第三章差分方程模型-PPT.ppt

第三章差分方程模型差分方程的基本类型及差分方程的基本类型及求解求解3.1 贷款贷款购购房房3.2 管管住嘴迈开腿住嘴迈开腿3.3 物价物价的波动的波动3.4 动物动物的繁殖与的繁殖与收获收获3.5 中国中国人口增长预测人口增长预测全国全国大学生大学生 数学数学建模竞赛建模竞赛2007年年A 题题3.差分方程差分方程模型模型差分方程的基本类型及求解差分方程的基本类型及求解xk未知变量未知变量x在时段在时段k的数值的数值(k=0,1,2,)1.一阶线性常系数差分方程一阶线性常系数差分方程a,b常数常数由由x0按照方程按照方程递推计算递推计算x1,x2,求解公式求解公式 a 1 k,稳定平衡点稳定平衡点2.二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数差分方程由由x0,x1按照方程按照方程递递推地计算推地计算x2,x3,求解公式求解公式 1,2特征根特征根c1,c2 常数常数,初始值初始值x0,x1代入代入求解公式求解公式确定确定.特征方程特征方程k,稳定平衡点稳定平衡点 1,2 13.线性常系数差分方程组线性常系数差分方程组x1(k),x2(k),xn(k)n个未知变量在时段k的数值x(k)=x1(k),x2(k),xn(k)Tb=b1,b2,bnT3.线性常系数差分方程组线性常系数差分方程组由由x(0)按照方程按照方程递递推地推地计算计算x(1),x(2),求解公式求解公式A的特征根的特征根 1+nr零存整取零存整取 每月固定存额，约定存款期限，到期每月固定存额，约定存款期限，到期一次支取本息的定期储蓄一次支取本息的定期储蓄.按单利计算按单利计算的的业务业务零存整取零存整取单利和复利单利和复利方式：方式：5元起存，多存不限元起存，多存不限，存期存期1年、年、3年、年、5年年.勤俭节约、科学理财勤俭节约、科学理财例例 每月存入每月存入3000元元，存期年存期年（年利率年利率3.5%）零存整取零存整取 计算器计算器累计存入金额累计存入金额180,000元元到期本息总额到期本息总额196,012.50元元单利和复利单利和复利按单利计算按单利计算的的业务业务零存整取零存整取a每月存入金额每月存入金额,r 月利率月利率,n 存期存期(月月)xk 存入存入k个月个月后的后的本息本息k=n递推至递推至k=a=3000,r=0.035/12,n=12 5(月月)xn=196,012.50 x1=a+arxk=xk-1+a+akr,k2,3,nx2=x1+a+a2rxn=na+ar(1+2+n)等额本息贷款和等额本金贷款等额本息贷款和等额本金贷款房贷计算器房贷计算器的选项的选项贷款类别：商业贷款类别：商业贷款贷款,公积金公积金,组合型组合型年利率不同年利率不同计算方法：根据贷款计算方法：根据贷款总额或面积总额或面积、单价计算单价计算.按揭年数：可选至按揭年数：可选至30年年.选择选择20年年.银行利率银行利率：基准：基准利率、利率上限或利率、利率上限或下限下限.选择商业选择商业 贷款贷款的基准利率的基准利率6.55%.还款方式：等额本息还款或等额本金还还款方式：等额本息还款或等额本金还款款.等额本息贷款和等额本金贷款等额本息贷款和等额本金贷款例例1“房贷计算器房贷计算器”选择等额本息还款选择等额本息还款,输入输入:商业贷商业贷款总额款总额100万元万元,期限期限20年年,年利率年利率6.55%.建立等额本息还款方式的数学模型建立等额本息还款方式的数学模型,并作数值计算并作数值计算等额本息还款等额本息还款每月归还本息每月归还本息(本金加利息本金加利息)数数额相同额相同.等额本金还款等额本金还款每月归还本金每月归还本金数数额相同额相同,加上所欠本金加上所欠本金的利息的利息.点击点击“开始开始计算计算”得得:还款总额还款总额1796447.27元元,月均还款月均还款7485.2元元.等额本息还款模型等额本息还款模型a每月还款金额每月还款金额x0 贷款总额贷款总额r 月利率月利率n 贷款期限贷款期限(月月)xk 第第k月还款后尚欠金额月还款后尚欠金额xk=xk-1(1+r)a,k1,2,nk=n递推至递推至k=贷款到期时贷款到期时xn=0 xn=x0(1+r)n a1+(1+r)+(1+r)n-1本月本月欠额欠额=上月上月欠额欠额的本息的本息 还款金额还款金额等额本息还款模型等额本息还款模型A1 还款总额还款总额a每月还款金额每月还款金额x0 贷款总额贷款总额r 月利率月利率n 贷款期限贷款期限(月月)例例1 x0=100(万元万元),r=0.0655/12,n=12 20=240(月月)a=7485.2(元元),A1=1796447.27(元元)与与房贷计算器给出的房贷计算器给出的相同相同例例“房贷计算器房贷计算器”选择等额本选择等额本金金还款还款,输入输入:商业商业贷款总额贷款总额100万元万元,期限期限20年年,年利率年利率6.55%.等额本息贷款和等额本金贷款等额本息贷款和等额本金贷款建立等额本金还款方式的数学模型建立等额本金还款方式的数学模型,并作数值计算并作数值计算.点击点击“开开始计算始计算”得到得到:还款总额还款总额1657729.17元元,每月还款金额每月还款金额由第月的由第月的9625元逐月递减元逐月递减,最后月为最后月为4189.41元元.等额本等额本金金还款模型还款模型x0 贷款总额贷款总额r 月利率月利率n 贷款期限贷款期限(月月)xk 第第k月还款金额月还款金额还款金额逐月减少归还本金还款金额逐月减少归还本金x0/n所产生的利息所产生的利息x0r/n每月归还本金每月归还本金x0/n第第1月还款金额月还款金额k=n递推递推至至k=2等额本等额本金金还款模型还款模型x0 贷款总额贷款总额r 月利率月利率n 贷款期限贷款期限(月月)xk 第第k月还款金额月还款金额A2 还款总额还款总额例例2 x0=100(万元万元),r=0.0655/12,n=12 20=240(月月)x1=9625元元,x240=4189.41(元元),A2=1657729.17(元元).与与房贷计算器给出的房贷计算器给出的相同相同等额本息与等额本金方式的比较等额本息与等额本金方式的比较等额等额本息方式本息方式简单，便于安排简单，便于安排收支收支.等额本金方式每月还款金额前期高于等额本息等额本金方式每月还款金额前期高于等额本息方式方式,后期后期低于等额本息低于等额本息方式方式,适合适合当前收入较高当前收入较高人群人群.等额本息等额本息方式还方式还款总额大于等额本金款总额大于等额本金方式方式.等额本息方式前期还款额等额本息方式前期还款额较较少少,所欠本息的利息逐月所欠本息的利息逐月归还归还,所以所以利息总额利息总额较大较大.例例1 例例2：A1=1796447.27(元元),A2=1657729.17(元元).还款总额还款总额A1A2模型适模型适用用于于任何还款任何还款周期周期(半月半月、一季度一季度等等)将将公布的年利率折换为一个还款周期的公布的年利率折换为一个还款周期的利率利率.小结与评注小结与评注贷款购贷款购房两种基本还房两种基本还款款方式方式：等额本息等额本息、等额本金等额本金.要点要点:明确明确利息计算利息计算,列出列出差分方程差分方程,利用利用递推递推关系关系.不同还不同还款款周期一周期一次还款金额和还款总额都次还款金额和还款总额都不一样不一样.周期越短还款总额越小周期越短还款总额越小？3.2 管住嘴迈开腿管住嘴迈开腿测评体重的标准测评体重的标准体重指数体重指数(BMI Body Mass Index)BMI=w/l2，w体重体重(kg),l身高身高(m).例例.l=1.70m,w=63.5 kg 多数减肥食品达不到多数减肥食品达不到减肥效果，减肥效果，或不能维持或不能维持.通过控制饮食和通过控制饮食和适当运动适当运动，在不伤害身体的，在不伤害身体的 前提前提下，达到减轻下，达到减轻体重并得以控制的目的体重并得以控制的目的.标准的身材标准的身材!BMI=22模型分析模型分析 人体通过食物摄入热量人体通过食物摄入热量,通过代谢和运动消耗热量通过代谢和运动消耗热量.二者二者平衡平衡,体重不变体重不变.分析对热量的吸收和消耗分析对热量的吸收和消耗,建立体重变化规律的模型建立体重变化规律的模型.平衡平衡被破坏则被破坏则体重体重变化变化.减肥减肥计划应以不伤害身体为计划应以不伤害身体为前提前提.增加增加运动量是加速减肥的有效运动量是加速减肥的有效手段手段.以周为时间单位制订减肥计划以周为时间单位制订减肥计划.吸收热量不过少、减少体重不过快吸收热量不过少、减少体重不过快.差分方程模型差分方程模型1）体重增加正比于吸收的热量）体重增加正比于吸收的热量,平均平均8000kcal 增加体重增加体重1kg.2）代谢引起的体重减少正比于体重）代谢引起的体重减少正比于体重,每周每千克每周每千克 体重消耗体重消耗200 320kcal(因人而异因人而异).3）运动引起的体重减少正比于体重）运动引起的体重减少正比于体重,且与运动且与运动 形式形式和运动时间和运动时间有关有关.模型模型假设假设 体重体重70kg每天消耗每天消耗2000 3200kcal.4）为了安全与健康）为了安全与健康,每周吸收热量每周吸收热量10000kcal,且每周且每周 减少量减少量1000kcal;每周体重减少量每周体重减少量 1.5kg.调查资料调查资料食物每百克所含热量食物每百克所含热量运动每小时每千克体重消耗热量运动每小时每千克体重消耗热量模型模型假设假设 基本模型基本模型c(k)第第k周吸收热量周吸收热量(kcal)w(k)第第k周周(初初)体重体重(kg),k=1,2,热量转换系数热量转换系数平均平均8000kcal增加体重增加体重1kg 代谢系数代谢系数(因人而异因人而异).由由 和和吸收热量吸收热量 c(k)决定决定体重体重w(k)的变化的变化规律规律.=1/8000(kg/kcal)减肥计划的提出减肥计划的提出某人身高某人身高1.70m,体重体重100kg,BMI高达高达34.6.目前每周目前每周吸收吸收20000kcal热量热量,体重长期未变体重长期未变.制订制订减肥计划使减肥计划使体重减至体重减至75kg(BMI=26)并维持下去并维持下去.1.在正常在正常代谢代谢情况下安排一个两阶段计划情况下安排一个两阶段计划:第一阶段：吸收热量每周减少第一阶段：吸收热量每周减少1000kcal,直至达到直至达到 安全安全下限下限10000 kcal/周周；2.为加快进程而增加运动，重新安排两阶段计划为加快进程而增加运动，重新安排两阶段计划.3.给出达到目标后维持体重不变的方案给出达到目标后维持体重不变的方案.第二阶段：每周吸收热量保持下限第二阶段：每周吸收热量保持下限,达到减肥目标达到减肥目标.减肥计划的制定减肥计划的制定1.确定某人的代谢消耗系数确定某人的代谢消耗系数 每周每千克体重消耗每周每千克体重消耗 20000/100=200kcal每周吸收每周吸收20000kcal,体重体重100kg不变不变.正常代谢消耗相当弱正常代谢消耗相当弱.=1/8000c(k)=c,w(k+1)=w(k)=ww=100c=200002.正常代谢情况下的正常代谢情况下的第一第一阶段计划阶段计划吸收吸收热量热量由由20000kcal每每周减少周减少1000kcal,直至直至达到达到安全安全下限下限10000 kcal/周周.c(10)=10000 第第11周周(初初)体重体重w(11)=93.6157kg w(1)=100kg第一第一阶段阶段需需10周周3.正常代谢情况下的正常代谢情况下的第二第二阶段计划阶段计划吸收吸收热量保持下限热量保持下限cmin=10000kcal/周周,体重体重减至减至75kg.w(11+22)=74.9888kg w(11+n)75w(11)=93.6157两阶段计划共需两阶段计划共需32周周.第二第二阶段阶段需需22周周.4.为加快进程而增加运动为加快进程而增加运动t每周运动时间每周运动时间(h)运动每小时每千克体重消耗热量运动每小时每千克体重消耗热量取取 t=40 w(11)=89.3319 kg，w(11+12)=74.7388kg 第二阶段缩短为第二阶段缩短为12周周两阶段计划共需两阶段计划共需22周周.(如如每周步行每周步行7h加乒乓加乒乓4h)5.检验检验“每周体重减少量每周体重减少量 1.5kg”正常正常代谢代谢增加增加运动运动编程计算编程计算w(k)6.达到目标后维持体重不变的方案达到目标后维持体重不变的方案每周吸收热量保每周吸收热量保持持常数常数c使体重使体重w=75kg不变不变.=15000kcal/周周正常代谢正常代谢c由由20000kcal/周周直接减至直接减至15000,14000,13000,12000时时体重体重w(k)下降曲线下降曲线.c=14000时时w(72)=75kgc=12000时时w(40)=75kg比两阶段计划比两阶段计划的时间的时间长，长，吸收热量突减对身体不利吸收热量突减对身体不利.75kg7.达到目标体重所需时间与每周吸收热量的关系达到目标体重所需时间与每周吸收热量的关系令目标体重令目标体重w*=w(n+1),记记初始体重初始体重w1=w(1)k=1递推至递推至k=nw*=75w1=100c=14000 n=70.7707c=12000 n=38.7407小结与评注小结与评注减肥科学化、减肥科学化、定量化定量化需要研究需要研究人体体重人体体重变化的规律变化的规律.计算中计算中由于增加运动使由于增加运动使 由由0.025提高提高到到0.03时时(变化变化20%),减肥减肥所需所需时间从时间从32周减少到周减少到22周周(变化变化约约30%)体重变化体重变化对对 相当敏感相当敏感.体重变化体重变化既有普遍规律也既有普遍规律也与与每个人每个人特殊生理特殊生理条件有关，特别是代谢消耗系数条件有关，特别是代谢消耗系数.3.3 物价的波动物价的波动消费者在消费者在自由竞争的自由竞争的市场经济中常会市场经济中常会遇到遇到商品价格商品价格的的波动波动现象现象.供大于求供大于求价格下降价格下降减少产量减少产量增加产量增加产量价格上涨价格上涨供不应求供不应求商品数量与价格在商品数量与价格在波动波动 3.3 物价的波动物价的波动商品数量和价格主要由供求关系商品数量和价格主要由供求关系决定决定.供求平衡供求平衡供求供求失失衡衡波动的两种形式波动的两种形式振幅逐渐减小，最终趋向平稳振幅逐渐减小，最终趋向平稳.振幅越来越大，如振幅越来越大，如不不干预将导致经济崩溃干预将导致经济崩溃.讨论政府的干预方式讨论政府的干预方式描述描述波动波动现象现象研究趋向平稳的条件研究趋向平稳的条件建立建立数量数量价格价格模型模型商品数量和价格基本稳定商品数量和价格基本稳定.商品数量和价格商品数量和价格出现波动出现波动.模型假设模型假设 xk第第k时段商品数量时段商品数量yk 第第k时段商品价格时段商品价格时段时段生产周期生产周期(饲养周期饲养周期、种植周期种植周期)2.yk由消费者需求关系决定由消费者需求关系决定3.xk+1由生产者供应关系决定由生产者供应关系决定4.xk,yk偏离偏离x0,y0不大不大时时,偏离偏离yk-y0与与xk-x0成正比成正比,1.供求关系平衡供求关系平衡 商品商品数量数量x0和和价格价格y0保持不变保持不变ykx0,供过于求供过于求yky0 xk+1x0 偏离偏离xk+1-x0与与yk-y0成正比成正比.差分方程模型差分方程模型xk,yk的差分方程组的差分方程组消去消去yk-y0 xk的差分方程的差分方程模型模型yky0 xk+1x0 yky0 xk递推至递推至x1x0,y0稳定稳定kkxkx0yky0 xk,ykx0,y0不不稳定稳定差分方程模型差分方程模型模型分析模型分析例例.平衡状态平衡状态：x0=100,y0=10(元元).设设x1=110数量减少数量减少1 价格上涨价格上涨0.1元元价格上涨价格上涨1元元 下一时段供应量增加下一时段供应量增加5=5=0.1x0,y0稳定稳定xkx0yky0 x0,y0不不稳定稳定例例.平衡状态平衡状态：x0=100,y0=10(元元).设设x1=110=0.1=5=0.24模型分析模型分析xkyk 商品数量减少商品数量减少1单位单位,价格上涨幅度价格上涨幅度 价格上涨价格上涨1单位单位,(下时段下时段)供应的增量供应的增量 消费者对需求的敏感程度消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定模型分析模型分析经济稳定经济稳定消费者需求关系消费者需求关系生产者供应关系生产者供应关系f与与g的交点的交点P0(x0,y0)平衡点平衡点一旦一旦xk=x0，则，则yk=y0,且且 xk+1=xk+2=x0,yk+1=yk+2=y0 蛛网模型蛛网模型xk第第k时段商品数量时段商品数量yk 第第k时段商品价格时段商品价格差分方程模型差分方程模型的图形表示的图形表示xy0y0 x0P0fgx1x2P2y1P1y2P3P4x3y3xy0y0 x0P0fg设设x1偏离偏离x0P0是稳定平衡点是稳定平衡点P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点P1P2P3P4xy0y0 x0P0fg蛛网模型蛛网模型斜率取绝对值斜率取绝对值差分方程模型差分方程模型与蛛网模型与蛛网模型的一致的一致x0,y0稳定稳定kkxkx0yky0 xk,ykx0,y0不不稳定稳定差分方差分方程模型程模型蛛网模型蛛网模型P0是稳定平衡点是稳定平衡点P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点直线直线 f 斜率斜率 Kf=直线直线 g 斜率斜率 Kg=1/1/政府的干预办法政府的干预办法1.使使 尽量小，如尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变以行政手段控制价格不变2.使使 尽量小，如尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量不变xyOy0gfxyOx0gf需求曲线变为水平需求曲线变为水平供应曲线变为竖直供应曲线变为竖直差分方程模型差分方程模型的推广的推广根据当前和根据当前和前一前一时段的时段的价格决定下一时段的产量价格决定下一时段的产量.生产者管理水平和素质提高生产者管理水平和素质提高消费者需求关系消费者需求关系不变不变xk，yk的差分方程组的差分方程组已知已知,及及x0,y0,由由初始值初始值x1,x2递推地计算递推地计算xk,yk.差分方程模型差分方程模型的推广的推广x0,y0不不稳定稳定原模型原模型 新模型新模型=0.24,=5不变xkykxkx0yky0=1.21x0,y0稳定稳定=1.21讨论讨论稳定稳定条件条件二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数差分方程差分方程模型差分方程模型的推广的推广 1,2特征根特征根 特征方程特征方程 稳定平衡点稳定平衡点 1,2 1比原模型的稳定条件比原模型的稳定条件 放宽了放宽了.差分方程模型差分方程模型的推广的推广特征方程特征方程稳定条件稳定条件(xkx0):1,2 0.0si1,sn=0模型建立模型建立第第1年龄组年龄组(出生出生婴儿婴儿)k+1时段数量时段数量=各年龄组各年龄组k时段繁殖数量之和时段繁殖数量之和.k时段第时段第i年龄组存活的部分到年龄组存活的部分到k+1时段演变时段演变为为第第i+1年龄组年龄组.n个变量的差分方程组个变量的差分方程组已知已知bi,si 及及xi(0)按年龄分组的种群增长模型按年龄分组的种群增长模型k=0,1,2,i=1,2,n-1,k=0,1,2,任意时段各年龄组的任意时段各年龄组的种群种群数量数量模型建立模型建立Leslie矩阵矩阵(L矩阵矩阵)按年龄分组的种群按年龄分组的种群数量数量x(k)的归一化向量的归一化向量，按年龄按年龄分分组的分布向量组的分布向量.Leslie模型模型模型模型求解求解例例.种群分种群分5个年龄组个年龄组,繁殖率为繁殖率为 b1=0,b2=0.2,b3=1.8,b4=0.8,b5=0.2,存活率为存活率为s1=0.5,s2=0.8,s3=0.8,s4=0.1,各年龄组各年龄组初始初始数量均为数量均为100只只.求任意时段各年龄组数量求任意时段各年龄组数量x(k)及分布向量及分布向量x*(k).x(0)模型求解模型求解数量向量数量向量x(k)分布向量分布向量x*(k)x*(k)趋向稳定趋向稳定x(k)仍在增长仍在增长k充分大充分大结果分析结果分析分析分析k充分大后充分大后x(k),x*(k)的变化规律的变化规律稳定状态分析的数学知识稳定状态分析的数学知识 对应特征向量对应特征向量 x矩阵矩阵L存在存在最大特征根最大特征根 (正单根正单根)c常数常数满足满足结果分析结果分析k充分大充分大x(k),x*(k)的的特性特性特征向量特征向量x*归一化归一化1.分布向量分布向量 稳定分布稳定分布.2.数量数量与初始分布无关与初始分布无关.各年龄组数量按同一倍数各年龄组数量按同一倍数 (固有增长率固有增长率)增减增减.3.=1时时 x(k)cx,si等于同一时段相邻年龄组的数量比等于同一时段相邻年龄组的数量比.结果分析结果分析用算用算例验证例验证x(k),x*(k)的的特性特性x*=0.4559,0.2223,0.1734,0.1353,0.0132T模型求解中模型求解中x*(30)近似于近似于x*1.由由L计算得到计算得到=1.0254,2.模型求解中模型求解中xi(30)与与xi(29)之之比比约为约为=1.0254.3.=1.0254比比1略大略大,xi+1(30)与与 xi(30)之之比比近似于近似于si饲养动物种群的持续稳定收获模型饲养动物种群的持续稳定收获模型 同一年龄组种群的收获量在每个时段都相等同一年龄组种群的收获量在每个时段都相等实现方法实现方法:每个年龄组每个时段种群的增长量每个年龄组每个时段种群的增长量=同一同一时段的收获量时段的收获量.控制饲养动物各年龄组的数量控制饲养动物各年龄组的数量,实现持续稳定收获实现持续稳定收获:假定自然环境下饲养动物假定自然环境下饲养动物仍仍服从服从种群增长模型种群增长模型:种群数量始终不变种群数量始终不变.xi(k)第第i年龄组第年龄组第k时段的种群数量时段的种群数量.hi 第第i年龄组种群的收获系数年龄组种群的收获系数(收获量收获量与与总量总量之之比比)模型模型建立建立 增长量增长量 =收获量收获量种群增长模型种群增长模型实现持续稳定收获实现持续稳定收获种群数量种群数量x(k)=x(对对k不变不变)最大特征根最大特征根为为1模型模型建立建立 持续稳定收获持续稳定收获的最大特征根的最大特征根给定给定bi,si，选择收获系数选择收获系数hi持续稳定收获持续稳定收获 种群种群数量数量的稳定分布的稳定分布：模型模型建立建立 的的特征向量特征向量()持续稳定收获持续稳定收获增长量增长量 =收获量收获量模型模型求解求解 例例.设一个种群分成个年龄组设一个种群分成个年龄组,各年龄组的繁殖率各年龄组的繁殖率 为为 b1=0,b2=5,b3=2,存活率为存活率为s1=0.8,s2=0.5.确定确定各年龄组的收获系数以各年龄组的收获系数以实现持续稳定收获实现持续稳定收获.持续稳定收获持续稳定收获的条件的条件1.取取h1=0,h2=0.75,h3=1求种群及收获量按年龄组的稳定分布求种群及收获量按年龄组的稳定分布.持续稳定收获持续稳定收获2.取取h1=0.5,h2=0.5,h3=1模型模型求解求解 满足满足持续稳定收获持续稳定收获条件条件2.出售出售50%的幼畜和成年牲畜及全部老年牲畜的幼畜和成年牲畜及全部老年牲畜.收获量的稳定分布收获量的稳定分布种群种群数量数量的稳定分布的稳定分布1.不出售幼畜不出售幼畜,出售出售75%成年牲畜及全部老年牲畜成年牲畜及全部老年牲畜.1.h1=0,h2=0.75,h3=12.h1=0.5,h2=0.5,h3=11.，2.1.，2.小结与评注小结与评注人口增人口增长长与与动物种群动物种群数量变化规律相同数量变化规律相同,类似类似建立建立离散型女性离散型女性人口人口模型模型Leslie模型模型模型模型基本基本假定假定：种群种群参数参数(繁殖率繁殖率、存活率存活率)只只与与年龄有关年龄有关,与时段无关与时段无关(稳定环境、时间不长稳定环境、时间不长).Leslie矩阵为常数矩阵矩阵为常数矩阵L可用特征根方法可用特征根方法作作稳定性分析稳定性分析.如果种群参数随时段变化如果种群参数随时段变化(L=L(k),模型模型表为表为 ,无无稳定性分析稳定性分析.3.5 中国人口增长预测中国人口增长预测全国大学生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛2007年年A 题题以发表在工程数学学报以发表在工程数学学报2007年增刊年增刊二二上学生上学生优秀论文为基本材料优秀论文为基本材料,加以整理加以整理,介绍建模过程介绍建模过程.赛题原文赛题原文 中国是一个人口大国中国是一个人口大国,人口问题始终是制约我国人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一发展的关键因素之一.根据已有数据根据已有数据,运用数学建模运用数学建模的方法的方法,对中国人口做出分析和预测是一个重要问题对中国人口做出分析和预测是一个重要问题.近年来中国的人口发展出现了一些新的特点近年来中国的人口发展出现了一些新的特点,例如例如,老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高,以及乡村人口城镇化等因素以及乡村人口城镇化等因素,这些都影响着中国人这些都影响着中国人口的增长口的增长.2007年初发布的国家人口发展战略研年初发布的国家人口发展战略研究报告究报告(附录附录1)还做出了进一步的分析还做出了进一步的分析.赛题原文赛题原文 试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发,参考附录参考附录2中的相关数据中的相关数据(也可以搜索相关文献和补也可以搜索相关文献和补充新的数据充新的数据),建立中国人口增长的数学模型建立中国人口增长的数学模型,并由并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测;特别要指出你们模型中的优点与不足之处特别要指出你们模型中的优点与不足之处.关于中国人口问题已有多方面的研究关于中国人口问题已有多方面的研究,并积累了并积累了大量数据资料大量数据资料.附录附录2就是从中国人口统计年鉴就是从中国人口统计年鉴上收集到的部分数据上收集到的部分数据.附录附录2 中国人口统计年鉴中的部分数据及其说明中国人口统计年鉴中的部分数据及其说明附录附录1 国家人口发展战略研究报告国家人口发展战略研究报告赛题原文赛题原文2005年人口抽样数据年人口抽样数据20岁城市男性占城市总人口岁城市男性占城市总人口的的0.69%,死亡率为死亡率为20岁城市岁城市男性总人口男性总人口的的0.5920岁城市生育子女的妇女占岁城市生育子女的妇女占20岁城市妇女总人口的岁城市妇女总人口的29.01 问题分析问题分析用用数学数学建模预测建模预测人口增长人口增长的方法：的方法：差分方程差分方程、微分方程、回归分析、时间序列微分方程、回归分析、时间序列等等.结合结合所给所给数据以数据以差分方程差分方程组的组的Leslie模型为模型为基础基础.考虑考虑不同不同地区、地区、不同不同性别性别人口参数的人口参数的差别及差别及农村农村人口向人口向城市迁移城市迁移等等因素因素.按照地区和按照地区和性别建立性别建立以时间和年龄为基本变量的以时间和年龄为基本变量的中国人口增长中国人口增长模型模型.利用利用历史数据估计历史数据估计生育率、死亡率及人口迁移等生育率、死亡率及人口迁移等参数，代入参数，代入模型求解模型求解并并作预测作预测.模型假设模型假设中国中国人口是封闭系统人口是封闭系统,将数据将数据中的市、镇合并为中的市、镇合并为城市城市,与农村与农村(乡乡)作为作为两个两个地区地区;只只考虑农村向城考虑农村向城市人口的单向市人口的单向迁移迁移,不不考虑与境外的相互考虑与境外的相互移民移民.对对中中短期人口短期人口预测预测,生育率生育率、死亡率及人口迁移、死亡率及人口迁移等参数用历史数据等参数用历史数据估计估计;长期预测考虑长期预测考虑总和生育总和生育率的控制、城镇化指数的变化趋势率的控制、城镇化指数的变化趋势等因素等因素.女性每胎生育一个女性每胎生育一个子女子女.模型建立模型建立 k年年,i岁岁(不满不满i+1岁岁),地区地区j(j=1城市城市,j=2农村农村),性别性别l(l=m男性男性,l=w女性女性)的人口数量的人口数量.死亡率死亡率(死亡人数占总人数的比例死亡人数占总人数的比例).存活率存活率.生育率生育率(k年每位年每位i岁女性平均生育婴儿数岁女性平均生育婴儿数).婴儿婴儿性别比性别比(男婴比例男婴比例).i1,i2育龄区间育龄区间.迁移数量迁移数量(迁入为正迁入为正,迁出为负迁出为负).模型建立模型建立男婴数量男婴数量存活率存活率 性别比性别比生育率生育率 女性女性人口人口迁移迁移女婴数量女婴数量存活率存活率迁移迁移人口人口数量数量人口数人口数量演变量演变j=1,2模型建立模型建立k年每位育龄女性年每位育龄女性的的生育数生育数.假定假定所有所有女性在育龄期间都保持这个生育女性在育龄期间都保持这个生育数数.表述表述、控制人口增长的重要指标控制人口增长的重要指标.总和生育率总和生育率(每位女性一生的平均生育数每位女性一生的平均生育数).生育率生育率 (k年每位年每位i岁女性生育数岁女性生育数)分析分析生育模式生育模式(i岁女性生育数在育龄女性岁女性生育数在育龄女性 中的比例中的比例).模型建立模型建立农村向城市迁移的人口数量农村向城市迁移的人口数量假设单向迁移假设单向迁移人口人口分布向量分布向量存活率存活率矩阵矩阵生育模式生育模式矩阵矩阵人口迁移人口迁移向量向量模型建立模型建立按地区和性别划分、以年龄为离散变量、随时段按地区和性别划分、以年龄为离散变量、随时段演变的人口发展模型演变的人口发展模型.因因生育生育过程过程使女性使女性人口出现在男性人口出现在男性人口方程中人口方程中,导致方程之间的导致方程之间的耦合作用耦合作用.4n阶差分方程组阶差分方程组人口随年龄人口随年龄增长的演变增长的演变人口生育形成演变人口生育形成演变人口迁移人口迁移引起演变引起演变参数估计参数估计 人口发展模型人口发展模型可表为可表为存活率的估计存活率的估计死亡率与死亡率与年龄关系大年龄关系大,与与地区、性别和时间的地区、性别和时间的关系小关系小.中短期预测中短期预测：将过去若干年不同地区、性别和将过去若干年不同地区、性别和各年龄人口的死亡率简单地各年龄人口的死亡率简单地取取平均平均值值.长期预测长期预测：用统计方法对历史数据加以处理，并用统计方法对历史数据加以处理，并参考发达国家人口死亡率的演变过程给出估计值参考发达国家人口死亡率的演变过程给出估计值.参数估计参数估计 中国几十年来中国几十年来死亡率降低较死亡率降低较快快,未来趋势仍持续下降未来趋势仍持续下降.参数估计参数估计 生育率的估计生育率的估计中国中国女性生育率已在持续女性生育率已在持续下降后下降后大致保持大致保持稳定稳定.中短期预测中短期预测：将过去若干年不同地区、性别和将过去若干年不同地区、性别和各年龄人口的各年龄人口的生育率生育率简单地简单地取取平均平均值值.长期预测长期预测：设定几个不同水平的总和生育率设定几个不同水平的总和生育率生育模式可采用概率论中的生育模式可采用概率论中的 分布分布:ic生育高峰年龄生育高峰年龄婴儿性别比可由数据中婴儿性别比可由数据中0岁男婴和女婴的比率得出岁男婴和女婴的比率得出.人口迁移的估计人口迁移的估计参数估计参数估计 农村迁移农村迁移的人口的人口总数按照总数按照城镇化率的城镇化率的增长估算增长估算.k年全国城镇、农村和总人口年全国城镇、农村和总人口 城镇化率城镇化率 根据历史数据根据历史数据预测预测k年农村迁移人口总数年农村迁移人口总数迁移迁移人口年龄人口年龄、性别、性别分布用分布用典型城市的资料典型城市的资料代替代替.迁移人口比例迁移人口比例模型求解模型求解选定初始年份用人口发展模型选定初始年份用人口发展模型递推计算递推计算人口指数人口指数简明反映一个国家或地区的人口特征简明反映一个国家或地区的人口特征.人口总数人口总数 平均年龄平均年龄 模型求解模型求解人口指数人口指数平均寿命平均寿命按按k年死亡率计算的年死亡率计算的k年出生人口平均存活时间年出生人口平均存活时间.老龄化指数老龄化指数平均年龄与平均寿命之比平均年龄与平均寿命之比抚养抚养指数指数(k)每个劳动力平均抚养的无劳动力人数每个劳动力平均抚养的无劳动力人数 L(k)劳动力劳动力人数人数im1,im2,iw1,iw2劳动力劳动力年龄年龄