高数上凹向拐点作图.pptx

1.凹凸性的定义凹凸性的定义（中点的函数值小于函数值的中值）（中点的函数值小于函数值的中值）（中点的函数值大于函数值的中值）（中点的函数值大于函数值的中值）3.4 曲线的凹向与拐点曲线的凹向与拐点 函数作图函数作图一一 曲线的凹向与拐点曲线的凹向与拐点就是说：就是说：若在某一区间内，函数图像总在曲线上任一点切线的上方，若在某一区间内，函数图像总在曲线上任一点切线的上方，则称曲线在这区间是凹的；则称曲线在这区间是凹的；直观观察直观观察 在有些教材中，凹的（曲线）又叫在有些教材中，凹的（曲线）又叫“上凹上凹”，凸的又叫，凸的又叫“下凹下凹”。下方。下方。凸的。凸的。连续曲线上，不同凹向曲线段的分界点，称为连续曲线上，不同凹向曲线段的分界点，称为曲线的拐点。曲线的拐点。注意：注意：拐点是拐点是曲线上曲线上的点，应由的点，应由两个两个坐标表示：坐标表示：（x0,f(x0)）.前面讲过的极值点，是取得极值时前面讲过的极值点，是取得极值时自变量自变量的值，记的值，记 为为 x=xi。两者不同两者不同。P106定理定理3.8 函数函数y=f(x)在闭区间在闭区间 a,b 上连续上连续,在开区间内二阶可导，在开区间内二阶可导，则当则当 f”(x)0 时，曲线上凹（凹）；时，曲线上凹（凹）；f”(x)0 时，曲线下凹（凸）。时，曲线下凹（凸）。2、曲线凹向的判定、曲线凹向的判定仍可用仍可用“雨水法则雨水法则”帮助记忆帮助记忆证明从略，但应注意：证明从略，但应注意：（1）定理条件中的）定理条件中的“在开区间内二阶可导在开区间内二阶可导”，对有限个点，可，对有限个点，可以允许二阶导数为零或不存在。但一阶导数必须存在。以允许二阶导数为零或不存在。但一阶导数必须存在。（2）定理中的区间，可以是任何形式的区间。）定理中的区间，可以是任何形式的区间。补例补例1.补例补例2.解解解解3、判定函数凹向的步骤、判定函数凹向的步骤 （1）确定函数）确定函数 y=f(x)的定义域；的定义域；（2）求）求 f”(x),找出使找出使 f”(x)=0 和和 f”(x)不存在的点不存在的点 xi；（3）用用 xi 把定义域划分成为小区间，在每个小区间上判定曲把定义域划分成为小区间，在每个小区间上判定曲线的凹向。线的凹向。4、拐点的判定、拐点的判定必要条件：必要条件：若函数若函数 f(x)在点在点 x0 二阶可导，且点二阶可导，且点(x0,f(x0)是曲线的拐是曲线的拐点，则点，则 f(x0)=0充分条件：充分条件：补例补例3.曲线是凸的。曲线是凸的。曲线是凹的。曲线是凹的。解解补例补例4.在区间（在区间（，0内曲线是凹的。内曲线是凹的。在区间在区间0，上曲线是凸的。上曲线是凸的。解解在区间在区间 ，）内曲线是凹的。）内曲线是凹的。0补例补例5.显然，显然，是方程是方程 的根。的根。但当但当时，时，总有总有因此，（因此，（0，0）不是这曲线的拐点。）不是这曲线的拐点。补例补例6求曲线求曲线的拐点。的拐点。解解当当时，时，当当时，时，都不存在都不存在 。解解另外，函数没有其他二阶导数为零或二阶导数不存在的点。另外，函数没有其他二阶导数为零或二阶导数不存在的点。所以，所以，在在 不连续且不具有零点。不连续且不具有零点。但但把把分成两个部分区间：分成两个部分区间：曲线在曲线在上是凹的。上是凹的。曲线在曲线在上是凸的。上是凸的。则则点是曲线的拐点。点是曲线的拐点。（由上页）（由上页）本例说明：二阶导数不存在的点本例说明：二阶导数不存在的点也有可能是拐点也有可能是拐点5、曲线的渐近线、曲线的渐近线 (补课本补课本1.6)(1)、水平渐近线、水平渐近线 (2)、垂直渐近线、垂直渐近线 CxyOx0 xyO(3)、斜渐近线（补充、斜渐近线（补充不作要求）不作要求）显然，一般先确定显然，一般先确定a 二二 函数作图函数作图利用导数工具描绘函数的图形，称为利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图。分析法作图。1、分析法作图的步骤：、分析法作图的步骤：（1）确定函数的定义域，考察函数的奇偶性、周期性；）确定函数的定义域，考察函数的奇偶性、周期性；（2）求函数的一阶、二阶导数，）求函数的一阶、二阶导数，找出找出 f(x)=0 和和 f(x)不存在的点不存在的点 xi 找出找出 f”(x)=0 和和 f”(x)不存在的点不存在的点 xk （3）用用 xi ,xk 和函数的间断点把函数的定义域划分成若干和函数的间断点把函数的定义域划分成若干个小区间；个小区间；（4）确定函数的单调性、极值点、凹向和拐点。列成表格；）确定函数的单调性、极值点、凹向和拐点。列成表格；（5）讨论函数的渐近线。添加必要的辅助点；）讨论函数的渐近线。添加必要的辅助点；（6）完成作图。）完成作图。+0的图形的图形0+0极大极大拐点拐点极小极小以下表示不正确以下表示不正确（4）第四行曲线）第四行曲线 y=f(x)，用适当凹向的曲线箭头，表明函数用适当凹向的曲线箭头，表明函数在相应区间的大体形态；注意，箭头方向是：箭尾在左，箭头在相应区间的大体形态；注意，箭头方向是：箭尾在左，箭头在右；在右；2、关于函数形态表的说明（、关于函数形态表的说明（如下如下表）表）（1）第一行）第一行 x，由左至右由左至右按照从小到大按照从小到大列出小区间和它们的列出小区间和它们的分界点；分界点；（3）第三行）第三行 y”，在相应的区间判断正、负；在分界点写出相在相应的区间判断正、负；在分界点写出相应的导数值；应的导数值；（2）第二行）第二行 y ，在相应的区间判断正、负；在分界点写出相在相应的区间判断正、负；在分界点写出相应的导数值；应的导数值；解解补例补例1.3、应用举例：、应用举例：+0的图形的图形0+0极大极大拐点拐点极小极小得到函数图形上三个点得到函数图形上三个点辅助点辅助点所以该曲线既无水平渐近线，所以该曲线既无水平渐近线，也无铅直渐近线。也无铅直渐近线。补例补例2.解解的图形的图形0(0,1)1(1,+）00+极大极大拐点拐点得到曲线上的两个点得到曲线上的两个点加辅助点加辅助点注：本例特点注：本例特点 （1）利用函数的奇偶性；）利用函数的奇偶性；（2）补充点（）补充点（0 ，y(0)），（），（2 ，y(2)）；）；（3）有水平渐近线。有水平渐近线。补例补例3解解+00极大极大 拐点拐点 的图形的图形-3不存在不存在不存在不存在不存在不存在得曲线上的点得曲线上的点辅助点辅助点