拉格朗日定理和函数的单调性.pptx

第六章第六章 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用首页首页1 1 拉格朗日定理和函数的单调性拉格朗日定理和函数的单调性 2 2 柯西中值定理和不定式极限柯西中值定理和不定式极限3 3 泰勒公式泰勒公式4 4 函数的极值与最大（小）值函数的极值与最大（小）值 本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备定理本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备定理罗尔罗尔定理定理,并用此讨论函数的单调性并用此讨论函数的单调性.首页首页 在这一章里在这一章里,我们要讨论怎样由导数的已知性质来推断我们要讨论怎样由导数的已知性质来推断函数所应具有的性质函数所应具有的性质.微分中值定理（包括罗尔定理、拉格微分中值定理（包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）正是进行这一讨论的有效朗日定理、柯西定理、泰勒定理）正是进行这一讨论的有效工具工具.在每一点都可导的一段连续在每一点都可导的一段连续曲线上曲线上,如果曲线的两端点高度相等如果曲线的两端点高度相等,则至少存在一水平切则至少存在一水平切线（图线（图6-16-1）.首页首页一一 、罗尔定理与拉格朗日定理、罗尔定理与拉格朗日定理定理定理6.1 6.1 （罗尔（罗尔（RolleRolle）中值定理）中值定理）若函数若函数 满足如下条件：满足如下条件：（）在闭区间在闭区间a,ba,b上连续；上连续；（）在开区间（在开区间（a,ba,b）内可导；）内可导；（）,则在内则在内(a,b)(a,b)至少存在一点至少存在一点 ,使得使得 （1 1）.罗尔定理的几何意义是说：罗尔定理的几何意义是说：不满足三个条件中的任何一个不满足三个条件中的任何一个,首页首页注注1 1 Rolle Rolle定理的三个条件只是充分条件，不是必要条件，定理的三个条件只是充分条件，不是必要条件，这三个条件不完全满足时，结论也有可能成立这三个条件不完全满足时，结论也有可能成立.例如例如,函数函数但但不满足条件不满足条件，无水平切线，无水平切线(图图6-2-(b)6-2-(b)；(c)(c)y=x y=|x|y=f(x).首页首页注注2 2 Rolle Rolle定理的三个条件都是很重要的，缺了其中一个，定理的三个条件都是很重要的，缺了其中一个，结论就可能不成立结论就可能不成立.例如例如 函数函数 不满足条件不满足条件，无水平切线，无水平切线(图图6-2-(a)6-2-(a)函数函数 函数函数 不满足条件不满足条件，无水平切线，无水平切线(图图6-2-(c).6-2-(c).图图6-2(a)6-2(a)(b)(b)但它满足定理的三个条件，有水平切线但它满足定理的三个条件，有水平切线(图图6-2-(d)6-2-(d)y y y=f y=f(x x)0 x 0 x 首页首页注注3 3 可能有同学会问，为什么不将条件可能有同学会问，为什么不将条件(i)(ii)(i)(ii)合并为合并为f f(x)(x)在在a,ba,b上可导？上可导？可以可以.但条件加强了，就排斥了许多仅满足三但条件加强了，就排斥了许多仅满足三个条件的函数个条件的函数.例如函数例如函数 ，则则显然显然x x=0=0时，函数不可导（切线时，函数不可导（切线y y轴），即不符合加强条件；轴），即不符合加强条件；例如例如在在-1,1-1,1上满足上满足RolleRolle定理的三个条件定理的三个条件.在在(-1,1)(-1,1)内存在无限多个内存在无限多个 使得使得首页首页注注4 4 罗尔定理结论中的值不一定唯一罗尔定理结论中的值不一定唯一,可能有一个可能有一个,几个甚至几个甚至无限多个无限多个.倘若倘若 有两个实根有两个实根 和和 （不妨设（不妨设 ），则函数），则函数 在在 上满足罗尔定理三上满足罗尔定理三个条件，从而存在个条件，从而存在 ，使，使 ，这与，这与 的假设相矛盾，命题得证的假设相矛盾，命题得证.这可反证如下：这可反证如下：如果去掉第三个条件，如果去掉第三个条件，RolleRolle定理的结论会发生什么变化？定理的结论会发生什么变化？LagrangeLagrange给出了回答给出了回答.首页首页 设设 为为R R上可导函数，证明：若方程上可导函数，证明：若方程 没有实根，则没有实根，则方程方程 至多只有一个实根。至多只有一个实根。作为罗尔定理的简单应用，请看下面的例子。作为罗尔定理的简单应用，请看下面的例子。例例1 1 证证 (问问)Rolle Rolle定理的条件定理的条件(i)(ii)(i)(ii)很重要且具有一般性，但条件很重要且具有一般性，但条件(iii)(iii)比较苛刻，函数一般不满足它，从而限制了定理的应用比较苛刻，函数一般不满足它，从而限制了定理的应用.定理定理6.26.2 表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形。情形。首页首页（拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理）若函数满足如下条件：若函数满足如下条件：（）在闭区间在闭区间 上连续；上连续；（）在开区间在开区间 内可导；内可导；则在则在 内至少存在一点内至少存在一点 ，使得使得 (2)(2)显然，特别当显然，特别当 时，本定理的结论（时，本定理的结论（2 2）即为罗尔）即为罗尔定理的结论（定理的结论（1 1）。）。定理是说，若平面上一条以定理是说，若平面上一条以 、为端点的连续曲线在、为端点的连续曲线在 内处处有不平行内处处有不平行于于y y轴的切线，轴的切线，使得曲线使得曲线 在该点的切线平行于弦在该点的切线平行于弦AB AB，即平行于，即平行于两个端点两个端点 与与 的连线（图的连线（图6-3-(a)6-3-(a)）y y y=f y=f(x x)首页首页(析析)为了找出证明思路，我们也先从几何上看为了找出证明思路，我们也先从几何上看LagrangeLagrange定理定理的意义：的意义：(2)(2)式右端是弦式右端是弦ABAB的斜率的斜率.则在开区间则在开区间 内部必至少有一内部必至少有一点，点，只需将只需将“曲线高度曲线高度-弦的高度弦的高度”即可满足，即可满足，因此关键是求弦的方程因此关键是求弦的方程.则曲线段则曲线段F(x)必有水平弦必有水平弦.首页首页 如果在如果在LagrangeLagrange中值定理中增加函数在两端点值相等的条件，中值定理中增加函数在两端点值相等的条件，则结论正是则结论正是RolleRolle中值定理的结论中值定理的结论.可见，可见，RolleRolle中值定理是中值定理是LagrangeLagrange中值定理的特例，这又是一个先处理特殊后处理一般中值定理的特例，这又是一个先处理特殊后处理一般情形的例子情形的例子.因而定理因而定理6.26.2证明的思路就是将证明的思路就是将LagrangeLagrange中值中值定理转化到定理转化到RolleRolle中值定理上去以获得证明，中值定理上去以获得证明，使用使用RolleRolle定理的关定理的关键是其条件键是其条件(3)(3)弦弦ABABx x轴轴.即现在的问题是：如何实现这即现在的问题是：如何实现这个转化？即如何将个转化？即如何将LagrangeLagrange中值定理中的斜弦转化为中值定理中的斜弦转化为RolleRolle中中值定理中的水平弦？值定理中的水平弦？取点取点A A ，由点斜式知，弦，由点斜式知，弦ABAB的方程为：的方程为：现在可以构造一个函数：现在可以构造一个函数：F(x)=曲线高度曲线高度-弦的高度弦的高度 =f(x)y ，注注1 1 事实上事实上,这个辅助函数的引入相当于坐这个辅助函数的引入相当于坐标系统沿原点在平面内的旋转标系统沿原点在平面内的旋转,使在新坐标下使在新坐标下,连线连线ABAB平行于平行于新新x轴轴.首页首页拉格朗日中值定理的几何意义是：拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线在满足定理条件的曲线 上至少存在一点上至少存在一点 ,该曲线在该点处的切线该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线平行于曲线两端点的连线ABAB，之差（如图之差（如图6-36-3所示）所示）.我们在证明中引入的辅助函数我们在证明中引入的辅助函数 ，正是曲线正是曲线 与直线与直线 首页首页注注2 2 定理定理6.26.2的结论（公式（的结论（公式（2 2）称为拉格朗日公式。）称为拉格朗日公式。拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式，供读者在不同的拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式，供读者在不同的场合选用：场合选用：使得不论使得不论a,ba,b为何值，为何值，总可为小于总可为小于1 1的某一正数。的某一正数。首页首页值得注意的是，值得注意的是，拉格朗日公式无论对于拉格朗日公式无论对于 ，还是还是 都成立，都成立，而而 则是介于则是介于a a与与b b之间的某一定数，之间的某一定数，而（而（4 4）、（）、（5 5）两式的特点，两式的特点，在于把中值点在于把中值点 表示成了表示成了 ，证明采用了构造函数的方法，类似于几何问题证明中辅助证明采用了构造函数的方法，类似于几何问题证明中辅助线，构造函数的方法是数学分析证明中常采取的技巧，它起着线，构造函数的方法是数学分析证明中常采取的技巧，它起着化难为易、化未知为已知的桥梁沟通作用，多利用已知的函数化难为易、化未知为已知的桥梁沟通作用，多利用已知的函数来进行构造来进行构造.也类似于几何问题的辅助线，开始会感到有难度也类似于几何问题的辅助线，开始会感到有难度.首页首页注注3 3 LagrangeLagrange中值定理的证明十分经典：中值定理的证明十分经典：先证特殊情形先证特殊情形成立，再将一般情形转化为特殊情形从而获得证明，这种解决成立，再将一般情形转化为特殊情形从而获得证明，这种解决问题的思想方法已在极限的保号性、介值定理等多次用过；问题的思想方法已在极限的保号性、介值定理等多次用过；首页首页注注4 4 Lagrange Lagrange中值定理的两个条件彼此有关中值定理的两个条件彼此有关,并不彼此独立并不彼此独立,因为因为 在在 可导可以推出可导可以推出 在在 连续连续,但反之不但反之不成立成立.把这两个条件的重叠部分去掉把这两个条件的重叠部分去掉,改成函数改成函数 在在 可导且在可导且在a a右连续在右连续在b b左连续左连续”这样这样,两个条件相互独立两个条件相互独立,但但文字累赘且不便记忆文字累赘且不便记忆,因此一般不这样叙述因此一般不这样叙述.设设，则，则当当时，由时，由可推知可推知证证首页首页例例2 2证明对一切证明对一切 成立不等式成立不等式当当 时，由时，由 可推得可推得 从而得到所要证明的结论。从而得到所要证明的结论。若函数若函数 在区间在区间I I上可导，且上可导，且 则则 为为I I上的一个常量函数。上的一个常量函数。若函数若函数 和和 均在区间均在区间I I上可导，且上可导，且 ，则在区间，则在区间I I上上 与与 只相差某一常数，即只相差某一常数，即 （c为某一常数）。为某一常数）。设函数设函数 在点在点 的某邻域的某邻域内连续，在内连续，在 内可导，且极限内可导，且极限 存在，则存在，则 在在点点 可导，且可导，且 （6 6）首页首页 推论推论1 1 推论推论2 2 推论推论3 3 （导数极限定理）（导数极限定理）由于由于 在在 内可导内可导,结合拉格朗日中值定理的条件结合拉格朗日中值定理的条件,按左右导数来证明（按左右导数来证明（6 6）式较为）式较为方便方便.由于由于 ，因此当，因此当 时，随之有时，随之有 ，对（对（7 7）式两边取极限，便得）式两边取极限，便得首页首页(析析)只需证明（只需证明（6 6）式成立即可）式成立即可.（1 1）任取）任取 在在 上满足拉格上满足拉格朗日定理条件，则存在朗日定理条件，则存在 ，使得，使得导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。首页首页（2 2）同理可得）同理可得 .因为因为 存在，存在，所以所以 ,从而从而 ,即即 .注注1 1 由推论由推论3 3可知可知:区间上的导函数区间上的导函数 在在I I上的每一点上的每一点,要么是连续点要么是连续点,要么是第二类间断点要么是第二类间断点,不可能出现第一类间断不可能出现第一类间断点点.注注2 2 的导数。的导数。在此之前，我们只能依赖导数在此之前，我们只能依赖导数定义来处理，现在则可以利用导数极限定理。定义来处理，现在则可以利用导数极限定理。解解首页首页例例3 3求分段函数求分段函数首先易得首先易得进一步考虑在处的导数。进一步考虑在处的导数。由于由于因此因此 在在 处连续，处连续，所以所以 ,依据导数极限定理推知依据导数极限定理推知 在在 处可导，且处可导，且 .首页首页又因又因由于由于 为增函数，从而对每一为增函数，从而对每一 ，当当 时，有时，有存在存在 ，使得，使得首页首页定理定理6.36.3设设 在区间在区间I I上可导，则上可导，则 在在I I上递增上递增（减）的充要条件是（减）的充要条件是(析析)必要性必要性令令 ，即得，即得 充分性充分性由于由于 在区间在区间I I上恒有上恒有 ，则对任意则对任意 （设），（设），应用拉格朗日定理，应用拉格朗日定理，从而从而 在在I I上为增函数上为增函数.其图像如图其图像如图6-46-4所示。所示。首页首页当当 时，时，递增递增例例4 4设设 试讨论函数试讨论函数 的单调区间的单调区间解解 由于由于 因此因此当当 时，时，递增；递增；当当 时，时，递减；递减；首页首页 （）在）在 内的任何子区间上内的任何子区间上 .推论推论 此定理有以下一个简单的推论：此定理有以下一个简单的推论：设函数设函数 在区间在区间I I上可微，若上可微，若 ，则在，则在I I上上 严格递增（严格递减）严格递增（严格递减）首页首页若函数若函数 在在 内可导，则在内可导，则在 内严格递内严格递增（递减）的充要条件是：增（递减）的充要条件是：定理定理6.46.4 （）对一切）对一切 ，有，有 ；我们将这个定理的证明留给读者我们将这个定理的证明留给读者.若若 在在 上（严格）递增（减），且在点上（严格）递增（减），且在点a a右右连续，则连续，则 在在 上亦为（严格）递增（减），对右端点上亦为（严格）递增（减），对右端点b b可类似讨论可类似讨论.证明不等式证明不等式 当当 ，,严格递减严格递减 .又由于又由于 在在 处连续，则当处连续，则当 时时 从而证得从而证得 首页首页注注例例5 5 证证 设设 ，则，则 .故当故当 时时 ，严格递增；严格递增；以以 记由记由 三点组三点组成的三角形面积，试对成的三角形面积，试对 应用罗尔中值定理证明拉格朗日应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理。中值定理。首页首页补充题补充题1 1 补充题补充题2 2 证明证明