导数的概念教案.doc

【教学课题】：§2.1 导数的概念（第一课时）
【教学目的】：能使学生深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；明确一点处的导数与单侧导数、可导与连续的关系。
【教学重点】：在一点处导数的定义。
【教学难点】：在一点处导数的几种等价定义及其应用。
【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。
【教学过程】：
一） 导数的思想的历史回顾
导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。
二）两个来自物理学与几何学的问题的解决
问题1 （以变速直线运动的瞬时速度的问题的解决为背景）已知：自由落体运动方程为：，，求：落体在时刻（）的瞬时速度。

问题解决：设为的邻近时刻，则落体在时间段（或）上的平均速度为

若时平均速度的极限存在，则极限

为质点在时刻的瞬时速度。
问题2 （以曲线在某一点处切线的斜率的问题的解决为背景）已知：曲线上点，求：点处切线的斜率。
下面给出切线的一般定义；设曲线及曲线上的一点，如图，在外上另外取一点，作割线，当沿着趋近点时，如果割线绕点旋转而趋于极限位置，直线就称为曲线在点处的切线。

问题解决：取在上附近一点，于是割线PQ的斜率为
（为割线的倾角）
当时，若上式极限存在，则极限
（为割线的倾角）
为点处的切线的斜率。
上述两问题中，第一个是物理学的问题，后一个是几何学问题，分属不同的学科，但问
题的解决都归结到求形如
（1）
的极限问题。事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都化归为讨论形如（1）的极限问题。也正是这类问题的研究，促使“导数”的概念的诞生。
三） 导数的定义
定义 设函数在的某邻域内有定义，若极限

存在，则称函数在点处可导，并称该极限为在点处的导数，记作。即
（2）
也可记作，，。若上述极限不存在，则称在点处不可导。
在处可导的等价定义：
设，若则等价于，如果
函数在点处可导，可等价表达成为以下几种形式：
（3）
（4）
（5）
四） 利用导数定义求导数的几个例子
例1 求在点处的导数，并求曲线在点处的切线方程。
解　由定义

于是曲线在处的切线斜率为2，所以切线方程为，即。
例2 设函数为偶函数，存在，证明：。
证
又

注意：这种形式的灵活应用。此题的为。
例3 讨论函数 在处的连续性，可导性。
解 首先讨论在处的连续性：
即在处连续。
再讨论在处的可导性：
此极限不存在

即在处不可导。
问 怎样将此题的在的表达式稍作修改，变为在处可导？
答 ，即可。
四）可导与连续的关系
由上题可知；在一点处连续不一定可导。反之，若设在点可导，则

由极限与无穷小的关系得：
，
所以当，有。即在点连续。
故在一点处连续与可导的关系是：连续不一定可导，可导一定连续。
五） 单侧导数的概念
例4 证明函数在处不可导。
证明　，
极限不存在。
故在处不可导。
在函数分段点处或区间端点等处，不得不考虑单侧导数：
定义 设函数在点的某右邻域上有定义，若右极限
（）
存在，则称该极限为在点的右导数，记作。
左导数 。
左、右导数统称为单侧导数。
导数与左、右导数的关系：若函数在点的某邻域内有定义，则存在，都存在，且=。
例5 设，讨论在处的可导性。
解　由于

从而，故在处不可导。
六） 小结:
本课时的主要内容要求：
① 深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；
② 注意这种形式的灵活应用。
③ 明确其实际背景并给出物理、几何解释；
④ 能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；
⑤ 明确导数与单侧导数、可导与连续的关系。
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