电动力学六七(电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量).ppt

6.7 电磁场中带电电磁场中带电粒子的拉格朗日量粒子的拉格朗日量和哈密顿量和哈密顿量1 把把力力学学方方程程表表为为分分析析力力学学形形式式更更具具有有普普遍遍的的意意义义，因因为为这这样样可可以以在在一一般般广广义义坐坐标标下下研研究究力力学学系系统统的的运运动动，因因而而对对力力学学系系统统的的性性质质可可以以作作出出普普遍遍的的推推论论。把把带带电电粒粒子子在在电电磁磁场场中中的的运运动动方方程程用用分分析析力力学学的的拉拉格朗日形式和哈密顿形式表示出来。格朗日形式和哈密顿形式表示出来。2另另一一方方面面，在在微微观观领领域域内内带带电电粒粒子子的的运运动动问问题题占占有有重重要要地地位位，例例如如电电子子在在原原子子核核的的场场内内运运动动就就属属于于这这类类问问题题。在在微微观观领领域域内内需需要要用用量量子子力力学学来来解解决决粒粒子子运运动动问问题题，而而量量子子力力学学是是用用哈哈密密顿顿量量或或拉拉格格朗朗日日量量来来描描述粒子系统的力学性质的。述粒子系统的力学性质的。3在在量量子子力力学学中中，哈哈密密顿顿量量占占有有十十分分重重要要的的地地位位。因因此此，我我们们这这里里从从经经典典电电动动力力学学范范围围引引入入带带电电粒粒子子在在电电磁磁场场中中运运动动的的拉拉格格朗朗日日量量和和哈哈密密顿顿量量，不不仅仅是是为为了了提提供供解解决决经经典典运运动动的的方方法法，同同样样重重要要的的是是通通过过对对应应原原理理可可以以把把它它们们过过渡渡到到量量子子力力学学的的量量，从从而而为解决微观粒子运动问题通过必要的基础。为解决微观粒子运动问题通过必要的基础。4在经典力学中，满足一定条件的动力学系统的运在经典力学中，满足一定条件的动力学系统的运动方程可以表为拉格朗日方程动方程可以表为拉格朗日方程 其其中中qi为为广广义义坐坐标标，为为广广义义速速度度，拉拉格格朗朗日日量量L是是广广义义坐标和广义速度的函数坐标和广义速度的函数1.拉格朗日形式拉格朗日形式5例如在保守力场中运动的质点就是这种系统，其中例如在保守力场中运动的质点就是这种系统，其中L=T V T是是粒粒子子的的动动能能，V是是势势能能。对对某某些些非非保保守守系系统统，只只要要我我们们能能够够找找出出一一个个函函数数 ，使使该该系系统统的的运运动动方方程程化化为为拉拉格格朗朗日日形形式式，就就可可以以用用分分析析力学的一般理论来研究该系统的运动。力学的一般理论来研究该系统的运动。6电磁场中带电粒子的运动方程电磁场中带电粒子的运动方程此式在相对论情形仍然成立，其中粒子此式在相对论情形仍然成立，其中粒子的动量的动量p是是7现现在在我我们们探探讨讨能能否否找找到到一一个个拉拉格格朗朗日日量量L使使运运动动方方程化为拉氏方程的形式？程化为拉氏方程的形式？在拉氏形式中，坐标在拉氏形式中，坐标 x 和速度和速度 是独立是独立变量，变量，算符不作用在算符不作用在 的函数上，因此的函数上，因此 8由由于于粒粒子子运运动动，在在时时间间dt有有位位移移dx，由由此此引引起起矢矢势势A有有增增量量dx A。因因此此，作作用用于于粒子上的矢势总变化率为粒子上的矢势总变化率为9注意到动量注意到动量p和矢势和矢势A可以分别写为可以分别写为10运动方程可以写为拉氏形式运动方程可以写为拉氏形式其中拉格朗日量其中拉格朗日量L为为11现现在在我我们们考考察察L的的变变换换性性质质。把把上上式式乘乘以以=(1-2/c2)-1/2得得四维速四维速度矢量度矢量洛伦兹不变量洛伦兹不变量洛伦兹不变量洛伦兹不变量12在在分分析析力力学学中中，拉拉氏氏量量对对时时间间的的积积分分是作用量是作用量作作用用量量的的洛洛伦伦兹兹不不变变性性在在现现代代物物理理学学中中有有重重要要意意义义，这这种种不不变变性性常常常常是是找找出出一一个个物物理系统的拉格朗日函数的重要依据。理系统的拉格朗日函数的重要依据。固有时固有时洛伦兹不变量洛伦兹不变量洛伦兹不变量洛伦兹不变量13自自由由粒粒子子情情形形。粒粒子子的的状状态态由由速速度度确确定定。和和粒粒子子速速度度有有关关的的协协变变量量是是四四维维速速度度U，而而由由U只只能能构构成成一一个个不不变变量量UU=-c2。因因此此，L只只能能是是一一个个洛洛伦伦兹兹不不变变常常量量a，由此得由此得当当 c时时，上上式式应应趋趋于于非非相相对对论论的的动动能能（除除了了可可能能有有附附加加常常数数之之外外），由由此此得得a=m0c2，因因而而自自由由粒粒子的拉格朗日函数为子的拉格朗日函数为下下面面我我们们说说明明从从S的的不不变变性性就就可可以以基基本本上上确确定定带带电粒子拉格朗日函数的形式。电粒子拉格朗日函数的形式。14在静电场中，当粒在静电场中，当粒子运动速度子运动速度 c时，时，这项应等于粒子在这项应等于粒子在静电场中的负位能静电场中的负位能-e，由此定出由此定出b=e。根据协变性要求，根据协变性要求，确定带电粒子在电确定带电粒子在电磁场中运动的拉格磁场中运动的拉格朗日量为朗日量为当粒子在电磁场内运当粒子在电磁场内运动时，除了动时，除了U之外，之外，L还依赖于四维势还依赖于四维势A或电磁场张量或电磁场张量F。由由粒子的四维速度粒子的四维速度U与与电磁场的四维势电磁场的四维势A可可构成一个不变量构成一个不变量UA，因而，因而 L可以含有一可以含有一项项bUA，b为一待定为一待定常数。常数。15对对于于用用拉拉氏氏量量L描描述述的的动动力力学学系系统统，广广义义动动量量Pi定义为定义为Pi也称为与广义坐标也称为与广义坐标qi共轭的正则动量。系统共轭的正则动量。系统的哈密顿量为的哈密顿量为 H是广义坐标是广义坐标qi和和广义广义动量动量Pi的函数的函数2 哈密顿形式哈密顿形式16用哈密顿量可以用哈密顿量可以把运动方程表为把运动方程表为正则形式正则形式 回到电磁场中的带电粒子运动情形回到电磁场中的带电粒子运动情形正则动量正则动量P 17即即P=p+qA式式中中p是是粒粒子子的的机机械械动动量量。在在电电磁磁场场中中粒粒子子的的正正则则动动量量不不等等于于它它的的机机械械动动量量，而而是附加上一项是附加上一项qA。带电粒子的哈密顿量为带电粒子的哈密顿量为 18但但H应应该该用用正正则则动动量量p而而不不是是用用速速度度 表出表出右右边边第第一一项项是是粒粒子子的的运运动动能能量量W（包包括括静静止止能能量量），因因而而H对对应应于于P+qA的的第第四分量。引入四维正则动量四分量。引入四维正则动量19则哈密顿量与则哈密顿量与P的第四分量的第四分量 相联系相联系不难验证哈密顿方程相当于原不难验证哈密顿方程相当于原运动方程运动方程20当当 c时时，以以上上给给出出的的拉拉格格朗朗日日量量和和哈哈密密顿顿量量就就变变为非相对论情形下相应的量为非相对论情形下相应的量拉氏量当拉氏量当 c时变时变为为(除去一个不重要除去一个不重要的附加常量的附加常量)哈密顿量式变为哈密顿量式变为 H和和L 仍满足关系式仍满足关系式3非相对论情形非相对论情形21