函数单调性的判断和证明.ppt

过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章函数单调性习题课（约3课时）过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章函数单调性的判断和证明过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章用定义证明函数的单调性的步骤用定义证明函数的单调性的步骤:(1).设设x1x2,并是某个区间上任意二并是某个区间上任意二值值;(2).作差作差 f(x1)f(x2);(3).判判断断 f(x1)f(x2)的符的符号号:(4).作作结论结论.分解因式分解因式,得出因式得出因式(x1x2 配成非负实数和。配成非负实数和。方法小结方法小结有理化。有理化。过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章例例2：证明函数f(x)=x3在R上是增函数.证明证明：设x1,x2是R上任意两个 实数，且x1x2,则 f(x1)-f(x2)=x13-x23 =(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)(x1+x2)2+x22 因为 x1x2，则 x1-x2 0 所以 f(x1)-f(x2)0 即 f(x1)0）在）在x0 x0上的单调性上的单调性解：对于解：对于x2x10,f(x2)-f(x1)=x2-x1+-=(x1x2-k)因因0X12-kx1x2-k x22-k故故x22-k0即即x2时，时，f(x2)f(x1)总之，总之，f(x)的增区间是的增区间是 ，减区间是，减区间是过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章用定义求函数单调区间的步骤用定义求函数单调区间的步骤:(1).设设x1x2,并是定义域上任意二并是定义域上任意二值值;(2).作差作差 f(x1)f(x2);方法小结方法小结过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章点评：单调区间的求法点评：单调区间的求法1、定义法、定义法2、图像法、图像法过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章点评l1、定义法l2、图像法过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章含参数函数的单调性的判断过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章抽象函数单调性的判断过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章小结：小结：同增异减同增异减。研究函数的单。研究函数的单调性，首先考虑函数的调性，首先考虑函数的定义域定义域，要注意函数的单调区间是函数定要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。义域的某个区间。三三.复合函数单调性复合函数单调性增函增函数数增函增函数数增函增函数数增函增函数数增函增函数数增函增函数数减函减函数数减函减函数数减函减函数数减函减函数数减函减函数数减函减函数数过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章小结小结:在求解函数单调区间在求解函数单调区间时必须注意单调区间是定义时必须注意单调区间是定义域的某个区间。域的某个区间。过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章分段函数的单调性例10：已知函数 ，（1）当）当a=0,b=2时，求时，求f(g(x)和和g(f(x)的解析式，并判断哪一个函数的解析式，并判断哪一个函数在其定义域上单调。在其定义域上单调。（2）当）当a,b满足什么条件时，满足什么条件时，f(g(x)在定义域上单调。在定义域上单调。过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章点评l分段函数的单调性，首先判断各段函数的单调性，若 每段函数的单调性一致，再判断分界点处函数值的大小关系，符合单调性的定义，则在整个定义域上是单调函数。过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章函数的单调性的应用l1、比较数（式）的大小l2、解函数不等式l3求参数的取值范围l4、求函数值域（最值）过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章题型一、比较大小：题型一、比较大小：例例1：函数：函数f(x)在在(0,+)上是减函数上是减函数,求求f(a2-a+1)与与f()的大小。的大小。解：因为解：因为f(x)在在(0,+)是减函数是减函数因为因为a2-a+1=(a-)2+0所以所以f(a2-a+1)f()过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章l解（1）1（2）2/3,1/2 (3)1l(4)当a0时，b0或当a0时，b0l(5)当a0时，最大值为3-4a最小值为-1l 当0a2时，最大值为-1，最小值为3-4a过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章题型二、解不等式：题型二、解不等式：例例2：解：因为函数解：因为函数f(x)在定义域上是增函数在定义域上是增函数过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章(1)已知函数已知函数 是定义在是定义在 上的增函数且上的增函数且 ,解不等式解不等式(2)已知已知 为为 上的减函数，则满足上的减函数，则满足 的实数的实数 的取值范围是的取值范围是（）A、B、C、D、练习过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章题型三、求参数范围：题型三、求参数范围：例例3:f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间在区间(-，4)上上是减函数，求是减函数，求a的取值范围。的取值范围。解：函数解：函数f(x)图象的对称轴为图象的对称轴为x=1-a当当x 1-a时，函数单调递减时，函数单调递减已知函数在已知函数在 上是减函数上是减函数 所以所以4 1-a,即即-3 a过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章练习练习(1)已知函数已知函数 在区间在区间 上上是减函数，则实数是减函数，则实数 的取值范围是（的取值范围是（）A、B、C、D、（2）已知）已知 在在 上是增函数，求实上是增函数，求实数数a的取值范围的取值范围.（3）已知函数）已知函数 在在 上是增函上是增函数，求实数数，求实数 的取值范围。的取值范围。过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章四、利用函数单调性确定函数的值域或最值.（1）求二次函数求二次函数 上的最值上的最值.(2).函数函数 在区间在区间2，4上的最大值为上的最大值为 最小值为最小值为（3）已知函数）已知函数 ，若，若有最小值有最小值-2，则，则 的最大值为的最大值为（4）若函数）若函数 在在 上为增上为增函数，则实数函数，则实数 的范围是的范围是 .(5)求求 在区间在区间 上的最大值和上的最大值和最小值最小值过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章1.函数最大（小）值首先应该是某一个函数值函数最大（小）值首先应该是某一个函数值,即存在即存在 ，使得使得 ；2.函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的对于任意的xI，都有，都有f(x)M（f(x)M）3.如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递增增，则函数，则函数y=f(x)在在x=a处有处有最小值最小值f(a),在在x=b处有处有最大值最大值f(b)；4.如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递减减，在区间，在区间b，c上上单调递单调递增增则函数则函数y=f(x)在在x=b处有处有最小值最小值f(b)；温馨提示温馨提示过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第1章章