yyf洛朗Laurent级数展开.pptx

1解析延拓解析延拓已知在已知在b上解析的函数上解析的函数 ，可找到另一，可找到另一函数函数 ，使，使 的解析区域的解析区域B含有含有b，并且在，并且在b上上 等同于等同于 ，此即为，此即为解析延拓，它扩大了解析函数的定义域。解析延拓，它扩大了解析函数的定义域。定义：定义：解析延拓的唯一性：解析延拓的唯一性：(用不同方法延拓结果一样）用不同方法延拓结果一样）Bb.12 在在b 上解析，设用上解析，设用两种方法延拓到两种方法延拓到B上，得函数上，得函数 ，可证明，可证明，与与 必必完全等同。完全等同。所以，可尽量用简单、特殊的所以，可尽量用简单、特殊的方法进行延拓。方法进行延拓。23.5 3.5 洛朗（洛朗（LaurentLaurent）级数展开级数展开已知已知：当当 f(z)f(z)在圆在圆|z-z|z-z0 0|R|R内解析时，内解析时，TaylorTaylor定理告诉我们，定理告诉我们，f(z)f(z)可展开成幂级数。可展开成幂级数。考虑考虑：当当 f(z)f(z)在圆在圆|z-z|z-z0 0|R|R内有奇点时，能否内有奇点时，能否展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。问题的提出问题的提出为了研究函数在奇点附近的性质为了研究函数在奇点附近的性质,需要函数需要函数在孤立奇点在孤立奇点z z0 0邻域上的展开式。邻域上的展开式。3负幂部分称为负幂部分称为 主要（无限）部分主要（无限）部分。一、双边幂级数（含有正负项）一、双边幂级数（含有正负项）正幂部分称为正幂部分称为 解析（正则）部分解析（正则）部分；其中：其中：4收敛收敛区域（区域（环）的确定：环）的确定：收敛（圆）区域为收敛（圆）区域为令令 得得R1z0|z-z0|R1正则部分正则部分负幂部分负幂部分5设设即负幂部分在即负幂部分在的圆外收敛的圆外收敛 由此，我们可以用它的正幂项级数和负幂项级由此，我们可以用它的正幂项级数和负幂项级数的敛散性来定义原级数的敛散性数的敛散性来定义原级数的敛散性.规定：规定：当且仅当正幂项级数和负幂项级数都收敛时，当且仅当正幂项级数和负幂项级数都收敛时，原级数收敛，并且把原级数看成是正幂项级数与负原级数收敛，并且把原级数看成是正幂项级数与负幂项级数的和幂项级数的和.R2z0R2|z-z0|6R2|z-z0|R1给出了双边幂级数的环状收敛域，给出了双边幂级数的环状收敛域，称为称为收敛环收敛环。讨论：讨论：1、若、若 ，则（，则（1）式处处发散；）式处处发散；2、若、若 ，则，则双边幂级数就在环状域双边幂级数就在环状域 R2|z-z0|R1 内收敛内收敛双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛，在双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛，在环外发散，在环上敛散性不定。环外发散，在环上敛散性不定。7正则部分正则部分主要部分主要部分R1z0|z-z0|R1R2z0R2|z-z0|R2R1z0收敛环收敛环R2|z-z0|R18双边幂级数的性质双边幂级数的性质定理1双边幂级数双边幂级数 在收敛环上的在收敛环上的和函数是一和函数是一解析函数解析函数，并且在任意较小的，并且在任意较小的闭圆环闭圆环 上上一致收一致收敛敛。R2R1z0B9 设双边幂级数设双边幂级数 的收敛环的收敛环B B为为R R2 2|z-z|z-z0 0|R|R1 1，则，则定理2R2R1z0B(1)(1)在在B B内连续；内连续；(2)(2)在在B B内解析，且于内解析，且于B B内逐项可导；内逐项可导；(3)(3)在在B B内可逐项积分。内可逐项积分。10（洛朗定理）（洛朗定理）定理3 设函数设函数 f(z)f(z)在环状域在环状域 R R2 2|z-z|z-z0 0|R|R1 1 的内部单的内部单值解析，则对于环内任一点值解析，则对于环内任一点z z，f(z)f(z)必必可展开成可展开成zCR1CR2R2R1z0C称为洛朗系数，称为洛朗系数，c c为环域内按逆为环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线（也可取圆周）。曲线（也可取圆周）。其中其中11几点说明几点说明（2 2）洛朗系数洛朗系数因为因为成立的条件是成立的条件是在在C C内解析；内解析；（3 3）洛朗展开的唯一性；洛朗展开的唯一性；但在但在 上，上，（即展开中心）（即展开中心）（1 1）存在奇点存在奇点（即内圆以内存在奇点）（即内圆以内存在奇点）；可能不是可能不是 的奇点，的奇点，zCR1CR2R2R1z0C12若若 在在z z0 0不解析（不可微或无意义），不解析（不可微或无意义），而在去心邻域而在去心邻域 内解析，则称内解析，则称z=zz=z0 0是是 的的孤立奇点孤立奇点。若在。若在z z0 0无论多么无论多么小的邻域内，总有除小的邻域内，总有除z z0 0外的奇点，则称外的奇点，则称z z0 0为为 的的非孤立奇点非孤立奇点。（4 4）定义）定义13v在收敛圆环域内的洛朗级数可以逐项求导，在收敛圆环域内的洛朗级数可以逐项求导，v在收敛圆环域内的洛朗级数可以逐项积分，在收敛圆环域内的洛朗级数可以逐项积分，v在收敛圆环域内的洛朗级数的和函数是解析函数。在收敛圆环域内的洛朗级数的和函数是解析函数。泰勒级数在其收敛圆内具有的许多性质在收泰勒级数在其收敛圆内具有的许多性质在收敛圆环域敛圆环域 内的洛朗级数也具有。内的洛朗级数也具有。R2|z-z0|R114求洛朗展开式的系数求洛朗展开式的系数v洛朗展开式的系数洛朗展开式的系数 用公式计算是很麻烦的用公式计算是很麻烦的,由洛朗级数的唯一性由洛朗级数的唯一性,我们可用别的方法我们可用别的方法,特别特别是代数运算是代数运算,代换代换,求导和积分等方法展开求导和积分等方法展开,这样这样往往更便利往往更便利(即间接展开法即间接展开法)。v同一个函数在不同的收敛圆环域内的罗朗级数一同一个函数在不同的收敛圆环域内的罗朗级数一般不同般不同;由洛朗级数的唯一性可知由洛朗级数的唯一性可知,同一个函数同一个函数在相同的收敛圆环域内的洛朗级数一定相同。在相同的收敛圆环域内的洛朗级数一定相同。15举例举例例例1 1：在在z z0 0=0=0的邻域上把的邻域上把 展开。展开。有孤立奇点有孤立奇点z=0z=0，并在，并在解：解：内有内有无负幂项无负幂项16若定义若定义实际上是对实际上是对f(z)f(z)的解析延拓的解析延拓则则为为f f1 1(z)(z)的泰勒级数的泰勒级数17解：解：的奇点为的奇点为 ，展开中心，展开中心 z z0 0=0=0不是奇点，不是奇点，z z0 0=1=1是奇点。是奇点。例例2 2：将将 分别在区域分别在区域(环域环域););以及以及z z0 0=1=1的邻域上展开为洛朗级数。的邻域上展开为洛朗级数。（1 1）若在若在 上，只可展开为泰勒级数，上，只可展开为泰勒级数，18无穷多个负幂项无穷多个负幂项（2 2）19（3 3）展开中心展开中心z z0 0=1=1，为奇点，为奇点第一项第一项已经是展开式的一项，已经是展开式的一项，对第二项，对第二项，z=1z=1不是奇点，不是奇点，z=-1z=-1是奇点，可在是奇点，可在 上展开为泰勒级上展开为泰勒级数数20有限项负幂项有限项负幂项212223无限多项正幂项无限多项正幂项和和负幂项负幂项24无正幂项无正幂项和和无限多项负幂项无限多项负幂项25例例4 4：将将 在在 及及 上展成上展成洛朗级数。洛朗级数。解：（解：（1 1）在在 内，内，26（2 2）在在 内，内，27例例 展开式是唯一的展开式是唯一的28