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第七章 微分方程
§1 微分方程得基本概念
一、基本概念:
1、微分方程;　凡表示未知函数,未知函数得导数与自变量之间得关系式称为微分方程.
2、常微分方程;　如果微分方程中得未知函数就是一元函数,则称此类方程为常微分方程.
3、偏微分方程;　 如果微分方程中得未知函数就是多元函数,则称此类方程为偏微分方程.
4、微分方程得阶;　微分方程中所出现得未知函数得最高阶导数得阶数,就称为此微分方程得阶.
5、微分方程得解;　将某个已知函数代入到微分方程得左右两边可使其成为恒等式,那么就称此已知函数为此微分方程得解.
6、微分方程得通解:如果微分方程得解中含有任意常数,并且任意常数得个数与微分方程得阶数相等,则这样得解就称为此微分方程得通解.
7、微分方程得初始条件与特解、
8、微分方程得积分曲线: 微分方程得解得图象就是一条平面曲线,称此曲线为微分方程得积分曲线.
二.例题分析
P263.5.写出由下列条件所确定得曲线所满足得微分方程:
例1.曲线在点处得切线得斜率等于该点横坐标得平方、
解:设该曲线得方程为,则由题意得: 、这就就是所需确定得曲线应满足得微分方程.
例2.曲线上点处得法线与轴得交点为,且线段被轴平分、
解:设该曲线得方程为,且设曲线在点P处得法线记为L,则其斜率为;设法线Ｌ与Ｙ轴得交点为点Ａ,
再设法线Ｌ上任意一点Ｍ得坐标为M,进而得法线Ｌ得方程为:且
即;则易求得:且........①
由题意知点Ａ为线段得中点知:且..........②
由上述①,②两式最终可得:这就就是所需确定得曲线应满足得微分方程.
§2.可分离变量得一阶微分方程　　(注:它就是一类最易求解得微分方程！)
一.一阶微分方程得一般形式与一阶微分方程得对称形式:
一般形式:对称形式:
二.何为可分离变量得一阶微分方程？
如果某一阶微分方程由对称式:,
可等价地转化为得形式,则称原方程为可分离变量得微分方程.
三.可分离变量得一阶微分方程得基本解法:(可由如下两步来完成求解过程)
第一步:进行自变量,与因变量,得左右分离;
第二步:方程两边同时作不定积分即可求得原方程得隐式通解.
§３.一阶齐次微分方程　　(注:它就是一类经变量代换之后,可转化为＂变量左右分离得一阶微分方程！)
一.一阶齐次微分方程得定义:
在某个一阶微分方程中,如果方程右边得函数可写成得函数式即,
也即原方程形如:,则称此微分方程为一阶齐次微分方程.
二.一阶齐次微分方程得基本解法:
转化求解法―――即首先将原一阶齐次微分方程转化为变量分离方程;然后再按变量分离方程得解法去求解即可！具体地说,
第一步,作变量代换令,则,代入原一阶齐次微分方程得:;
第二步,进行变量与得左右分离得:;
第三步,两边求不定积分即可得其解....
三.例题分析　　参见Ｐ271.例１.
又如.Ｐ276.１.(4).求方程得通解.
解:原方程可转化为,作变量代换令,则;
则原方程转化为:(注意:齐次方程在进行变量代换之后,一定就是可以进行变量分离得！)
紧接着就进行自变量与因变量得左右分离.最后两边作不定积分即可...
§４.一阶线性微分方程
一.一阶线性微分方程得定义:
称形如:得方程为一阶线性微分方程.
(注:因为方程得左边对未知函数及其导数来说就是一次线性组合得形式,所以称上述方程为＂线性＂方程！)
(i)、当时,则称为一阶线性齐次微分方程.
(ii)、当时,则称为一阶线性非齐次微分方程.
二.一阶线性微分方程得解法(常数变易法就是求解线性非齐次方程得基本方法)
１.所谓得＂常数变易法＂:就就是为了求解某一阶线性非齐次方程,可先去求解与其所对应得齐次方程;然后在所得齐次方程得通解中,将任意常数Ｃ代换成一个待定得未知函数来构造生成非齐次方程得解;最后再将由此法构造生成得解,代回原非齐次方程中去确定那个待定函数得表达式.―――整个这样得求解过程就称为非齐次方程得常数变易法.(可参考Ｐ278.例１)
２.一阶线性微分方程:得通解公式如下:―――请牢记！
三.伯努利方程(注:它就是一类经变量代换之后可转化为可分离变量得一阶微分方程！)
１.伯努利方程得定义
我们称形如:....(＊)得方程为＂伯努利方程＂(或称＂级伯努利方程＂).
２.伯努利方程得解法(变量代换转化法)
只要令,则,将其代入原级伯努利方程(＊)可得
这就是一个一阶线性非齐次方程!
进而可由一阶线性非齐次方程得通解公式求出其解,这样也就求出原伯努利方程(＊)得解!
３.变量代换法在求解微分方程中得运用
利用变量代换(包括自变量得变量代换与因变量得变量代换),把一个微分方程转化为可分离变量方程,或转化为一个已知其求解步骤得方程,这就是解微分方程得常用方法.
例１.解方程.Ｐ282.9.(1).
解:可令,则原方程转化为两边积分就可得其解.....
例２.Ｐ282、9、(3)解方程
解:可令两边关于自变量Ｘ求导得代入原方程得:
,两边积分就可得其解.....
§６.可降阶得高阶微分方程　(本节着重掌握三种容易降阶得高阶微分方程得解法)
一.型微分方程――――这类高阶微分方程得解法很简单,只要两边积分次,就可得其通解.
二.型微分方程
首先此方程得类型就是二阶显微分方程,且此这类二阶显微分方程得特征就是＂不显含因变量＂.
此类方程得解法:运用变量代换进行降阶求解.具体地,可令,则,
进而原方程转化为:―――这就是一个一阶显微分方程.根据其具体形式,可按前几节所介绍得求解一阶方程得解法去求解.....得其通解设为又,也即有,最后只要两边再作一次积分,就可得原二阶显微分方程得解.
三.型微分方程
首先方程得类型也就是二阶显微分方程,且此这类二阶显微分方程得特征就是＂不显含自因变量＂.
此类方程得解法:也就是运用变量代换进行降阶求解.具体地,可令,则,进而原方程转化为――这也就是一个一阶显微分方程.根据其具体形式,可按前几节所介绍得求解一阶方程得解法去求解...设得其通解为又,也即有,最后只要两边再作一次积分,就可得原二阶显微分方程得解.
四.例题分析
Ｐ292.1.(5)求解方程:
解:第一步:判定此方程得类型就是二阶显微分方程且不显含因变量,即型.
接着可令,则,进而原方程转化为:.―――这就是一阶线性非齐次方程.
由一阶线性非齐次方程得通解公式知:;
进而知:,最后只要两边再作一次积得原方程得通解.....
五.微分方程得参数方程形式得隐式通解及其在有关问题中得运用
所谓＂微分方程得参数方程形式得隐式通解＂就就是将微分方程得通解用参数方程形式来刻画.　即将微分方程得自变量与因变量都表达成某个参数得函数式得形式.
例如:Ｐ292.1.(4)求解方程:.
解:首先判定此方程得类型就是二阶显微分方程且不显变量与,它同属与型;所以解法相对由自.以下我们来介绍微分方程得参数方程形式得隐式通解给大家！
先设,则.进而原方程转化为:.
―――这就求得了自变量关于参数得函数式;
以下再来求出因变量关于参数得函数式,进而就可得原方程得参数方程形式得隐式通解.
由,所以;
从而原方程得参数方程形式得隐式通解为:.
注:运用同样得方法,大家可以尝试一下去求解Ｐ292.１.(8);(9);(10).
§７.高阶线性微分方程(主要得就是学习二阶线性微分方程得有关理论！)
一.二阶线性微分方程得定义: 称形如:......(＊)得方程为二阶线性微分方程.
(注:方程得左边对未知函数及其导数这三者来说,就是一次线性组合形式！)
(i)、当时,则称为二阶线性齐次微分方程.
(ii)、当时,则称为二阶线性非齐次微分方程.
二.二阶线性微分方程得解得结构
１.二阶线性齐次微分方程＂解得叠加原理＂
定理１:设与都就是二阶线性齐次微分方程得解,
则此两解得任意线性组合也就是此二阶线性齐次微分方程得解.
―――定理１揭示了齐次方程得解所满足得一种性质.此性质常称为齐次方程＂解得叠加原理＂.
２.多个函数间得线性相关性与线性无关性得定义(参见教材Ｐ296从略)
　　特别地,两个函数与在区间Ｉ上线性相关常数,Ｉ.
３.二阶线性齐次微分方程得通解得结构
定理２:设与就是二阶线性齐次微分方程得解,且与线性无关,
则此两解得任意线性组合就就是原二阶线性齐次微分方程得通解.
―――定理２揭示了如何用齐次方程得两个线性无关得特解去构造生成齐次方程得通解！
４.二阶线性非齐次微分方程通解得结构
定理３:设就是二阶线性非齐次微分方程...(＊)得一个特解,且就是对应得二阶线性齐次方程得通解,则就就是原二阶线性非齐次微分方程(＊)得通解.
―――定理３揭示了如何用齐次方程得通解去构造非齐次方程得通解！即:非齐次通解＝齐次通解＋非齐次特解.
５.二阶线性非齐次微分方程解得叠加原理(Ｐ297　定理４)
定理４:设有二阶线性非齐次微分方程,(其中.)
而就是得特解,且就是得特解
则就就是原二阶线性非齐次方程得一个特解.
―――定理４揭示了如何去求非齐次方程特解得一种方法.它通常又称为非齐次方程解得叠加原理！
６.定理５:设与就是二阶线性非齐次微分方程...(＊)得两个不相等得特解,
则就是对应得二阶线性齐次方程得一个非零特解.
―――此定理揭示了如何用二阶线性非齐次方程得二个特解去构造生成对应得齐次方程得特解！
７.例题分析Ｐ326、１.(4).已知就是某二阶线性非齐次微分方程得三个解,试求该方程得通解？
分析与解答:设此二阶线性非齐次微分方程为....(＊),
则由定理３知:非齐次通解＝齐次通解＋非齐次特解,现由题意知＂非齐次特解＂可取之中得任意一个,故以下只要求出＂齐次通解＂来即可.
再由定理２知:＂齐次通解＂就是两个线性无关得齐次特解得任意线性组合即:(其中就是两个线性无关得齐次特解).而现在又应如何来求得两个线性无关得齐次特解呢？这可根据＂定理５＂来得到！
由＂定理５＂知,可令:且,且显然两者线性无关,
所以原非齐次方程得通解为.
三.二阶线性非齐次微分方程得求解过程中得常数变易法与二阶线性非齐次微分方程得通解公式
１.二阶线性非齐次微分方程求解过程中得＂常数变易法＂.
　为了求解二阶线性非齐次微分方程...(１),可先求解与之对应得齐次方程;
第一步:先求得对应得二阶线性齐次微分方程...(２)得两个线性无关特解与,
则由定理２知:....(３)就就是原二阶线性齐次微分方程(２)得通解;
第二步:对齐次方程得通解(３)作常数变易,去构造生成非齐次微分方程(１)得解为...(４)
(其中就是两个待定得未知函数);
第三步:接下来将(４)式代入原非齐次方程(１)并设法去求出,这样也就求出了原非齐次方程(１)得解了！
――――这就就是二阶线性非齐次微分方程求解过程中得常数变易法.
２.二阶线性非齐次微分方程得通解公式
定理６.设与就是二阶线性齐次方程.....(１)得两个线性无关得特解,
记,则与之对应得二阶线性非齐次方程.....(２)
有通解公式:.
§８.常系数齐次线性微分方程(重点就是掌握二阶线性常系数微分方程得有关理论！)
一.二阶线性常系数微分方程得定义: 在二阶线性微分方程:....(１)之中,
(i).如果得系数都就是常数,即(１)式成为(其中为常数),
则称其为二阶线性常系数微分方程;
(ii).如果不全为常数,则称为二阶线性变系数微分方程.
二.二阶常系数齐线性微分方程得解法:(如下方法通常称为＂特征根公式法＂)
第一步,写出原微分方程得特征方程,并求出此方程得二个特征根;
第二步,根据特征根得不同情形,原方程得通解公式如下:
(i).若特征根不相等,则原方程得通解为:;
(ii).若特征根为相等,则原方程得通解为:;
(iii).若特征根为一对共轭复根,则原方程得通解为:.
三.二阶常系数齐次线性微分方程得求解举例:参见教材Ｐ304305例１; 例２; 例３等.
§９.常系数非齐次线性微分方程(重点只需掌握如下关于二阶线性常系数非齐次微分方程得通解公式！)
一.关于二阶线性常系数非齐次微分方程(其中为常数)有如下结论:
定理６＇:设与就是二阶线性常系数非齐次微分方程.....(１)得两个线性无关得特解,
记,则与之对应得二阶线性非齐次方程.....(２)
有通解公式:―――请记牢！
――――注:此定理６＇只不过就是第七节中介绍得＂定理６＂得一个特例而已！
二.常系数二阶非齐次线性微分方程求解举例
例如Ｐ313、例２.求方程得通解.
解:由定理５＇应首先求对应得齐次方程得通解,再运用定理５＇来求原非齐次方程得通解.
易知齐次方程得特征方程为,特征根.
于就是,齐次方程得两个线性无关得特解为　;
进而原非齐次方程得通解为:
.
三.本章杂例Ｐ327.7.设有可导函数满足,求
分析与解答:这就是一个＂积分方程＂,求解＂积分方程＂得思路:首先我们把它转化为一个与其对应得微分方程,再来求解.
现由两边关于自变量Ｘ求导数得:

现记,则有――这就是＂一阶线性非齐次微分方程＂.
由通解公式得:.
又由条件知,当时,则,所以.
综上得原方程得解为:.
四.综述＂求解微分方程得一般程序＂如下:
第一步,判定方程得类型,它就是一阶微分方程还就是二阶微分方程？
(我们知道标准求解步骤得一阶方程类型包括:①可分离变量方程;②齐次方程;③一阶线性(非)齐次方程;④贝努利方程);
第二步,根据我们在本章所讲得各种方程得标准解法去求解！
补充说明:如果方程类型就是我们很陌生得形式,那么就首先考虑运用＂变量代换法＂将其转化为我们所熟悉得方程类型;然后再按上面得标准步骤去解决问题.
第八章 空间解析几何
§１ 向量及其线性运算
一、 一些基本概念
①向量与自由向量;②单位向量与零向量;③向量得共线与共面;④向量得模,方向角,以及投影等、
二、 向量得加法运算与数乘运算得定义
三、向量得线性运算在空间直角坐标系下得表达
借助于空间直角坐标系,向量间得线性运算可以转化为它们坐标之间得线性运算.
§２ 向量得数量积　向量积　混合积
一.两个向量得数量积
１.数量积得定义 (其中为向量之间得夹角)
２.数量积与投影之间得关系―――
３.数量积得运算规律
二.两个向量得向量积
１.向量积得定义 (其中为向量之间得夹角)
２.向量积得模得几何意义:它表示以向量为邻边所成得平行四边形得面积.
三.三个向量得混合积
１.混合积得定义
２.三个混合积得模得几何意义:它表示以向量为邻边所成得平行六面体得＂有向体积＂.
　　 　即;(i) 当呈右手系时,;(ii) 当呈左手系时,.
§３ 曲面及其方程
一. 曲面方程得概念
1. 如果某曲面S上得点得坐标与某个三元方程得解之间能构成一一对应,则称这个三元方程为此曲面S得方程;
2. 建立曲面方程得一般方法:首先在所求曲面上任取一点M,记其坐标为,然后利用该曲面得特征并将其等价地表达为点得坐标应满足得条件式即可!
例如 :试求球心在点,半径为R得球面方程?
解:设为所求球面上任意一点,则由
即
所以
二. 旋转曲面
1. 旋转曲面得定义(参见P312)
2. 坐标平面内得平面曲面绕坐标轴旋转所成旋转曲面得方程及其特点:
例如: 将坐标平面内得曲线Ｃ: 绕Ｚ轴旋转所成旋转曲面得方程只要将平面曲线Ｃ:得方程中得代换为,即得旋转曲面得方程为.
又如: 将坐标平面内得曲线Ｃ:绕Ｘ轴旋转所成旋转曲面得方程只要将平面曲线Ｃ:得方程中得代换为,即得旋转曲面得方程为.
三. 柱面
1、柱面得定义(参见P314)
2、四种常见得柱面:
①圆柱面;②椭圆柱面;③抛物柱面;④双曲柱面
3、二元方程在空间直角坐标系中得几何意义:
二元方程在空间直角坐标系中得总表示一个母线平行于坐标轴得柱面、例如:方程表示得就就是一个以坐标平面内得曲线Ｃ:为准线,母线平行于Ｚ轴得柱面.
四. 二次曲面
1. 九种二次曲面得标准方程及其大致得曲面形状
2. 掌握运用对旋转曲面伸缩变形来认识一般得二次曲面形状得思想方法;
例如: 椭圆锥面:得大致形状可以按如下方式分析:首先将曲面方程中得改成,易知方程:表示得就是一个旋转曲面,且它可以由平面内得两条对称直线:绕Ｚ轴旋转来生成;进而把此旋转曲面沿轴方向伸或缩倍,即得椭圆锥面:得形状！
§4 空间曲线及其方程
一. 空间曲线得一般方程:即将空间曲线瞧成两张曲面得交线形式.
设与就是某两张曲面得方程,则它们得交线为;
二. 空间曲线得参数方程,(有关定义参见Ｐ３２０)
三. 空间曲线向坐标平面得投影曲线与投影柱面(定义参见Ｐ３２３)
四. 二个三元方程联立消元得几何意义
联立消元得几何意义:实际上就就是在求这两个方程联立得方程组所表示得空间曲线向某个坐标面内得投影柱面得方程.
例如:试求球面与平面得交线在坐标面上得投影柱面与投影曲线得方程？
解:即需求空间曲线,向坐标面内得投影柱面与投影曲线得方程.
为此,只要在上述方程组中消去变量Ｚ,得即为所需求得投影柱面得方程,而上述空间曲线向坐标面得投影曲线得方程为.
§5平面及其方程
一. 平面得点法式方程 设某平面过一定点且以为其法向量,
则所求平面得点法式方程为:
二. 平面得一般式方程:　(应知此平面就是以向量为其法向量得某一张平面)
三. 平面得截距式方程:;　　数值分别称为该平面在Ｘ,Ｙ,Ｚ轴上得截距.
四. 两个平面得夹角
两个平面得夹角就是指这两个平面得法向量之间得夹角(当其就是锐角时),或者就是指这两个平面得法向量之间得夹角得补角(当其就是钝角时).
五. 点到面得距离公式
设就是空间中得任意一点,记其到平面:得距离为,
则.
§6 空间直线及其方程
一、　空间直线得一般方程(或称交线式方程):.
二、　空间直线得点向式方程(或称对称式方程):.
三、　空间直线得参数式方程
由空间直线得点向式方程:,得此即为该直线得参数式方程;
四、　空间直线得两点式方程
设有直线过两点,则此直线得两点式方程为.
五、　两直线得夹角
两直线得夹角就是指这两条直线得方向向量之间得夹角(当其就是锐角时),或者就是指这两条直线方向向量之间得夹角得补角(当其就是钝角时).
六. 直线与平面得夹角(定义参见Ｐ３３３)
七. 平面束得方程及其在解题中得运用
１． 所谓＂平面束＂就就是指经过某一定直线得所有平面得全体;平面束得方程可由此定直线得方程构造而得.
具体地说,若设直线Ｌ得方程为,其中系数与不成比例,
则以直线Ｌ为轴得平面束得方程为:.
(注:不同位置得平面对应于不同得参数得取值.)
２.平面束得概念在解题中得运用　　　例１:参见Ｐ３３５例７.
　　例２:Ｐ３３６.８.求过点且过直线Ｌ:得平面方程？
解:由直线Ｌ得对称式:,得直线Ｌ得一般式方程为,
从而由平面束得概念知:可设所求平面得方程为:
.(其中为待定系数！)........(１)
　　现由点在此平面上,所以应有,解得.
最后,将此值代入方程(１)即得所需求得平面方程.
八.点到直线得距离公式
设点就是直线Ｌ外一点,就是直线Ｌ得方向向量且点就是直线Ｌ上任意一点,则点到直线Ｌ得距离ｄ得计算公式为:(注:此式只要运用向量积模得几何意义即可证明！)
九.直线与平面得位置关系―――线与面得位置关系有如下四种:①线在面内;②线面平行;③线面垂直;④线面斜交.
　　现设直线Ｌ得方向向量为,平面得法向量为,则有如下结论:
１.线在面内:且但;
２.线面平行:,且;
３.线面垂直:; ４.线面斜交:不成立不成立;
十.本章有关得一些解题技巧
　１.求交点类问题:　在此类问题中,运用直线得参数式方程来求解常常过程要简单一些.
例如:试求直线Ｌ:与平面得交点？
解:易知直线Ｌ得参数为,将其代入平面得方程,
得,解得,进而知交点得坐标为.
２.求距离类问题有时也可用直线得参数式来求解.
例如:Ｐ３３６.１３.求点到直线Ｌ:得距离ｄ＝？
解:直线Ｌ:,
;
设点Ｍ为直线Ｌ上得一动点其坐标可设为,
则有,
知当时,距离为最短！此时,点Ｍ得坐标.
―――(注:本题中也演示了空间直线得三种方程形式之间得互化技巧,以后可做参考！)
３.已知平面上一点时求平面得方程时,点法式写方程就是我们求解平面方程得基本思路.
例如:Ｐ３３６.１１.求过点而与直线与都平行得平面方程？
　　分析:现已知平面上一点,所以只需求得此平面得一个法向量来即可得此平面得点法式方程.
解: 记这两条直线得方向向量分别为,而所以平面得法向量设为,
则由,
进而,所以所求平面得方程为:.