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第2章极限与连续 主主 讲：孙讲：孙 平平教学目的：知知道道极极限限概概念念（数数列列极极限限、函函数数极极限限、左左右右极极限限），知知道道极极限限存存在在的的充充分分必必要要条条件。件。了了解解无无穷穷小小量量概概念念，了了解解无无穷穷小小量量与与无无穷穷大大量量的的关关系系，知知道道无无穷穷小小量量的的性性质质，如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量，即如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量，即掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求极限的一般方法。掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求极限的一般方法。了了解解函函数数在在一一点点连连续续的的概概念念，知知道道左左连连续续和和右右连连续续的的概概念念，知知道道函函数数在在一一点点间间断断的的概念，会求函数的间断点。概念，会求函数的间断点。教学重点：1、函数极限（特别是“”、“”型）2、两个重要极限的计算；3、无穷大、无穷小的概念、性质和关系。教学难点：点连续及间断点的判断。一、主要内容归纳：（一）函数极限 1、数列极限 按一定规律排列的一串数 称为数列，记为。第n项称为数列的通项。数列可看作是定义在正整数集合上的函数，即 （n=1,2,3）讨论n无限增大时 的变化趋势：数列极限定义：一数列 ，若当n无限增大时，无限趋近某个固定常数A，则称当n趋于无穷时，数列 以A为极限。记为2、函数极限 定义：函数 ，若当 趋近于时，函数 趋近一个确定的常数A，则称当 趋于时，函数 以A为极限。记为注意：1、以上是一个符号系统，构成极限定义，缺一不可；2、极限过程x是指 xx0,xx0,xx0,x,x,x中的一种。3、极限存在的充要条件 例、设函数求x=0点的左右极限，并判断在x=0点是否存在极限 因为在x=0处左右极限不相等，所以在x=0处极限不存在解：4、无穷小量与无穷大量 以零我极限的变量称为无穷小量；绝对值越来越大且趋于正无穷大的变量称为无穷大量。无穷小量与无穷大量的关系是：无穷小量的重要性质：无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量 如当时，是无穷小量5、极限的四则运算 对某一极限过程对某一极限过程xx，若若limulimuA A，limvlimvB B，则有：，则有：1 1、lim(uv)lim(uv)limulimvlimulimvABAB；2 2、lim(uv)lim(uv)limulimvlimulimvABAB若若v vc(cc(c是常量是常量)，有，有lim(cu)lim(cu)climuclimucAcA；3 3、推论：推论：、limulimun n(limu)(limu)n n A Ann（n n为自然数）为自然数）、limlim（n n为自然数）为自然数）、limClimCCC（C C是常数）是常数）两个重要极限推广形式 或 注：这里教材中相应公式原来x的位置，统统被“（）”取代，它可以是任一有意义的函数，这时的公式实际比原公式应用更广。并给学者提供了想象空间，不具体给出函数形式。（二）连续与间断 1、点连续 在点连续的这一定义中，以下三个条件要同时满足：、f(x)在点x0的某一邻域有定义；、f(x)在点x0有极限；、f(x)在点x0的极限值等于函数值。2、间断点 函数的不连续点称为间断点例：求下列函数的间断点 1、2、3、解：1、x=1（无定义）2、x=0（极限不存在）3、x=0（极限值不等于函数值）3、利用连续性求极限 由 可知 连续函数极限符号与函数符号可以交换如 （三）极限的计算方法：l极限的四则运算法则；l 两个重要极限；l 函数的连续性。具体计算时要注意上述法则或方法成立的条件，否则会在运算中出现错误。例 求下列极限 1、解：当时分式的分子、分母的极限都不存在，不能用极限的除法法则 2、解：当 时分式的分子、分母的极限都为0，且分子中含有无理根式。遇到此情形需先将根式有理化 3、解：当时分式的分子、分母的极限都为0，且分式的分子、分母均为的二次多项式，遇到此情形需先分解因式，消去极限为零的因式再用除法法则4、解：先进行恒等变形，在利用第2个重要极限 5、解：利用第一个重要极限对照练习1、求下列极限 1、2、3、4、对照练习1、答案 1、2、3、4、e2