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第三章 弹性本构方程第三章 弹性本构方程3-1 应力应变关系的一般表达3-2 各向异性线弹性体3-3 各向同性线弹性体3-4 弹性应变能与弹性应变余能23-1 应力应变关系 从静力学的角度对应力进行了分析从静力学的角度对应力进行了分析从几何学的角度对应变进行了分析从几何学的角度对应变进行了分析平衡微分方程平衡微分方程几何方程和变形协调方程几何方程和变形协调方程上述方程适用于任意连续物体，包括弹性力学和塑上述方程适用于任意连续物体，包括弹性力学和塑性力学。性力学。这些方程还不能解决弹塑性力学问题。这些方程还不能解决弹塑性力学问题。需要研究应力与应变之间的物理关系，即本构关系。需要研究应力与应变之间的物理关系，即本构关系。对应的函数方程称为物理方程，或本构方程。对应的函数方程称为物理方程，或本构方程。一一、本构方程本构方程3材料的应力与应变关系需通过实验确定的。材料的应力与应变关系需通过实验确定的。本构方程实际是应力与应变关系实验结果的数学本构方程实际是应力与应变关系实验结果的数学描述。描述。由于实验的局限性，通常由简单载荷实验获得应力由于实验的局限性，通常由简单载荷实验获得应力与应变关系结果，建立描述相应的数学模型，再将与应变关系结果，建立描述相应的数学模型，再将数学模型用于复杂载荷情况的分析。（用一定实验数学模型用于复杂载荷情况的分析。（用一定实验验证结果）验证结果）4例如：材料单轴拉伸应力例如：材料单轴拉伸应力-应变曲线：应变曲线：e es ss se e非线弹性线弹性塑形变形塑形变形5由材料力学已知，Hooke定律可表示为：单向拉压纯剪切E为拉压弹性模量；横向与纵向变形关系G为剪切弹性模量为泊松比二.各向同性材料的广义Hooke定律（本构方程）6对复杂应力状态，在弹性力学假设条件下，应用叠加原理：对复杂应力状态，在弹性力学假设条件下，应用叠加原理：考虑x方向的正应变：产生的x方向应变：产生的x方向应变：产生的x方向应变：叠加同理：7剪应变：物理方程：说明：1.方程表示了各向同性材料的应力与应变的关系，称为广义Hooke定义。也称为本构关系或物理方程。2.方程组在线弹性条件下成立。8大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点9三.体积应变与体积弹性模量令：则：令：sm称为平均应力;q 称为体积应变10四.物理方程的其他表示形式物理方程：11用应变表示应力：或：各种弹性常数之间的关系各种弹性常数之间的关系12 弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应变的函数（或应变是应力的函数）6个应力分量可表述为个应力分量可表述为6个应变分量的函数。个应变分量的函数。3-2 3-2 线弹性体本构方程的一般表达式线弹性体本构方程的一般表达式13 当自变量(应变)很小时，式（）中的各表达式可用泰勒级数展开略去二阶及以上的高阶微量，则式（）中的第一式展开为：表示应变分量为零时的值，由基本假设，初始应力为零故表示函数f1对应变分量的一阶偏导数在应变分量为零时的值，等于一个常数14故,式（）可用一个线性方程组表示（线弹性体）式（）是纯数学推导结果，实际上与虎克定律线性关式（）是纯数学推导结果，实际上与虎克定律线性关系一致，是在弹性小变形条件下弹性体内任一点的应力与应系一致，是在弹性小变形条件下弹性体内任一点的应力与应变的一般关系式变的一般关系式式（）中的系数称为弹性常数，共式（）中的系数称为弹性常数，共有个有个15由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力时，必产生同样的应变，反之亦然因此为常数，其数值由弹性体材料的性质而定式（）推导过程未引用各向同性假设，故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、二维各向同性体以及各向同性体等16式(3)可用简写为称为弹性矩阵.式（）可用矩阵表示式（）可用矩阵表示17 物体内的任一点,沿各个方向的性能都不相同,则称为极端各向异性体.(这种物体的材料极少见)三、.弹性常数1.极端各向异性体:由能量守恒定律和应变能理论可证明,弹性常数之间存在关系 即使在极端各向异性条件下,式(2)中的36个弹性常数也不是全部独立.36个弹性常数减少到21个.弹性矩阵是对称矩阵.18弹性矩阵为19极端各向异性体的特点:(1)当作用正应力当作用正应力 时时,不仅会产生正应变不仅会产生正应变 ,还会引起剪应变还会引起剪应变 。(2)当作用剪应力时当作用剪应力时,不仅会产生剪应变不仅会产生剪应变,也会引起正也会引起正应变。应变。202.正交各向异性体 如在均匀体内,任意一点都存在着一个对称面,在任意两个与此面对称的方向上,材料的弹性性质都相同。称为具有一个弹性对称面的各向异性体。该对称面称为弹性对称面,垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。具有一个弹性对称面的各向异性体,弹性常数有13个。单斜晶体(如正长石)具有这类弹性对称。21如果在物体内的任意一点有三个互相正交的弹性对称面,这种物体称为正交各向异性体。如:煤块、均匀的木材、叠层胶木、复合材料等正交各向异性体有正交各向异性体有9个弹性常数。其弹性矩阵为个弹性常数。其弹性矩阵为223.横观各向同性体 如物体内任意一点,在平行于某一平面的所有各个方向都有相同的弹性性质,这类正交异性体为横观各向同性体。如不同层次的土壤、复合板材等。横观各向同性体只有五个横观各向同性体只有五个弹性常数弹性常数,弹性矩阵为弹性矩阵为23 物体内任意一点,沿任何方向的弹性性质都相同。4.各向同性体 各向同性体只有两个独立的弹性常数,弹性矩阵为:24可见:比较:253-3 弹性应变能 弹性体受外力作用后产生变形，外力在其作用位置的变形上做功。忽略速度、热交换和温度等因素，则外力所做的功全部转换为应变能储存在物体的内部。变分法是研究泛函求极值的方法。弹性力学问题的变变分法是研究泛函求极值的方法。弹性力学问题的变分法，也称为能量法，是和弹性体的应变能或应变余能分法，也称为能量法，是和弹性体的应变能或应变余能密切相关的，是有限元法的基础。密切相关的，是有限元法的基础。单位体积中具有的应变能，称为应变能密度或比能。26一、一维状态细长直杆，长度为L，横截面积为S，两端受拉力P作用。产生的伸长量为DL，外力作的功为：单位体积的应变能U0为：单位体积的应变能U0代表应力-应变曲线中阴影部分的面积。单位体积的应变余能U0为：27对线弹性材料，28三向应力状态下，六个应力分量和六个应变分量。由能量守恒原理，各应力分量的合力只在其对应的应变分量所引起的变形位移上做功。一、三维状态总的应变能为各应力分量对应的应变能之和，即：令：29比较：满足上式的弹性材料称为超弹性材料。特点：在任意加载-卸载循环下，材料不发生能量耗散。本构方程能量形式30对线弹性材料，利用本构方程应变余能U0为：31本章重点：本构方程3233