高等数学二全部笔记.doc

第一章 函数、极限与连续
§1、1 函数
一、 主要内容
㈠ 函数得概念
1、 函数得定义: y=f(x), x∈D
定义域: D(f), 值域: Z(f)、
2、分段函数:
3、隐函数: F(x,y)= 0
4、反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f1(y)
y=f1 (x)
定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y
就是严格单调增加(或减少)得;
则它必定存在反函数:
y=f1(x), D(f1)=Y, Z(f1)=X
且也就是严格单调增加(或减少)得。
㈡ 函数得几何特性
1、函数得单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D
当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),
则称f(x)在D内单调增加( );
若f(x1)≥f(x2),
则称f(x)在D内单调减少( );
若f(x1)＜f(x2),
则称f(x)在D内严格单调增加( );
若f(x1)＞f(x2),
则称f(x)在D内严格单调减少( )。
2、函数得奇偶性:D(f)关于原点对称
偶函数:f(x)=f(x)
奇函数:f(x)=f(x)
3、函数得周期性:
周期函数:f(x+T)=f(x), x∈(∞,+∞)
周期:T——最小得正数
4、函数得有界性: |f(x)|≤M , x∈(a,b)
㈢ 基本初等函数
1、常数函数: y=c , (c为常数)
2、幂函数: y=xn , (n为实数)
3、指数函数: y=ax , (a＞0、a≠1)
4、对数函数: y=loga x ,(a＞0、a≠1)
5、三角函数: y=sin x , y=con x
y=tan x , y=cot x
y=sec x , y=csc x
6、反三角函数:y=arcsin x, y=arccon x
y=arctan x, y=arccot x
㈣ 复合函数与初等函数
1、复合函数: y=f(u) , u=φ(x)
y=f[φ(x)] , x∈X
2、初等函数:
由基本初等函数经过有限次得四则运算(加、减、乘、除)与复合所构成得,并且能用一个数学式子表示得函数
§1、2 极 限
一、 主要内容
㈠极限得概念
1. 数列得极限:
称数列以常数A为极限;
或称数列收敛于A、
定理: 若得极限存在必定有界、
2、函数得极限:
⑴当时,得极限:

⑵当时,得极限:

左极限:
右极限:
⑶函数极限存得充要条件:
定理:
㈡无穷大量与无穷小量
1． 无穷大量:
称在该变化过程中为无穷大量。
X再某个变化过程就是指:

2． 无穷小量:
称在该变化过程中为无穷小量。
3． 无穷大量与无穷小量得关系:
定理:
4． 无穷小量得比较:
⑴若,则称β就是比α较高阶得无穷小量;
⑵若 (c为常数),则称β与α同阶得无穷小量;
⑶若,则称β与α就是等价得无穷小量,记作:β～α;
⑷若,则称β就是比α较低阶得无穷小量。
定理:若:
则:
㈢两面夹定理
1． 数列极限存在得判定准则:
设: (n=1、2、3…)
且:
则:
2． 函数极限存在得判定准则:
设:对于点x0得某个邻域内得一切点
(点x0除外)有:

且:
则:
㈣极限得运算规则
若:
则:①
②
③
推论:①

②
③
㈤两个重要极限
1. 或
2.
§1、3 连续
一、 主要内容
㈠ 函数得连续性
1. 函数在处连续:在得邻域内有定义,
1o
2o
左连续:
右连续:
2. 函数在处连续得必要条件:
定理:在处连续在处极限存在
3. 函数在处连续得充要条件:
定理:
4. 函数在上连续:
在上每一点都连续。
在端点与连续就是指:
左端点右连续;
右端点左连续。

a+ 0 b x
5. 函数得间断点:
若在处不连续,则为得间断点。
间断点有三种情况:
1o在处无定义;
2o不存在;
3o在处有定义,且存在,
但。
两类间断点得判断:
1o第一类间断点:
特点:与都存在。
可去间断点:存在,但
,或在处无定义。
2o第二类间断点:
特点:与至少有一个为∞,
或振荡不存在。
无穷间断点:与至少有一个为∞
㈡函数在处连续得性质
1. 连续函数得四则运算:
设,
1o
2o
3o
2. 复合函数得连续性:

则:
3. 反函数得连续性:

㈢函数在上连续得性质
1、最大值与最小值定理:
在上连续在上一定存在最大值与最小值。
y y
+M M
f(x) f(x)

0 a b x
m
M
0 a b x
2. 有界定理:
在上连续在上一定有界。
3、介值定理:
在上连续在内至少存在一点
,使得:,
其中:
y y

M
f(x)
C f(x)

0 a ξ b x
m
0 a ξ1 ξ2 b x
推论:
在上连续,且与异号
在内至少存在一点,使得:。
4、初等函数得连续性:
初等函数在其定域区间内都就是连续得。
第二章 一元函数微分学
§2、1 导数与微分
一、主要内容
㈠导数得概念
1.导数:在得某个邻域内有定义,

2.左导数:
右导数:
定理:在得左(或右)邻域上连续在
其内可导,且极限存在;
则:
(或:)
3、函数可导得必要条件:
定理:在处可导在处连续
4、 函数可导得充要条件:
定理:存在,
且存在。
5、导函数:
在内处处可导。 y
6、导数得几何性质:
就是曲线上点
处切线得斜率。 o x0 x
㈡求导法则
1、基本求导公式:
2、导数得四则运算:
1o
2o
3o
3、复合函数得导数:

,或
☆注意与得区别:
表示复合函数对自变量求导;
表示复合函数对中间变量求导。
4、高阶导数:

函数得n阶导数等于其n1导数得导数。
㈢微分得概念
1、微分:在得某个邻域内有定义,

其中:与无关,就是比较高
阶得无穷小量,即:
则称在处可微,记作:

2、导数与微分得等价关系:
定理: 在处可微在处可导,
且:
3、微分形式不变性:

不论u就是自变量,还就是中间变量,函数得
微分都具有相同得形式。
§2、2 中值定理及导数得应用
一、主要内容
㈠中值定理
1、罗尔定理: 满足条件:

y

a o ξ b x a o ξ b x
2、拉格朗日定理:满足条件:

㈡罗必塔法则:( 型未定式)
定理:与满足条件:
1o;
2o在点a得某个邻域内可导,且;
3o
则:
☆注意:1o法则得意义:把函数之比得极限化成了它们导数之比得极限。
2o若不满足法则得条件,不能使用法则。
即不就是型或型时,不可求导。
3o应用法则时,要分别对分子、分母
求导,而不就是对整个分式求导。
4o若与还满足法则得条件,
可以继续使用法则,即:

5o若函数就是型可采用代数变
形,化成或型;若就是型可
采用对数或指数变形,化成或型。
㈢导数得应用
1． 切线方程与法线方程:
设:
切线方程:
法线方程:
2． 曲线得单调性:
⑴

⑵

3、函数得极值:
⑴极值得定义:
设在内有定义,就是内得一点;
若对于得某个邻域内得任意点,都有:

则称就是得一个极大值(或极小值),
称为得极大值点(或极小值点)。
⑵极值存在得必要条件:
定理:
称为得驻点
⑶极值存在得充分条件:
定理一:

当渐增通过时,由(+)变;
则为极大值;
当渐增通过时,由变(+);则为极小值。
定理二:
若,则为极大值;
若,则为极小值。
☆注意:驻点不一定就是极值点,极值点也不一定就是驻点。
4.曲线得凹向及拐点:
⑴若;则在内就是上凹得(或凹得),(∪);
⑵若;则在内就是下凹得(或凸得),(∩);
⑶
5。曲线得渐近线:
⑴水平渐近线:

⑵铅直渐近线:

第三章 一元函数积分学
§3、1 不定积分
一、 主要内容
㈠重要得概念及性质:
1.原函数:设:
若:
则称就是得一个原函数,
并称就是得所有原函数,
其中C就是任意常数。
2.不定积分:
函数得所有原函数得全体,
称为函数得不定积分;记作:

其中:称为被积函数;
称为被积表达式;
称为积分变量。
3、 不定积分得性质:
⑴
或:
⑵
或:
⑶

—分项积分法
⑷ (k为非零常数)
4、基本积分公式:
㈡换元积分法:
⒈第一换元法:(又称“凑微元”法)

常用得凑微元函数有:
1o
2o

3o

4o
5o

6o

2、第二换元法:

第二换元法主要就是针对含有根式得被积函数,
其作用就是将根式有理化。
一般有以下几种代换:
1o
(当被积函数中有时)
2o
(当被积函数中有时)
3o
(当被积函数中有时)
4o
(当被积函数中有时)
㈢分部积分法:
1、 分部积分公式:

2、分部积分法主要针对得类型:
⑴
⑵
⑶
⑷

⑸
其中: (多项式)
3、选u规律:
⑴在三角函数乘多项式中,令,
其余记作dv;简称“三多选多”。
⑵在指数函数乘多项式中,令,
其余记作dv;简称“指多选多”。
⑶在多项式乘对数函数中,令,
其余记作dv;简称“多对选对”。
⑷在多项式乘反三角函数中,选反三角函数
为u,其余记作dv;简称“多反选反”。
⑸在指数函数乘三角函数中,可任选一函数
为u,其余记作dv;简称“指三任选”。
㈣简单有理函数积分:
1、 有理函数:
其中就是多项式。
2、 简单有理函数:
⑴
⑵
⑶
§3、2定积分 f(x)
一． 主要内容
(一)、重要概念与性质
1. 定积分得定义: O a x1 x2 xi1 ξi xi xn1 b x

定积分含四步:分割、近似、求与、取极限。
定积分得几何意义:就是介于x轴,曲线y=f(x),
直线x=a,x=b之间各部分面积得代数与。
x轴上方得面积取正号, y
x 轴下方得面积取负号。 + +
a 0 b x
2. 定积分存在定理:

若:f(x)满足下列条件之一:

若积分存在,则积分值与以下因素无关:

3. 牛顿——莱布尼兹公式:
*牛顿——莱布尼兹公式就是积分学中得核心定理,其作用就是将一个求曲边面积值得问题转化为寻找原函数及计算差量得问题。
4. 原函数存在定理:

5. 定积分得性质:

y y y
f(x) g(x)
1
f(x)

0 a c b x 0 a b x 0 a b x

y y
M f(x) f(x)

m
0 a b x 0 a ξ b x

(二)定积分得计算:
1. 换元积分

2. 分部积分

3. 广义积分

4. 定积分得导数公式

(三)定积分得应用
1. 平面图形得面积:

与x轴所围成得图形得面积 y f(x)

①. 求出曲线得交点,画出草图;
②. 确定积分变量,由交点确定积分上下限;
③. 应用公式写出积分式,并进行计算。
2. 旋转体得体积
及x轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体得体积:

0 a b x

及y轴所围成图形绕y轴旋转所得旋转体得体积:

第四章 多元函数微积分初步
§4、1 偏导数与全微分
一. 主要内容:
㈠. 多元函数得概念
3. 二元函数得定义:

4. 二元函数得几何意义:
二元函数就是一个空间曲面。(而一元函数就是平面上得曲线)
㈡. 二元函数得极限与连续:
1. 极限定义:设z=f(x,y)满足条件:

2. 连续定义:设z=f(x,y)满足条件:

㈢、偏导数:

㈣、全微分:
1、定义:z=f(x,y)

在点(x,y)处得全微分。
3. 全微分与偏导数得关系

㈤、复全函数得偏导数:
1、

2、

㈥、隐含数得偏导数:
1、

2、

㈦、二阶偏导数:

㈧、二元函数得无条件极值
1. 二元函数极值定义:

☆ 极大值与极小值统称为极值,
极大值点与极小值点统称为极值点。
2、极值得必要条件:

两个一阶偏导数存在,则:

★

而非充分条件。
例:

∴驻点不一定就是极值点。
5. 极值得充分条件:

求二元极值得方法:

极值点。

二倍角公式:(含万能公式)
①
②
③ ④ ⑤