24极限运算.pptx

1极限运算法则极限运算法则求极限方法举例求极限方法举例小结小结 思考题思考题 作业作业2.4 极限运算法则极限运算法则第第2 2章章 极限与连续极限与连续无穷小运算法则无穷小运算法则2在同一过程中在同一过程中,有限有限个无穷小的个无穷小的定理定理1 1代数和仍是无穷小代数和仍是无穷小.一、无穷小运算法则一、无穷小运算法则定理定理2 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小的乘积是无穷小;推论推论2 2常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小;推论推论3 3 有限个有限个无穷小的乘积也是无穷小无穷小的乘积也是无穷小.3定理定理3 3若若f(u)是极限过程是极限过程1中的无穷小中的无穷小,当当 x满足极限过程满足极限过程2时时,相应的相应的满足极限过程满足极限过程1,则则f(g(x)是极限过程是极限过程2中的无穷小中的无穷小.证证二、极限运算法则定理定理4证证由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系推论推论4 4常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论5 5有界，有界，注意注意应用四则运算法则时应用四则运算法则时,要注意条件要注意条件:参加运算的是参加运算的是有限有限个函数个函数,它们的极限都它们的极限都商的极限要求分母的极限不为商的极限要求分母的极限不为0.不要随便参加运算不要随便参加运算,因为因为不是数不是数,它是它是表示函数的一种性态表示函数的一种性态.存在存在,三、求极限方法举例例例解解小结小结:解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例解解例例(消去零因子法消去零因子法)例例解解(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)小结小结:无穷小分出法无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.15解解所以所以因为因为例例解解“根式转移根式转移”法法化为化为 型型不满足每一项极限都存在的条件不满足每一项极限都存在的条件,不能直接不能直接应用四则运算法则应用四则运算法则.分子有理化分子有理化例例解解先变形再求极限先变形再求极限.例例解解先作恒等变形先作恒等变形,和式的项数随着和式的项数随着n在变化在变化,再求极限再求极限.使和式的项数固定使和式的项数固定,原式原式=不能用运算法则不能用运算法则.方方 法法19解解 原式原式=解解 原式原式=解解 原式原式=例例解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,21定理定理5 5若若f(u)是极限过程是极限过程1中存在极限中存在极限 ,当当 x满足极限过程满足极限过程2时时,相应的相应的满足极限过程满足极限过程1,则则f(g(x)是极限过程是极限过程2中也存在极限中也存在极限证证且存在且存在有有由定理由定理3知知,是无穷小是无穷小.结论可证结论可证.例例解解原式原式=这种用变量代换方法求极限这种用变量代换方法求极限,实质就是复合函数求极限法实质就是复合函数求极限法.故故三、小结1、极限的四则运算法则及其推论、极限的四则运算法则及其推论;2、极限求法、极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.3、复合函数的极限运算法则、复合函数的极限运算法则思考题思考题(1)在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限，无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？思考题（思考题（1）解答）解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误26试确定常数试确定常数a,解解 令令则则使使即即(2)已知已知(3)求常数求常数a,b.解解 原式原式=所以所以作业作业习题习题2.4(382.4(38页页)单数单数.