线性代数完美总结版.doc

《线性代数及其应用》
一、行列式
1、余子式，代数余子式
2、几个定理(定理2.2，2.3，2.4)
按行展开：
按列展开：
定理2.4 ；
.
3、行列式的性质
(1) .
(2) 若行列式的某一列(行)可以拆成两列(行)之和，则行列式可以拆成两个行列式之和，即
.
(2) 若行列式有两列(行)成比例，则行列式等于零.
(3) 初等变换性质

4、行列式计算：三角化法(性质)；
降阶法(性质+展开定理)；
范德蒙德、三对角行列式的结论.
5、分块矩阵的行列式

二、矩阵
1、矩阵及其运算(加法、数乘、乘法、幂、转置、方阵的行列式、分块运算)
(1) 乘法的结合律
(2) 方阵的幂的求解
(3) 转置的性质：
(4) 方阵的行列式：
(5) 分块运算(转置、乘法--例3.13、3.14)
2、初等变换及初等矩阵
(1) 左行右列(矩阵的初等变换可用矩阵乘法来表示)

(2) 初等矩阵都是可逆的，且初等矩阵的逆仍是初等矩阵，即

3、可逆矩阵
(1) 定义、性质
(2) 伴随矩阵
(3) 判定：可逆
(4) 逆矩阵的求法
(5) 分块矩阵的逆

(6) 矩阵方程的求解：，其中可逆.
法1 .
法2 .
4、矩阵的秩与矩阵的相抵
(1) 矩阵的秩与性质(101页，105-107页)
① ；
② 子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩；
③
④ ；
⑤ ；
⑥ ；
⑦ 或；
若，则，其中，.
⑧ 设，则
(2) 求矩阵的秩 (理论依据：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩)
(行阶梯形矩阵)，
则的非零行的个数.
(3) 矩阵的相抵(等价)
①
② ，其中可逆.
③ 或.
三、线性空间
1、向量组的线性相关性的判断(命题4.2、4.3、4.4、4.5、定理4.1、4.2、4.4)
(1) 证明方法--

(2) 基本结论
判断向量组线性相关（命题4.2，命题4.3(2),定理4.1及推论1，定理4.2）
充要：线性相关其中至少有一个向量可由其余向量线性表示.
充分：线性相关
判断向量组线性无关（命题4.3(3)，命题4.4的推论）
2、等价向量组
(1) (Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，则(Ⅰ) (Ⅱ).
(2) (Ⅰ)与(Ⅱ)等价，则(Ⅰ)(Ⅱ).
3、子空间的验证
(1) 非空、加法和数量乘法的封闭；
(2) 命题4.1(生成子空间)--例4.9，例4.35
4、向量组的秩及极大无关组(命题4.6，定理4.4及推论2)、(线性)子空间的基与维数
(1) 写成列向量作初等行变换，确定向量组的秩与极大无关组.
(2) 对于，则， 即生成子空间的维数
与基就是向量组的秩与极大无关组.
5、坐标的概念、基变换公式与坐标变换公式
坐标：在基下的坐标.
基变换公式：
坐标变换公式：
或

四、线性方程组(含参量、不含参量)
1、解的情况
(1)
若是方阵，则
(2) 齐次线性方程组有非零解.
若是方阵，则齐次线性方程组有非零解.
2、解的结构
齐次：
(1) 解空间、基础解系所含向量的个数
(2) 基础解系不唯一，的线性无关的解均可作为的一个基础解系.
(2) 结构式：通解=基础解系的任意线性组合
非齐次：
(1) 非-非=齐
(2) 结构式：通解=特解导出组的通解

五、线性变换
1、线性变换的验证 (定义5.4)
2、线性变换在一个基下的矩阵(定义5.7)、命题5.8

3、线性变换在不同基下的矩阵之间的关系(相似) 定理5.9

六、内积空间
1、内积的概念、长度、正交(正交向量组必线性无关)
2、施密特正交化
3、正交矩阵
(1) 定义、性质；
(2) 阶实矩阵是正交矩阵的充要条件是的列(行)向量组是的一个标准正交基. (命题6.2)
七、矩阵的相似对角形
1、特征值和特征向量的定义、性质
(1) ；
(2) 与具有相同的特征值(特征向量未必相同)；

已知

可逆)
矩阵

特征值

特征向量

(3)

；.
(4) 属于不同特征值的特征向量线性无关(定理5.3、定理5.4及推论).
2、相似矩阵的定义、性质(秩、行列式、迹、特征值相等，但特征向量未必相同)
相似的判定：若与可对角化(实对称矩阵)，且与具有相同的特征值，则与相似.
若与相似，则矩阵多项式与也相似.
3、矩阵的相似对角化
可对角化有个线性无关的特征向量
数域内有个特征值，每一个特征值的几何重数等于代数重数
(充分条件) 有个互不相同的特征值可对角化
4、实对称矩阵
(1) 特征值：阶实对称矩阵有个实特征值.
(2) 特征向量：实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交.
(3) 实对称矩阵必正交相似于实对角矩阵(几何重数等于代数重数).
(4) 若与均为实对称矩阵，则与正交相似(相似)与具有相同的特征值.(正交相似既相似，又合同)

八、二次型
1、二次型的矩阵及秩((对称))
2、矩阵的合同：合同必相抵；
正交相似既相似，又合同
实对称矩阵合同的正惯性指数与秩相同
3、化二次型为标准形(不唯一)--正交替换法、配方法(满秩线性替换)
4、惯性定理：实二次型的规范形唯一(正、负惯性指数，符号差)
5、正定二次型
(1) 判定：① 定义；
② 的特征值都大于零(的正惯性指数等于)；
③ 与合同(与正定矩阵合同的实对称矩阵正定)；
④ 存在可逆矩阵，使得；
⑤ 的所有顺序主子式都大于零
(2) 必要条件：；