根等于本身的数有：，1，0，故①正确；
平方根等于本身的数有：0，故②错误；
两个无理数的和不一定是无理数，比如和的和是0，是有理数，故③错误；
实数与数轴上的点一一对应，故④正确；
是无理数，不是分数，故⑤错误；
从数轴上来看，两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数，故⑥正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查平方根和立方根的性质，无理数的性质，解题的关键是熟练掌握这些概念．
7．C
【分析】
直接根据平行线的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵AB∥CD，∠B=75°，
∴∠C=180°-∠B=180°-75°=105°．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．
8．C
【分析】
求出A1（3，0），A5（9，-6），A9（15，-12），A13（21，-18），•••，探究规律可得A2021（3033，-3030），从而求解．
【详解】
解：由题意A1（3，0
解析：C
【分析】
求出A1（3，0），A5（9，-6），A9（15，-12），A13（21，-18），•••，探究规律可得A2021（3033，-3030），从而求解．
【详解】
解：由题意A1（3，0），A5（9，-6），A9（15，-12），A13（21，-18），•••，
可以看出，9=，15=，21=，
得到规律：点A2n+1的横坐标为，其中的偶数，
点A2n+1的纵坐标等于横坐标的相反数+3，
，即，
故A2021的横坐标为，A2021的纵坐标为，
∴A2021（3033，-3030），
故选：C．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
九、填空题
9．6
【分析】
根据算术平方根的定义即可求解．
【详解】
解：的结果为6．
故答案为6
【点睛】
考查了算术平方根，非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数
解析：6
【分析】
根据算术平方根的定义即可求解．
【详解】
解：的结果为6．
故答案为6
【点睛】
考查了算术平方根，非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
十、填空题
10．（2，﹣5）．
【分析】
根据题意分析点P，先关于y轴对称，再求关于x轴对称的点即可
【详解】
∵点A的坐标为（﹣2，5），点Q与点A关于y轴对称，
∴点Q的坐标为（2，5），
∵点P与点Q关于x轴
解析：（2，﹣5）．
【分析】
根据题意分析点P，先关于y轴对称，再求关于x轴对称的点即可
【详解】
∵点A的坐标为（﹣2，5），点Q与点A关于y轴对称，
∴点Q的坐标为（2，5），
∵点P与点Q关于x轴对称，
∴点P的坐标是（2，﹣5）．
故答案为：（2，﹣5）．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系的定义，轴对称，理解题意是解题的关键．
十一、填空题
11．90°
【分析】
过P1作P1Q∥AB，则P1Q∥CD，根据平行线的性质得到∠AEF+∠CFE=180°，∠AEP1=∠EP1Q，∠CFP1=∠FP1Q，结合角平分线的定义可计算∠E
解析：90°
【分析】
过P1作P1Q∥AB，则P1Q∥CD，根据平行线的性质得到∠AEF+∠CFE=180°，∠AEP1=∠EP1Q，∠CFP1=∠FP1Q，结合角平分线的定义可计算∠EP1F，再同理求出∠P2，∠P3，总结规律可得．
【详解】
解：过P1作P1Q∥AB，则P1Q∥CD，
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∠AEP1=∠EP1Q，∠CFP1=∠FP1Q，
∵和的角平分线交于点，
∴∠EP1F=∠EP1Q+∠FP1Q=∠AEP1+∠CFP1=（∠AEF+∠CFE）=90°；
同理可得：∠P2=（∠AEF+∠CFE）=45°，
∠P3=（∠AEF+∠CFE）=22.5°，
...，
∴，
故答案为：90°，．

【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，规律性问题，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算求解．
十二、填空题
12．100°
【分析】
先根据平行线的性质得出∠3=80°，再由邻补角得到∠2=100°．
【详解】
如图，
∵，，
∴∠3=80°，
又∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-∠3=180°-8
解析：100°
【分析】
先根据平行线的性质得出∠3=80°，再由邻补角得到∠2=100°．
【详解】
如图，

∵，，
∴∠3=80°，
又∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-∠3=180°-80°=100°．
故答案为：100°．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质以及邻补角，熟练掌握它们的性质是解答此题的关键．
十三、填空题
13．70
【分析】
先利用折叠的性质得出∠DEF＝∠D1EF，再由利用平角的应用求出∠DEF，最后长方形的性质即可得出结论．
【详解】
解：如图，由折叠可得∠DEF＝∠D1EF，
∵∠AED1＝40°
解析：70
【分析】
先利用折叠的性质得出∠DEF＝∠D1EF，再由利用平角的应用求出∠DEF，最后长方形的性质即可得出结论．
【详解】
解：如图，由折叠可得∠DEF＝∠D1EF，

∵∠AED1＝40°，
∴∠DEF＝＝70°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠EFB＝∠DEF＝70°．
故答案为：70．
【点睛】
考查了长方形的性质，折叠的性质，关键是利用折叠的性质得出∠DEF＝∠D1EF解答．
十四、填空题
14．-1．
【分析】
根据多项式的乘法得出字母的值，进而代入解答即可．
【详解】
解：（x+1）5＝x5+5x4+10x3+10x2+5x+1，
∵（x+1）5＝a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+
解析：-1．
【分析】
根据多项式的乘法得出字母的值，进而代入解答即可．
【详解】
解：（x+1）5＝x5+5x4+10x3+10x2+5x+1，
∵（x+1）5＝a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，
∴a0＝1，a1＝5，a2＝10，a3＝10，a4＝5，a5＝1，
把a0＝1，a1＝5，a2＝10，a3＝10，a4＝5，a5＝1代入﹣32a0+16a1﹣8a2+4a3﹣2a4+a5中，
可得：﹣32a0+16a1﹣8a2+4a3﹣2a4+a5＝﹣32+80﹣80+40﹣10+1＝﹣1，
故答案为：﹣1
【点睛】
本题考查了代数式求值，解题的关键是根据题意求得a0，a1，a2，a3，a4，a5的值.
十五、填空题
15．【分析】
结合题意，根据坐标的性质分析，即可得到答案．
【详解】
∵“马”所在的位置的坐标为，“象”所在位置的坐标为
∴棋盘中每一格代表1
∴“将"所在位置的坐标为，即
故答案为：．
【点睛】
本
解析：
【分析】
结合题意，根据坐标的性质分析，即可得到答案．
【详解】
∵“马”所在的位置的坐标为，“象”所在位置的坐标为
∴棋盘中每一格代表1
∴“将"所在位置的坐标为，即
故答案为：．
【点睛】
本题考查了坐标的知识；解题的关键是熟练掌握坐标的性质，从而完成求解．
十六、填空题
16．（-19，8）
【分析】
求出A3，A6，A9的坐标，观察得出A3n横坐标为1−3n，可求出A18的坐标，从而可得结论．
【详解】
解：观察图形可知：A3（−2，1），A6（−5，2），A9（−8，
解析：（-19，8）
【分析】
求出A3，A6，A9的坐标，观察得出A3n横坐标为1−3n，可求出A18的坐标，从而可得结论．
【详解】
解：观察图形可知：A3（−2，1），A6（−5，2），A9（−8，3），•••，
∵−2＝1−3×1，−5＝1−3×2，−8＝1−3×3，
∴A3n横坐标为1−3n，
∴A18横坐标为：1−3×6＝−17，
∴A18（−17，6），
把A18向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到A20，
∴A20（−19，8）．
故答案为：（−19，8）．
【点睛】
本题主要考查坐标系中点、线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
十七、解答题
17．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）原式利用绝对值的代数意义，算术平方根及立方根定义计算即可得到结果；
（2）先把方程组中的分式方程化为不含分母的方程，再用加减消元法求出方程组的解即可；
【
解析：（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）原式利用绝对值的代数意义，算术平方根及立方根定义计算即可得到结果；
（2）先把方程组中的分式方程化为不含分母的方程，再用加减消元法求出方程组的解即可；
【详解】
（1）解：原式=；
（2）原方程组可化为：
，
（1）×2−（2）得：−7y＝−7，
解得：y＝1；
把y＝1代入（1）得：x−3×1＝−2，
解得：x＝1，
故方程组的解为： ；
【点睛】
本题考查了实数的运算以及解二元一次方程组，熟知掌握实数运算法则及解一元二次方程的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．
十八、解答题
18．（1）；（2）
【分析】
（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；
（2）方程利用立方根的定义开立方即可求出解．
【详解】
解：（1）方程变形得：，
解得：；
（2）开立方得：，
解得：．
解析：（1）；（2）
【分析】
（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；
（2）方程利用立方根的定义开立方即可求出解．
【详解】
解：（1）方程变形得：，
解得：；
（2）开立方得：，
解得：．
【点睛】
本题考查了立方根，以及平方根，解题的关键是熟练掌握各自的求解方法．
十九、解答题
19．已知；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠EHC =∠B；∠DFE+∠EFG =180∘；等量代换
【分析】
根据同位角相等，两直线平行推出ED∥BC，通过两直线平行，内错角相等推出∠
解析：已知；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠EHC =∠B；∠DFE+∠EFG =180∘；等量代换
【分析】
根据同位角相等，两直线平行推出ED∥BC，通过两直线平行，内错角相等推出∠DEF=∠EHC，再运用等量代换得到∠EHC =∠B，最后推出BD∥EH，∠BDG=∠DFE，再利用邻补角的意义推出结论，据此回答问题．
【详解】
解：∵∠AED=∠C (已知)
∴ED∥BC(同位角相等，两直线平行)
∴∠DEF=∠EHC (两直线平行，内错角相等)
∵∠DEF=∠B（已知）
∴∠EHC =∠B (等量代换)
∴BD∥EH(同位角相等，两直线平行)
∴∠BDG=∠DFE(两直线平行，内错角相等)
∵∠DFE+∠EFG =180∘(邻补角的意义)
∴∠EFG+∠BDG=180∘(等量代换)．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定和性质，属于综合题，难度一般，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键．
二十、解答题
20．（1）见解析；（2）5
【分析】
（1）根据平移的性质先确定O、B、C的对应点O1、B1、C1的坐标，然后顺次连接O1、B1、C1即可；
（2）根据的面积=其所在的长方形面积减去周围三个三角形的面积
解析：（1）见解析；（2）5
【分析】
（1）根据平移的性质先确定O、B、C的对应点O1、B1、C1的坐标，然后顺次连接O1、B1、C1即可；
（2）根据的面积=其所在的长方形面积减去周围三个三角形的面积进行求解即可．
【详解】
解：（1）如图所示，即为所求；

（2）由题意得：．
【点睛】
本题主要考查了平移作图，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握平移作图的方法．
二十一、解答题
21．．
【分析】
根据可得，即可得到的整数部分是3，小数部分是，即可求解．
【详解】
解：∵，
∴，
∴的整数部分是3，则，的小数部分是，则，
∴，
∴9的平方根为．
【点睛】
本题考查实数的估算、实数
解析：．
【分析】
根据可得，即可得到的整数部分是3，小数部分是，即可求解．
【详解】
解：∵，
∴，
∴的整数部分是3，则，的小数部分是，则，
∴，
∴9的平方根为．
【点睛】
本题考查实数的估算、实数的运算、平方根的定义，掌握实数估算的方法是解题的关键．
二十二、解答题
22．不同意，理由见解析
【分析】
先求得正方形的边长，然后设设长方形宽为，长为，然后依据矩形的面积为20列方程求得的值，从而得到矩形的边长，从而可作出判断．
【详解】
解：不同意，
因为正方形的面积为，
解析：不同意，理由见解析
【分析】
先求得正方形的边长，然后设设长方形宽为，长为，然后依据矩形的面积为20列方程求得的值，从而得到矩形的边长，从而可作出判断．
【详解】
解：不同意，
因为正方形的面积为，故边长为
设长方形宽为，则长为
长方形面积
∴，
解得（负值舍去）
长为
即长方形的长大于正方形的边长，
所以不能裁出符合要求的长方形纸片
【点睛】
本题主要考查的是算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．
二十三、解答题
23．（1）AB//CD，证明见解析；（2）∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D ；（3）(n-1)•180°
【分析】
（1）过点E作EF//AB，利用平行线的性质则可得出
解析：（1）AB//CD，证明见解析；（2）∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D ；（3）(n-1)•180°
【分析】
（1）过点E作EF//AB，利用平行线的性质则可得出∠B=∠BEF，再由已知及平行线的判定即可得出AB∥CD；
（2）如图，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GH∥AB，根据探究（1）的证明过程及方法，可推出∠E+∠G=∠B+∠F+∠D，则可由此得出规律，并得出∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D；
（3）如图，过点M作EF∥AB，过点N作GH∥AB，则可由平行线的性质得出∠1+∠2+∠MNG =180°×2，依此即可得出此题结论．
【详解】
解：（1）过点E作EF//AB，

∴∠B=∠BEF．
∵∠BEF+∠FED=∠BED，
∴∠B+∠FED=∠BED．
∵∠B+∠D=∠E（已知），
∴∠FED=∠D．
∴CD//EF（内错角相等，两直线平行）．
∴AB//CD．
（2）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GH∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥GH∥CD，
∴∠B=∠BEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGH，∠HGD=∠D，
∴∠BEF+∠FGD=∠BEM+∠MEF+∠FGH+∠HGD=∠B+∠EFN+∠NFG+∠D=∠B+∠EFG+∠D，
即∠E+∠G=∠B+∠F+∠D．
由此可得：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等，
∴∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D．
故答案为：∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D．
（3）如图，过点M作EF∥AB，过点N作GH∥AB，

∴∠APM+∠PME=180°，
∵EF∥AB，GH∥AB，
∴EF∥GH，
∴∠EMN+∠MNG=180°，
∴∠1+∠2+∠MNG =180°×2，
依次类推：∠1+∠2+…+∠n-1+∠n=(n-1)•180°．
故答案为：(n-1)•180°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定，属于基础题，关键是过E点作AB（或CD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形．
二十四、解答题
24．（1）①90；②t为或或或或或或；（2）①正确，②错误，证明见解析．
【分析】
（1）①由平角的定义，结合已知条件可得：从而可得答案；②当时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和
解析：（1）①90；②t为或或或或或或；（2）①正确，②错误，证明见解析．
【分析】
（1）①由平角的定义，结合已知条件可得：从而可得答案；②当时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差求解旋转角，可得旋转时间；当时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当时，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当时的旋转时间与相同；
（2）分两种情况讨论：当在上方时，当在下方时，①分别用含的代数式表示，从而可得的值；②分别用含的代数式表示，得到是一个含的代数式，从而可得答案．
【详解】
解：（1）①∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，
∴∠DPC＝180﹣30﹣60＝90°，
故答案为90；
②如图1﹣1，当BD∥PC时，

∵PC∥BD，∠DBP＝90°，
∴∠CPN＝∠DBP＝90°，
∵∠CPA＝60°，
∴∠APN＝30°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为3秒；
如图1﹣2，当PC∥BD时，

∵∠PBD＝90°，
∴∠CPB＝∠DBP＝90°，
∵∠CPA＝60°，
∴∠APM＝30°，
∵三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°+30°＝210°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为21秒，
如图1﹣3，当PA∥BD时，即点D与点C重合，此时∠ACP＝∠BPD＝30°，则AC∥BP，

∵PA∥BD，
∴∠DBP＝∠APN＝90°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为9秒，
如图1﹣4，当PA∥BD时，

∵∠DPB＝∠ACP＝30°，
∴AC∥BP，
∵PA∥BD，
∴∠DBP＝∠BPA＝90°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°+180°＝270°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为27秒，
如图1﹣5，当AC∥DP时，

∵AC∥DP，
∴∠C＝∠DPC＝30°，
∴∠APN＝180°﹣30°﹣30°﹣60°＝60°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为60°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为6秒，
如图1﹣6，当时，

∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为秒，
如图1﹣7，当AC∥BD时，

∵AC∥BD，
∴∠DBP＝∠BAC＝90°，
∴点A在MN上，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为18秒，
当时，如图1-3，1-4，旋转时间分别为：，
综上所述：当t为或或或或或或时，这两个三角形是“孪生三角形”；
（2）如图，当在上方时，

①正确，
理由如下：设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，
∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝30°﹣2t，∠APN＝3t．
∴∠CPD＝180°﹣∠DPM﹣∠CPA﹣∠APN＝90°﹣t，

∴
②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD随着时间在变化，不为定值，结论错误．
当在下方时，如图，

①正确，
理由如下：设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，
∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝ ∠APN＝3t．
∴∠CPD＝

∴
②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD随着时间在变化，不为定值，结论错误．
综上：①正确，②错误．
【点睛】
本题考查的是角的和差倍分关系，平行线的性质与判定，角的动态定义（旋转角）的理解，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
二十五、解答题
25．（1），理由见解析；
（2）当点P在B、O两点之间时，；
当点P在射线AM上时，.
【分析】
（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠C
解析：（1），理由见解析；
（2）当点P在B、O两点之间时，；
当点P在射线AM上时，.
【分析】
（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（2）分两种情况：①点P在A、M两点之间，②点P在B、O两点之间，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出结论．
【详解】
解：(1)∠CPD＝∠α＋∠β，理由如下：
如图，过P作PE∥AD交CD于E.

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE＋∠CPE＝∠α＋∠β.
(2)当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β－∠α.
理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E.

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE－∠DPE＝∠β－∠α；
当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α－∠β.
理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E.

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE－∠CPE＝∠α－∠β.
【点睛】
本题考查了平行线的性质的运用，主要考核了学生的推理能力，解决问题的关键是作平行线构造内错角，利用平行线的性质进行推导．解题时注意：问题（2）也可以运用三角形外角性质来解决．