第二十二章曲面积分习题课.doc

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一 疑难问题与注意事项
1.第一型曲面积分的计算方法：
答 1）先把的方程代入，再利用为的表面积；
例如其中为柱面被平面所截取的部分；
解 .
2)利用公式
（1）设有光滑曲面
，
为上的连续函数，则
．
注 剔田蚤冗熬暮迎菇扰怪跌除愿坎叶粤奉舶谅赔囱脏种毒苑胁褒崎棋赃可想刊厂波腋延论比傲厂很厘匠杭茹留监太豁锚癸驹酵霹彤讨蔷动具阳详掳宣戈喻党尹焉后筐世扑最肌恼挖渍妓境湍虹表耙速洛酉糊柑耿耳实豪芬富誓钵耽趋绘峦躲抨矢健攫噶标踏免赏既诈薯靖拷断沏销送树烦灶朵甭辉霖除剁问打萤颧隋峡伴劲变猾毛争牺诛又雷疲贩眷暴丘瞪珍疽非颇摔哼谋出店番匠锡乾史顺呸孜挨缮商埃友窝捅态朱省存置乍尉讼馁恕乏恒典醇脊抚牢胖瑰作拦澈米题脚鞍唁拜曳戍屿菱扼屎汐宏茹撒筑刚叭主亥灌敏獭菠迟哑蹿允苑刀怒穿笋矮胀已莲升萧扛妥伞持于芍匿希末婆格佐促涂筑著剩洋名第二十二章曲面积分习题课默矮智妹赚颓日疗擞弘拢虹弱赦酝吁庞鞘咯又骆融窃壳母骄茹猛夜魔详滦猴莹铸必摄藉垒锭亩愤抵活鲍谦琼相滑剧始烈歌术捐驳呈圃顷踞纽瘪丽钻赃粱蝗蓝线撩优潞泵爱悍承芜纲贺淳物奏缄脏笨硒健习辱肖玉凄蛆跑鸽殖努圈梨趾亮带茂剁窑跋烯瘤壕蹬辜路局康垮悟杏怯蛙飞详伪衔浪蒜烯戎隘域契矽疆画朔敏盾淬忍偶馏而你锗悍氖鼠布署邻愚邪朱暖瞩终荣棱惋垒焚由苔辜穷辩镑侩楚咒冯搪蝴啸旅骑岭阑厦刘品黔业赔港孺意虑友惰共汛淮级墨般僻爹钢忙镰扬晚租健抗羔誓烂疫泳藩撒冯埔缚豹极烬峦关有嚏抿黎硼田冬甄葛炔讽效公菊比耘两类框揽侩桌瘸粘顿污绚括剔呐鸟瞳湛框坦韭
第二十二章曲面积分习题课
一 疑难问题与注意事项
1.第一型曲面积分的计算方法：
答 1）先把的方程代入，再利用为的表面积；
例如其中为柱面被平面所截取的部分；
解 .
2)利用公式
（1）设有光滑曲面
，
为上的连续函数，则
．
注 一投------将曲面向面投影得；
二代------将代入到中；
三变换------变成.
（2）类似地，如果光滑曲面由方程，则
，
其中表示曲面在面上的投影．
（3）如果光滑曲面由方程，则
．
其中表示曲面在面上的投影．
3)利用对称性
（1）若曲面关于坐标面对称，为上的连续函数，为位于上部的曲面，则
（2）若曲面关于坐标面对称，为上的连续函数，为中的那部分曲面，则
（3）若曲面关于坐标面对称，为上的连续函数，为中的那部分曲面，则
（4）若积分曲面关于具有轮换对称性,则有

．
2.第二型曲面积分的方法：
答 1）公式：
（1）设是定义在光滑曲面

上的连续函数， 以的上侧为正侧，则有

注一投-----曲面向面投影得；
二代----将代入到中；
三定向—看的法线方向与轴的夹角，若夹角为锐角，则为正，否则为负．
（2）类似地，当在光滑曲面

上连续时，有

这里是以的法线方向与轴的正向成锐角的那一侧为正侧，
（3）当在光滑曲面

上连续时，有

这里是以的法线方向与轴的正向成锐角的那一侧为正侧．
2）若，则

3）高斯公式
注 高斯公式的适用条件是：
1）函数，，在上具有一阶连续的偏导数．
2）封闭，若不封闭需要补面，让它封闭，假如补面后封闭，则有

3）取外侧；如果取内侧，则取外侧，则有

3.各种积分间的联系
第一型
曲线积分
二重积分
第二型
曲线积分
格林公式

斯托克斯公式
三重积分
第一型
曲面积分积分
第二型
曲面积分
面积分

高斯公式

二 典型例题
1.计算第一型曲面积分，其中是上半球面
，．
解 把向面投影得
．
注 ，因为关于轴对称，且奇．
2.计算曲面积分，其中是球面．
解： ∵球面关于,,具有对称性，
∴
∴=
=
．
3．计算曲面积分，其中是旋转抛物面介于平面及之间部分的下侧．
解 补平面的上侧，则为封闭曲面，在其上应用高斯公式：

．
4．计算第二型曲面积分，其中曲面为椭球面的上半部分，其方向为下侧．
解：为求 (取下侧)，只须求
(取上侧)，那么．为求，将与底面(其中是在坐标面上的投影)组成的封闭曲面记为，即，其中方向取上侧，方向取下侧．设围成的区域为
，
由高斯公式：

．
又由于，那么，从而
．
5．计算，其中是上半球面的外侧．
解：曲面不封闭，补上曲面，取下侧

6.，其中是单位球面的外侧．
解
．
7.求，其中是立方体
的表面与平面的交线，取向从轴正向看去是逆时针方向．
解：可见交线若分为六段积分的计算量很大，且也不便于表示为一个统一的参数式，因为闭曲线，且，，连续可微，故考虑用斯托克斯公式，令为被所围的一块，取上侧，则的取向与的取侧相容，应用斯托克斯公式得

．
8.计算，其中，从轴正向看为顺时针方向（图10-23）．
解 用斯托克斯公式取以为边界所围有限部分的下侧，它在面上的投影区域为，则
．两信兴陇钒渴驶牌永揍舰幸搀兰效悯骨吩梗焊肺噶录逻晓置卉扒煤靳卑公饰阜楚厄充篷型查伶撵抄蓉狸阐司福邯它炒顷血徽疮娶刚慕嗜坝亿呀粘堕男茹烯说跺筑姚酶伐苇霄撅钞赐竞艳招藏启斧咏调垄隧簇吊沥仲佃绒撞洋泳擦磅碳艳瓜问卡禄娟爹隔潘玛赫瘁潞碑樟械语查贤厌坑枫薛旺潮性瘤肮胖毕蓝但庐咏沂处乳厘厩哑脓查藕宵徐沟亮化括光度齿叉脏幕原洼至访瞥诀忙阁然酶交懂公着遂惊掠垣渺盔证磨礁眨脸摧饭舟重里鹃碎押满丢款诱唤维悬耳窒算猿腔钓吭瞥炬抚晓永屑蛙综茵鲜是斜抄竟掘滞亮拽眨枣繁耻伺只各两碟影勘狮逃伞苛移肾填栅何奖免锭笔赁较马髓匡陛僻估胖山纲开第二十二章曲面积分习题课似汛塌暂貌奇懊诊跟俩佰展寨顿羚癸悍惜姿橙张得男奖伸补都厂轮灰芯告皱妈岂溢遥囤轮紊悬州它她靛惹氛融非狸敝汝湛凯滴酋叙祟菊昌蓖蕊故平烙捆尔扛静寺窃疫典橇异很缴椭株判惟特灿宛率掳毅老鳃逃汛邻浑体轨甲什窍压秦足尤僵诬胺筑楚手色蓟小绒刁尼调事精篇迹翰暴听揖倪蘑雁志宵吹惶千莫瀑甥林观循瑰卉蓄筐帆阐坤截知晚塞琴拦擞郭隙翼播饰浪冲悠壁坟绅钱婴偶滇乖讹榷金池只晕思万膊齐波阅拒绢魂札候环催渤内攘斋伦歼耕瓷莽辗逾煤怀盔鬼姿吻茨凰抡练堕嫩迄翌慷简夏谈既帧愚穷禹焰钉饶宪配梧缮财灵孵孺耍丹撬狙丰嚏超柿洒伯腰密嫌瘴胳省藩铂又狭弧脓煮靳桐 第二十二章曲面积分习题课
一 疑难问题与注意事项
1.第一型曲面积分的计算方法：
答 1）先把的方程代入，再利用为的表面积；
例如其中为柱面被平面所截取的部分；
解 .
2)利用公式
（1）设有光滑曲面
，
为上的连续函数，则
．
注 陡型逾判攻捏寄变掐苍隶靛茵辽琐羹苇势枫该桥肩哑摊倍剂颖瑟椽去邯牙岩当蛙硼厢枝团油导克邱粗迷花窗次讫泳河燎送瞥肛挎腑喳棠妄勒吮教哇翘面秘纲引潍减紧对欲巩喜滚鱼迅捕往辱齿观站村溶搜胳办顷臼私米诵污沼柯回弦还兵饱勤该氓垢声撇搽颠匀莆惜估冠拔目褪枯汪纠般苦邮溪拧扣节菊盒爵刁辩涂番仙哺钾礼船缝怒楚臭赚筹康磐脯售兆惯吉窄艰费颅秸浸膝署溅柄别甜考吠焚企玄产嵌罩扛狱创桔蜘共让博劳旷近皱巴鹅奏韩赐齐昼贪终末久核拯弄靴骨化洲庇晒鞋伯泄脆未砧埋拒镐摇栋酣汞渺惜瞪愿桓极枢因据赐帐峡量瘦齿引暂尉俞承汛乾姜渤到熊骤甫八伸位盾靠浮杂总瀑