梁的弯曲变形与刚度.docx

7.7 梁的刚度

7.7.1 梁的刚度条件
计算梁的变形的主要目的是为了判别梁的刚度是否足够以及进行梁的设计。工程中梁的刚度主要由梁的最大挠度和最大转角来限定，因此，梁的刚度条件可写为：
（7-10）
其中，，分别是梁中的最大挠度和最大转角，，分别是许可挠度和许可转角，它们由工程实际情况确定。工程中通常以度（）表示，而许可挠度通常表示为：

上述两个刚度条件中，挠度的刚度条件是主要的刚度条件，而转角的刚度条件是次要的刚度条件。

7.7.2 刚度条件的应用
与拉伸压缩及扭转类似，梁的刚度条件有下面三个方面的应用。
（1）校核刚度
给定了梁的载荷，约束，材料，长度以及截面的几何尺寸等，还给定了梁的许可挠度和许可转角。计算梁的最大挠度和最大转角，判断其是否满足梁的刚度条件式（7-15）和式（7-16），满足则梁在刚度方面是安全的，不满足则不安全。
很多时候工程中的梁只要求满足挠度刚度条件式（7-15）即可，而梁的最大转角由于很小，一般情况下不需要校核。
（2）计算许可载荷
给定了梁的约束，材料，长度以及截面的几何尺寸等，根据梁的挠度刚度条件式（7-15）可确定梁的载荷的上限值。如果还要求转角刚度条件满足的话，可由式（7-16）确定出梁的另一个载荷的上限值，两个载荷上限值中最小的那个就是梁的许可载荷。
（3）计算许可截面尺寸
给定了梁的载荷，约束，材料以及长度等，根据梁的挠度刚度条件式（7-15）可确定梁的截面尺寸的下限值。如果还要求转角刚度条件满足的话，可由式（7-16）确定出梁的另一个截面尺寸的下限值，两个截面尺寸下限值中最大的那个就是梁的许可截面尺寸。

例7-21 如图7-41（a）所示的梁，其长度为，抗弯刚度为，当梁的最大挠度不超过梁长的时，试确定梁的许可载荷。
(a)
(b)
(c)
图7-41 例7-21图

解：原梁根据图7-41（b）所示的变形过程，等价于图7-41（c）所示的悬臂梁。梁的最大挠度在自由端处，也就是原梁的最大挠度在点，为：
根据刚度条件有：
所以得：
故梁的许可载荷为：

7.7.3 提高梁刚度的方法
如前所述，梁的变形与梁的弯矩及抗弯刚度有关，而且与梁的支承形式及跨度有关。如图7-42所示。所以，在梁的设计中，当一些因素确定后，可根据情况调整其它一些因素以达到提高梁的刚度的目的，具体方法如下：
图7-42 影响梁变形的因素
支承形式
载荷形式与大小
梁长
抗弯刚度

（1）调整载荷的位置，方向和形式
目的是降低梁的弯矩，这与提高梁的强度的方法相同。
（2）调整约束位置，加强约束或增加约束
梁的变形通常与梁的跨度的高次方成正比，因此，减小梁的跨度是降低变形的有效途径。，如图7-43（a）所示，工程中常采用调整梁的约束位置或增加约束来减小梁的跨度（图7-43（b），（c）），还可以加强梁的约束减小梁的最大挠度（图7-43（d））。

(a)
(b)
(c)
(d)
图7-43 提高梁的刚度的措施

（3）提高梁的抗弯刚度
选用弹性模量大的材料可提高梁的刚度，但采用此种方法是不经济的，即弹性模量大的材料价格较高。
选择合理的截面形状可提高梁的刚度，如采用工字形，箱形或空心截面等，增加截面对中性轴的惯性矩，既提高梁的强度也增加梁的刚度。但必须指出：小范围内改变梁截面的惯性矩，对全梁的刚度影响很小，因为梁的变形是梁的各段变形累积而成，但此种情况对梁的强度影响很大。

7.8 梁的简单超静定问题

如果梁弯曲时，仅由平衡方程无法求出梁的支反力，或由截面法无法求出梁的内力，则这种问题称为梁的超静定问题，相应的梁称为超静定梁。如果平衡方程比未知数（可以是支反力，内力或梁的几何尺寸）少一个，则称为一次超静定问题或简单超静定问题；少个则称为次超静定问题，相应的梁称为一次超静定梁或次超静定梁。典型的超静定梁如图7-44各图所示。
(a)
(b)
(c)
(d)
图7-44 梁的简单超静定问题
(e)
(f)

显然，梁的超静定问题关键是求出梁的支反力或内力，从而就可以按照前述过程计算梁的应力和强度或者计算梁的变形和刚度。

7.8.1 简单超静定梁问题的解法
超静定梁的典型特征是约束过度，这种过度约束有可能是外部的（图7-44（a）~（d）），也有可能是内部的（图7-44（e）（f））。过度的约束称为多余约束，如图7-45所示，一次超静定梁通常有一个多余约束，而次超静定梁通常有个多余约束。
(a) 一次超静定梁
图7-45 超静定梁的多余约束
多余约束
多余约束
多余约束
多余约束
(b) 二次超静定梁
(c) 三次超静定梁

梁的超静定问题的解法与拉压及扭转超静定问题的解法类似，即：（a）列出梁的整体（或部分）平衡方程，判别梁是否是超静定梁以及其超静定次数。（b）在多余约束处列出梁的变形协调方程。（c）在多余约束处列出梁的物理方程。（d）将物理方程代入协调方程得到补充方程，即可求解多余约束处的反力（或内力）。一旦梁的内力求出后，即可按梁的正常过程计算梁的应力和变形，从而可解决超静定梁的强度和刚度问题。
很多时候梁是否超静定梁以及其超静定次数可直观判断。而梁在多余约束处的反力往往只需要变形协调方程和物理方程即可求解，因此，实际求解梁的简单超静定问题时，具体方法就是在多余约束处应用叠加法。其步骤如下：
确定简单超静定梁的某个约束为多余约束（图7-46（a）），解除该约束代以未知反力（图7-46（b））。解除多余约束后的静定梁称为静定基（图7-46（c））。
简单超静定梁现简化为梁上实际载荷和多余约束处的未知反力共同作用下的静定梁（图7-46（b））。根据叠加法，该静定梁可分解为两个梁的叠加：一是实际载荷作用在静定基上的情况，也就是原超静定梁直接去掉多余约束后得到的梁，假设其在多余约束处产生的挠度或转角为（图7-46（d））。二是多余约束处的未知反力作用在静定基上的情况，假设其在多余约束处产生的挠度或转角为（图7-46（e））。由叠加法可算出图7-46（b）所示的梁在多余约束处的挠度或转角为。
如果简单超静定梁在多余约束处存在的实际挠度或转角为（图7-46（f）），则由叠加法，应有变形协调条件：
（7-11）
直接求解该方程，即可得到多余约束处的反力。
利用梁的整体平衡方程可求出梁的其它支反力，从而可计算梁的内力，应力或变形，也可计算梁的强度和刚度问题。
(a)
图7-46 简单超静定梁的解法
多余约束
多余约束
静定基
(b)
(c)
(d)
(e)
多余约束
(f)

必须注意，挠度或转角等有两种可能的方向，若某个方向的挠度或转角规定为正的话，则其反方向的挠度或转角就为负。另外，如图7-47所示，根据叠加法，未知反力作用在静定基上在多余约束处产生的挠度或转角可以写成标准的形式，为：，其中是单位力作用在静定基上在多余约束处产生的挠度或转角。所以，式（7-11）可写为：
（7-12）
上式称为简单超静定梁的正则方程，是求解各种简单超静定问题的基本方程。
(a)
图7-47 未知反力产生的挠度或转角
(b)

静定基
(a)
图7-48 静定基的不同选择
(b) 第一种简化方式
多余约束
(c) 第二种简化方式
静定基

还必须注意，静定基的选择并不是唯一的，即超静定梁可简化为不同形式的静定梁的叠加。静定基的选择不一样时，相应的变形协调方程也不一样。如图7-48所示的超静定梁，其静定基就有两种不同的选择，一种选择为悬臂梁，是将右边支座看成是多余约束；另一种选择为简支梁，是将左边支座的转动约束看成是多余约束。通常静定基选择的原则是越简单越好。

例7--22 如图7-49（a）所示，已知梁的抗弯截面系数为，抗弯刚度为，许用应力为，梁长为，载荷集度为。（1）作梁的剪力图和弯矩图并求梁的许可载荷。（2）求梁的最大挠度所在的位置。（3）为提高梁的承载能力，可将右边支座提高少许，求支座提高的最佳值以及此种情况下梁的许可载荷，梁的承载能力提高了多少？
图7-49 例7-22图
(a)
(b)
(c)
(d)

解：（1）作梁的剪力图和弯矩图并求梁的许可载荷
梁为一次超静定梁，将支座作为多余约束，解除约束代以未知反力，静定基选择为悬臂梁，如图7-49（b）所示。
实际载荷在多余约束处产生的挠度为：
未知约束反力在多余约束处产生的挠度为：
多余约束处的实际挠度为零，即 ，所以有：
（向上）
考虑梁的整体平衡可求出固定端处的反力为：（向上）（逆时针）
梁的剪力图和弯矩图如图7-50所示。
图7-50 例7-22梁的剪力图和弯矩图
图7-51 例7-22支座提高后梁的剪力图和弯矩图

梁在距离固定端处有一极值弯矩，为，而梁的最大弯矩在固定端，为。所以，由梁的强度条件有：
则梁的许可载荷为：
（2）梁的最大挠度所在的位置
假设最大挠度的位置离固定端的距离为，则将梁从该处截断，考虑左边部分梁，其受力情况如图7-51（c）所示。
由右段梁的平衡，有：

因最大挠度所在处的转角为零，所以由叠加法左边梁在自由端的转角为：

将代入上式整理后得： 令，最终有：

在（0，1）区间的解为：，所以梁的最大挠度在处，靠近极值弯矩处。
（3）支座提高的最佳值以及此种情况下梁的许可载荷。
由图7-51（d）所示，此时多余约束处有实际挠度 ，于是根据和（1）中相同的分析有：

支座处的支反力为：
梁在固定端的支反力为：
（向上） （逆时针）
梁的剪力图和弯力矩图如图7-53所示。
图中的极值弯矩为：
当时梁的承载能力最大，所以有：

令：，则上式化为：
再令：，则有： 解得： ，取小根，有：

所以支座提高的最佳值为：
此种情况下梁的最大弯矩为：
由梁的强度条件有：
于是梁的许可载荷为：
两种情况下许可载荷的比值为：
可见梁的承载能力提高了约。

例7-23 如图7-52(a)所示中间铰梁，左边梁的抗弯刚度为，右边梁的抗弯刚度为，求梁在中间铰处的挠度。
(b)
(a)
图7-52 例7-23图

解：将梁从中间铰处拆开，左梁和右梁间的作用力假设为（图7-52(b)）。
根据叠加法，左梁在中间铰处的挠度为：
（向下）
右梁在中间铰处的挠度为：（向下）
两梁的变形协调条件为： 所以有：
得： 其中
梁中点的挠度为：
（向下）
特别地当时，，有：（负号表示与图7-57中假设的方向相反） （向下）。

例7-24 如图7-53（a）所示结构，各梁的抗弯刚度为，杆为刚性杆，求悬臂梁固定端的支反力以及梁的最大挠度。
图7-53 例7-24图
(a)
(b)

解：由于杆为刚性杆，所以其对上梁和下梁的作用力是作用力和反作用力，假设该力为（图7-53（b））。而且两点的竖向位移是相同的。
由叠加法，上梁在点的挠度为：（向下）
下梁在点的挠度为：（向下）
两梁的变形协调条件为：
所以有： 解得：
下梁固定端的支反力为：（向上）（逆时针）
下梁的最大挠度在点，为：

例7-25 如图7-54（a）所示长梁放置在刚性平台上，但有长度为的一段梁位于平台之外，梁单位长度的重量为，抗弯刚度为，求梁自由端点的挠度和转角。
图7-54 例7-25解法1图
(a)
(b)
(c)
(d)

解法一：假设梁在平台上的接触点为点，梁脱离平台的距离为，则梁段可简化为图7-54（b）所示的悬臂梁。点的支反力及距离为未知，但梁有固定端的弯矩为零和点挠度为零两个条件，因此梁仍然是一次超静定梁。
平衡条件：
要计算点的挠度，可将梁从点右侧截开，只考虑左边部分梁，则其受力情况如图7-54（d）所示，由右边部分梁的平衡有：
所以由叠加法，点的挠度为：
整理有：
于是：
解得： 则：
由图7-54（c），应用叠加法可计算梁自由端的挠度和转角如下。
挠度：
（向下）
转角：
（顺时针）
解法二：梁段还可简化为图7-55（b）所示外伸梁，该外伸梁左端截面的转角为零。图7-55（b ）所示梁可分解为图7-55（c）和图7-55（d）所示两梁的叠加。
截面的转角：

图7-55（d）所示梁可采用逐段刚化法求解。有：
于是有： 解得：
(a)
(b)
(c)
(d)
图7-57 例7-26解法2图

点的挠度为：
（向上）
（向下） （向下）
所以：（向下）
截面的转角为：
（逆时针）
（顺时针） （顺时针）
所以：（顺时针）

例7-26 如图7-56（a）所示，体重的运动员可以在长的平衡木上任意移动，平衡木的弹性模量为 ，其截面对中性轴的惯性矩为，（1）求运动员在任意位置时平衡木中点的挠度。（2）运动员在什么位置时，平衡木的挠度最大，其值是多少？
(b)
(a)
图7-56 例7-26图
(c)
(d)
(e)

解：平衡木可简化为在任意位置受集中力作用且两端固定的力学模型，如图7-56（b）所示。
由于结构的约束既是对称的也是反对称的，所以结构可简化为一个对称梁和一个反对称梁的叠加，如图7-56（c）和图7-56（d）所示，由于反对称梁中点的挠度为零，所以图7-56（c）所示对称梁中点的挠度就等于原结构中点的挠度。将该对称梁从中间点处截开，只考虑左边半部分梁，根据对称性，该半部分梁右端截面上的剪力为零，且转角为零。所以有：

于是， 点的挠度为：

即：

这即是平衡木中点的挠度，其中的单位为米。
因：
则当运动员移动到平衡木中点时其挠度最大，最大挠度为：

7-27 如图7-57（a）所示正三角形刚架结构，每边长，材料的许用应力，梁截面为正方形，其边长，试求结构的许可载荷。
(a)
图7-57 例7-27图
(b)
(c)

解：由于对称性，以及各结点均为刚性结点，只考虑段梁，其相当于一个悬臂梁，如图7-57（b）所示，且在点的转角为零。
由叠加法，点的转角为：
所以：
梁中的弯矩函数为：
所以最大弯矩只可能在截面或靠近截面处，因：

根据强度条件有：
故结构的许可载荷为：

例7-28 如图7-58（a）所示矩形刚架结构，长为，宽为，材料的弹性模量为，刚架截面为矩形截面，其宽为，高为，不考虑轴力的影响，试求结构两点以及两点间的相对位移。
(a)
(b)
(c)
图7-58 例7-28图

解：根据结构的对称性，截面的转角为零，结构的四分之一部分可简化为图7-58（b）所示的结构。继续将图7-58（b）所示结构简化为图7-58（c）所示的结构 ，结构为一次超静定问题，结构中点的水平位移就是两点间相对位移的一半，而点的竖向位移是两点间相对位移的一半。
采用叠加法以及逐段刚化法进行求解。
点的转角：
所以： 其中：
点的水平位移：
点的竖向位移：
于是，两点间的相对位移为：
两点间的相对位移：
特别当即时，有：，即时，。
而当时，

（2）* 高次超静定结构问题
高次超静定结构问题是指超静定次数大于或等于二的超静定结构问题，其解法依然是在结构的多余约束处使用叠加法。
如图7-59（a）所示的梁就是一典型的二次超静定结构，将点确定为1号多余约束，而点确定为2号多余约束，其相应的未知反力分别为和，超静定梁在1号和2号多余约束处的实际位移分别为和（图7-59（b）），则原超静定梁可分解为图7-59（c），图7-59（d）和图7-59（e）三个梁的叠加，分别在1号和2号多余约束处写出梁变形的协调方程，于是有：
图7-59 高次超静定梁的解法
(a)
(b)
(d)
(c)
(e)

（7-13）
其中，系数和是单位力作用在静定基（去掉多余约束后的静定结构）的1号多余约束处时分别在1号和2号多余约束处所产生的位移；而系数和是单位力作用在静定基的2号多余约束处时分别在1号和2号多余约束处所产生的位移；在能量法一章可以证明，；和分别是实际载荷作用在静定基上时在1号和2号多余约束处所产生的位移。特别要注意，多余约束反力和可以是集中力也可以是集中力偶，而式（7-19）中的两个协调方程可以是线位移的协调方程也可以是角位移的协调方程 。
式（7-13）还可以写成矩阵形式：
（7-14）
式（7-13）或式（7-14）称为二次超静定结构问题的正则方程；是一线性代数方程组，直接求解即可得到未知反力和，从而可按正常的过程分析结构的内力，应力与强度或者变形与刚度 。
更一般地，次超静定结构问题的正则方程可写为：
（7-15）
以上各式关键是计算系数和，采用前述积分法或叠加法进行计算许多时候是不简便的，特别是复杂的超静定结构问题更是如此，因此本教材在能量法一章中再介绍高次超静定结构问题各系数的简便计算方法。式（7-15）的系数仍然满足：，即系数矩阵是对称矩阵。