一阶二阶电路时域分析.pptx

2、零输入响应、零输入响应 零状态响应零状态响应 全响应全响应重点掌握重点掌握(main contents)：4、基本信号：、基本信号：阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数3、稳态分量、稳态分量 暂态分量暂态分量1、换路定理、换路定理 三要素法三要素法第七章第七章 一阶二阶电路时域分析一阶二阶电路时域分析(暂态暂态)(Transient State）LiuiuCRiuu=Ri 当当 变化变化时，时，不再为零不再为零U、i ulic换路换路或或交流电交流电直流时直流时 l 短路短路直流时直流时 c 开路开路K未动作前未动作前i=0 ,uC=0i=0 ,uC=Us一、什么是电路的过渡一、什么是电路的过渡(transition)过程过程K+uCUsRCi t=0K接通电源后接通电源后很长时间很长时间过渡过程过渡过程：电路由：电路由一个稳态一个稳态(steady state)过渡过渡到到另一个稳态另一个稳态需需要经历的过程要经历的过程.换路换路(switch)：即电路（结构或参数）变化即电路（结构或参数）变化.i+uCUsRCK合上合上概述概述 (summary)链接链接RL电路电路动画动画2.电路电路结构结构(configuration)或或参数参数(parameter)发生变发生变化化三、三、稳态稳态分析和分析和动态动态分析的区别分析的区别(differences)稳稳 态态 动动 态态 1.换路发生了很换路发生了很长长时间后；时间后；换路换路刚刚发生发生iL、uC 随时间随时间变化变化3.代数代数方程组描述电路；方程组描述电路；微分微分方程组描述电路方程组描述电路2.IL、UC 不变不变；二、过渡过程产生的二、过渡过程产生的原因原因(reason)1.电路内部含有电路内部含有储能元件储能元件 L 、M、C一、一、关于关于 t=0-与与t=0+换路在换路在 t=0时刻进行，时刻进行，0-0 0+K+uCUsRCi t=0初始条件初始条件：为：为 t=0+时时u，i 的值的值 如在如在t=t0合上，则合上，则t=t0+时刻的值时刻的值原稳态原稳态原稳态原稳态终值终值换路换路瞬间瞬间 过渡过渡过程过程新稳态新稳态换路后初换路后初始值始值-1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件Equation of Dynamic Circuit And Its Initial Condition链接链接RC电路电路动画动画若若i()为为有限值有限值iucC+-求求t=0+时刻时刻uc(0+)=？1.电容电容(capacitor)二、换路定理二、换路定理Switch Theoremuc(0+)=uc(0-)结论结论(Conclusion)：换路瞬间，若换路瞬间，若电容电流电容电流为为有限值有限值，则电容则电容电压电压（电荷）换路前后保持不变。（电荷）换路前后保持不变。iLuL+-求求t=0+时刻时刻iL(0+)=？2.电感电感(Inductance)iL(0+)=iL(0-)若若u()为为有限值有限值结论结论：换路瞬间，若换路瞬间，若电感电压电感电压为为有限值有限值，则则电感电流电感电流（磁链）换路前后保持（磁链）换路前后保持不变不变。换路定理换路定理：在换路瞬间在换路瞬间电容上的电压、电容上的电压、电感上的电流不能跃变电感上的电流不能跃变记住记住uc(0+)=uc(0-)iL(0+)=iL(0-)解：解：(1)由由0-电路求电路求 uC(0-)例例1+-10ViiC+uC-k 10k 40kt=0时断开开关时断开开关k,求求 iC(0+)？iC(0-)=0iC(0+)=iC(0-)=0+-10V+uC-10k40kiCuC(0+)=uC(0-)=8V(2)由换路定律由换路定律+-10ViiC+8V-10kt=0+等效电路等效电路(3)由由0+等效电路求等效电路求 iC(0+)三、电路初始值三、电路初始值(initial value)的确定的确定iL(0+)=iL(0-)=10/(1+4)=2A+uL-10V1 4 0+电路电路2A解：解：uL(0+)=uL(0-)=0iL+uL-L10VK1 4 t=0时闭合开关时闭合开关k,求求 uL(0+)?补例补例+uL-4 2A3.画画0+等值电路。等值电路。电容电容（电感电感）用）用电压源电压源（电流源电流源）替代。）替代。取取0+时刻值，方向同原假定的电容电压、电感电时刻值，方向同原假定的电容电压、电感电 流方向。流方向。4.由由0+电路求所需各变量的电路求所需各变量的0+值。值。1.由换路前电路（稳定状态）求由换路前电路（稳定状态）求 uC(0-)或或 iL(0-)。2.由换路定律得由换路定律得 uC(0+)或或 iL(0+)。求初始值的求初始值的步骤步骤(Steps):链接链接iL(0+)=iL(0-)=ISuC(0+)=uC(0-)=RISuL(0+)=-RIS0+电路电路uL+iCRISR IS+求求 iC(0+),uL(0+)？K(t=0)+uLiLC+uCLRISiC解：（解：（1）初始值）初始值（2）0+时刻时刻补例：补例：则则一、一、RC电路的零输入响应电路的零输入响应已知已知 uC(0-)=U0 求求 uC和和 i。解解:iK(t=0)+uRC+uCRuC-uR=uC-Ri=0特征根特征根RCp+1=0特征方程特征方程-2 一阶电路一阶电路的的零输入响应零输入响应Zero Input Respond of First Order Circuit仅有仅有一个一个储能元件储能元件激励激励(电源电源)为零为零，仅由电容或电感的，仅由电容或电感的初始储能初始储能作用于电路产生的响应作用于电路产生的响应设设复习：一阶微分方程复习：一阶微分方程初始值初始值 uC(0+)=uC(0-)=U0A=U0令令 =RC ,称称 为一阶电路的为一阶电路的时间常数时间常数(time constant)tU0uC0I0ti0iK(t=0)+uRC+uCR时间常数时间常数(time constant)的大小反映了电路过渡过程时的大小反映了电路过渡过程时间的长短间的长短 大大 过渡过程时间的过渡过程时间的长长 小小 过渡过程时间的过渡过程时间的短短电压初值一定：电压初值一定：R 大（大（C不变）不变）i=u/R 放电电流小放电电流小放电时间长放电时间长U0tuc0 小小 大大C 大（大（R不变）不变）W=0.5Cu2 储能大储能大 =R C链接链接复习：结论结论：换路瞬间，若换路瞬间，若电感电压电感电压为为有限值有限值，则则电感电流电感电流（磁链）换路前后保持（磁链）换路前后保持不变不变。iL(0+)=iL(0-)结论：结论：换路瞬间，若换路瞬间，若电容电流电容电流为为有限值有限值，则电容则电容电压电压（电荷）换路前后保持不变。（电荷）换路前后保持不变。=R C时间常数时间常数 的大小反映了电路的大小反映了电路过渡过程时间的长短过渡过程时间的长短uc(0+)=uc(0-)tI0i0 工程上认为工程上认为,经过经过 3 -5 ,过渡过程结束过渡过程结束U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 t0 2 3 5 U0 U0 e-1 U0 e-2 U0 e-3 U0 e-5 U0tuc0 0.368U0Uc若按开始若按开始的速度衰减的速度衰减经过经过 时间，时间，衰减衰减结束，结束，过起点做切过起点做切线线：电容电压衰减：电容电压衰减(Attenuation)到原来电压到原来电压36.8%所需的时间。所需的时间。特征方程特征方程 Lp+R=0特征根特征根 p=由初始值由初始值 i(0+)=I0 得：得：A=i(0+)=I0i(0+)=i(0-)=iK(t=0)USL+uLRR1二二.RL电路的零输入响应电路的零输入响应设设令令 =L/R,一阶一阶RL电路时间常数电路时间常数tI0i0-RI0uLtL大（大（R不变）不变）起始能量大起始能量大R小（小（L不变）不变）放电过程消耗能量小放电过程消耗能量小放电慢放电慢 大大电流初始值电流初始值一定：一定：=L/R 大大放电慢放电慢tI0i0 响应由响应由初始值、特解（稳态值）、时间常数初始值、特解（稳态值）、时间常数决定决定三要素三要素稳态值稳态值初始值初始值时间常数时间常数三要素法：总结一阶电路规律得三要素法：总结一阶电路规律得零状态响应：储能元件零状态响应：储能元件初始能量为零初始能量为零的电路在输入的电路在输入 激励激励(Excitation)作用下产生的响应作用下产生的响应列方程：列方程：解答形式为：解答形式为：齐次方程的齐次方程的通解通解齐次方程的齐次方程的特解特解一、一、RC电路的零状态响应电路的零状态响应iK(t=0)US+uRC+uCRuC(0-)=0uc(0-)=0求求:电容电压电容电压uc(t)和电流和电流i(t)?已知已知-3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 Zero State Response of First Order Circuit 变化规律由电路结构和参数决定变化规律由电路结构和参数决定全解全解:uC(0+)=A+US=0 A=-US由由起始条件起始条件 uC(0+)=0 定积分常数定积分常数 A齐次方程齐次方程 的通解的通解：特解（：特解（强制强制(Forced)分量、稳态分量分量、稳态分量）=US：通解（：通解（自由分量，暂态分量自由分量，暂态分量）因为它由输入激励决定，称为因为它由输入激励决定，称为强制分量；它强制分量；它也是也是电路的稳态解，也称为电路的稳态解，也称为稳态分量稳态分量强制分量强制分量(稳态稳态)自由分量自由分量(暂态暂态)tuc-USuCuCUSti0 电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。储存在电容中。电容储存：电容储存：电源提供能量：电源提供能量：电阻消耗电阻消耗能量关系：能量关系：iLK(t=0)US+uRL+uLRiL(0-)=0求求:电感电流电感电流iL(t)和电压和电压uL(t)?已知已知uLUSt0tiL0RUS=A 二、二、RL电路的零状态响应电路的零状态响应(Zero State Response of RL Circuit)=L/Req=L/(R1/R2)+-R1R2L例例4例例5ReqC =ReqCR1R2LReq时间常数时间常数(time constant)的计算方法的计算方法iL(0+)=iL(0-)=1 AuV(0+)=-10000ViLK(t=0)+uVL=4HR=10 VRV10k 10Vt=0时时,打开开关打开开关K,发现电压表坏了，为什么？发现电压表坏了，为什么？电压表量程：电压表量程：50V分析：分析：造成造成 损坏。损坏。V补例补例2.衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数 RC电路电路 =RC ,RL电路电路 =L/R3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。总结总结(Conclusion):iL(0+)=iL(0-)uc(0+)=uc(0-)若若电容电流电容电流为为有限值有限值若若电感电压电感电压为为有限值有限值1.一、一阶电路全响应一、一阶电路全响应全响应：换路瞬间储能元件已有初始储能，且换路后电路中有激励全响应：换路瞬间储能元件已有初始储能，且换路后电路中有激励iK(t=0)US+uRC+uCR求求:uc(t)?uc(0-)=U0，已知已知将将uc(0+)=U0代入代入得：得：A=U0-US1.微分法微分法全响应全响应=零状态响应零状态响应+零输入响应零输入响应=稳态分量稳态分量+暂态分量暂态分量-4 一阶电路的全响应和通用公式一阶电路的全响应和通用公式Complete Response of first order Circuit and Common Equation2A2i1+-i144+-8V0.1H2uL+-iL12S开关合在开关合在1时已达稳定状态。时已达稳定状态。t=0时，开关由时，开关由1合向合向2，求求t0+时的电压时的电压uL?解：解：再求电感两端戴维宁等效电路再求电感两端戴维宁等效电路2A2i1+-i14420.1HuL+-iL开关打到开关打到2点电路点电路uoc2uL0.1H+-iLReq+-例例6-52i1+-i1442u-+12V2uL0.1H+-iL10+-作业作业(Assignment)：7-1、4、7、8、11、16、171.定义定义2.单位阶跃函数的延迟单位阶跃函数的延迟t(t)01一、单位阶跃函数一、单位阶跃函数t(t-t0)t0013.由单位阶跃函数可组成复杂的信号由单位阶跃函数可组成复杂的信号例例 1At0tf(t)0A(t)tf(t)A0t0-A (t-t0)阶跃函数阶跃函数1t1 f(t)0例例3t f(t)0t f(t)(t-t0)0t0t(t-t0)t001例例4 用用(t)函数函数描述开关动作描述开关动作K+uCUsRCi t=t0+uCUs (t-t0)RCi起起始始例补例补uC(0-)=0iC+uCR单位阶跃响应：单位阶跃函数作用下的单位阶跃响应：单位阶跃函数作用下的零状态零状态响应响应tuc1t0i7-5 阶跃阶跃响应响应Unit Step Response of First Order Circuit例例一矩形脉冲电压作用于图示电路。一矩形脉冲电压作用于图示电路。已知已知uC(0)=0，求求uC(t)。us+uCR C+usUs0Tt解：解：Us+uCR+C12t=0 T：t=T ：矩形脉冲电压作用可矩形脉冲电压作用可相当于一开关电路相当于一开关电路为零状态响应为零状态响应为零输入响应为零输入响应10k10k+-ic100 FuC(0-)=010k10k+-ic100 FuC(0-)=0解：解：+补例：补例：下图中下图中uC(0-)=0，求，求us作用下电流作用下电流 iC(t)？10k10kus+-ic100 FuC(0-)=00.510t(s)us(V)010k10k+-ic100 FuC(0-)=010k10k+-ic100 FuC(0-)=0+-ic100 FuC(0-)=05k戴维南等效戴维南等效+-ic100 FuC(0-)=05k戴维南等效戴维南等效分段分段(Piecewise)表示为：表示为：t(s)iC(mA)01-0.6320.50.368=07-6一阶和二阶电路的冲激响应一阶和二阶电路的冲激响应Unit Impulse Response of First Order Circuit一、一、RC电路冲激响应电路冲激响应iCiRC+uCRt(t)(1)0uC可不可能是冲激函数可不可能是冲激函数?1.为零状态响应为零状态响应证明证明:设设KCL方程不成立方程不成立uC不会是冲激函数不会是冲激函数难点难点单位冲激响应：单位冲激响应：单位冲激函数作单位冲激函数作用下的用下的零状态零状态响应响应iCiRC+uCR(t)t02.t0+后后(t)=0,所以可视为所以可视为uC(0+)=1/C的零输入响应的零输入响应iL(t)+uRL+uLR+=0=Li=1,产生单位磁通链产生单位磁通链1.零状态响应零状态响应2.零输入响应零输入响应(t)t0二、二、RL电路电路对于任一线性时不变电路对于任一线性时不变电路激励激励零状态响应零状态响应阶跃响应阶跃响应冲激响应冲激响应三、阶跃响应与冲激响应的关系三、阶跃响应与冲激响应的关系Relationship Between Unit Step Response And Unit Impulse Response电电 路路零零 状状 态态 响响 应应阶跃响应阶跃响应s(t)冲激响应冲激响应h(t)iL iSLRC+uCRus+-iL uSLR+-iCiRC+uCRis求导过程要注意求导过程要注意iL 4(t)VLR1+-+-uLR2解：解：vt0+后后(t)=0。求导过程先不管。求导过程先不管vt0 要关注要关注0时刻的情况时刻的情况例例 如图所示电路中，如图所示电路中，iL(0-)=0，R1=6，R2=4，L=100mH 求冲激响应求冲激响应iL和和uL。1 三要素法适用条件：三要素法适用条件：直流或正弦激励的一阶电路直流或正弦激励的一阶电路2 换路定律的适用条件：换路定律的适用条件：电容电流、电感电压为有限值电容电流、电感电压为有限值3电容电压、电感电流突变与否，必须以电容电压、电感电流突变与否，必须以满满 足足KCL、KVL为前提为前提总结总结(Conclusion)：7-7 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应Zero Input Response of Second Order CircuituC(0-)=U0,i(0-)=0已知已知求求 uC(t),i(t),uL(t).RLC+-iucuL+-k(t=0)解解:根的性质不同，响应的变化规律也不同根的性质不同，响应的变化规律也不同RLC+-iucuL+-k(t=0)1、非振荡放电过程、非振荡放电过程tuc|P1|P2|U0P2-P1=1,t=0+i=0 ,t=i=0,t=tm 时时i 最大最大0 t 0t tm i 减小减小,uL 2tm uL 衰减加快衰减加快t 0 i 0tU0ucP2-P1=1做做i的曲线的曲线做做u的曲线的曲线由由 uL=0 可计算可计算 tm由由 duL/dt 可确定可确定uL为极小值的时间为极小值的时间 t2tmuLU0ttm0 t tm uc减小减小，i 减小减小.RLC+-RLC+-tU0uctmi0非振荡放电非振荡放电(Non-oscillation Discharge)过阻尼过阻尼(Over Damped)能量转换能量转换(Energy Exchange)：uC的解答形式：的解答形式：0 固有振荡角频率固有振荡角频率无阻尼振荡角频率无阻尼振荡角频率 衰减因子衰减因子 0w阻尼振荡阻尼振荡(damped oscillation)角频率角频率阻尼阻尼2、特征根为一对共轭、特征根为一对共轭(conjugate)复根，复根，振荡放电振荡放电(oscillation discharge)0由欧拉公式：由欧拉公式：代入得代入得0RLC+-iucuL+-k(t=0)RLC+-iucuL+-k(t=0)uLU0t0uC-2-2 i +uL零点：零点：t=,+，2+.n+i 零点：零点：t=0,，2 .n ，i 极值点为极值点为uL零点。零点。uC零点：零点：t=-，2-.n-，uC 极值点为极值点为i零点。零点。t -t RLC+-RLC+-0 t 0 电路电路0.5HF100iLLC(4)由由uC t035825 i1=i 0.5 u1=i 0.5 2(2 i)=2i 2由由KVL整理得：整理得：二阶非齐次常微分方程二阶非齐次常微分方程解：第一步列写微分方程解：第一步列写微分方程2-ii1K打开之前电路已稳定，打开之前电路已稳定，求所示电路中电流求所示电路中电流 i(t)的的零状态响应。零状态响应。+u1 1-0.5 u1 12 1/6F F1Hk2 222A i一、零状态响应一、零状态响应7-8二阶电路的零状态响应和全响应二阶电路的零状态响应和全响应Zero State Response And Complete Response of second order Circuit第二步求通解第二步求通解i P1=-2 ，P2=-6解答形式为：解答形式为：第三步求特解第三步求特解 i（稳态解）（稳态解）i=0.5 u1u1=2(2-0.5u1)u1=2Vi=i()=1A+u1 1-0.5 u1 12 1/6F F1Hk2 222A iP2+8P+12=0稳态模型稳态模型+u1 1-0.5u1 12222i2A第四步求初值第四步求初值+u1 1-0.5 u1 12 1/6F F1Hk2 222A i0+电路模型：电路模型：0.5 u+u1 1-1 12 2 2A+uL L-i第五步确定常数第五步确定常数+u1 1-0.5 u1 12 1/6F F1Hk2 222A i当激励为阶跃函数时，则响应称为阶跃响应当激励为阶跃函数时，则响应称为阶跃响应The response will be unit step response accordingly when the excitation is unit step function.解：解：(1)列微分方程列微分方程已知：已知：iL(0-)=2A uC(0-)=0R=50 ,L=0.5H,C=100 F求：求：iL(t),iR(t)。RLCiRiLiC50 Vt=0+-uL+-uC二二.全响应全响应(Complete Response)：(2)求通解求通解(自由分量）自由分量）特征根特征根 P=100 j100(3)求特解（强制分量，稳态解）求特解（强制分量，稳态解）(4)求全解求全解RLCiRiLiC50 Vt=0+-uL+-uC50 iRiLiC50 Vt=0+t 电路电路(4)由由初值初值定常数定常数iL(0+)=2A,uC(0+)=0（已知）（已知）0+电路电路RiR50 V2AiC(5)求求 iR(t)；稳态解为；稳态解为1解答形式为：解答形式为：由初始值定常数由初始值定常数0+电路电路RiR50 V2AiCR=50 C=100 F50 iRiLiC50 V+t 电路电路跌跌加加原原理理1.一阶电路是单调的响应，可用时间常数一阶电路是单调的响应，可用时间常数 表示过渡过程表示过渡过程 的时间。的时间。2.二阶电路用三个参数二阶电路用三个参数 ，和和 0来表示动态来表示动态响应。满足：响应。满足：特征根特征根 响应性质响应性质 自由分量形式自由分量形式总结总结(Conclusion)：4.线性电路古典线性电路古典(classic)法解二阶过渡过程包括以下几步：法解二阶过渡过程包括以下几步：(1)用换路后用换路后(0+)电路列写微分方程电路列写微分方程(2)求特征根，由根的性质写出自由分量形式（常数待定）求特征根，由根的性质写出自由分量形式（常数待定）(3)求强制分量（稳态分量）求强制分量（稳态分量）(4)全解全解=自由分量自由分量+强制分量强制分量(5)将初值将初值f(0+)和和f （0+)代入全解，确定常数求响应代入全解，确定常数求响应(6)讨论物理过程，画出波形讨论物理过程，画出波形(waveform)3.电路是否振荡取决于特征根，特征根仅仅取决于电路的结电路是否振荡取决于特征根，特征根仅仅取决于电路的结 构和参数，而与初始条件和激励的大小没有关系。构和参数，而与初始条件和激励的大小没有关系。