半角模型专题专练.doc

半角模型例题
已知,正方形ABCD中,∠EAF两边分别交线段BC、DC于点E、F,且∠EAF﹦45°
结论1:BE﹢DF﹦EF
结论2:S△ABE﹢S△ADF﹦S△AEF
结论3:AH﹦AD
结论4:△CEF得周长﹦2倍得正方形边长﹦2AB
结论5:当BE﹦DF时,△CEF得面积最小
结论6:BM2﹢DN2﹦MN2
结论7:三角形相似,可由三角形相似得传递性得到
结论8:EA、FA就是△CEF得外角平分线
结论9:四点共圆
结论10:△ANE与△AMF就是等腰直角三角形(可通过共圆得到)
结论11:MN﹦EF(可由相似得到)
结论12:S△AEF﹦2S△AMN(可由相似得性质得到)
结论5得证明:
设正方形ABCD得边长为1
则S△AEF﹦1﹣S1﹣S2﹣S3
﹦1﹣x﹣y﹣(1﹣x)(1﹣y)
﹦﹣xy
所以当x﹦y时,△AEF得面积最小

结论6得证明:
将△ADN顺时针旋转90°使AD与AB重合
∴DN﹦BN′
易证△AMN≌△AMN′
∴MN﹦MN′
在Rt△BMN′中,由勾股定理可得:
BM2﹢BN′2﹦MN′2
即BM2﹢DN2﹦MN2

结论7得所有相似三角形:

△AMN∽△DFN
△AMN∽△BME
△AMN∽△BAN
△AMN∽△DMA
△AMN∽△AFE
结论8得证明:
因为△AMN∽△AFE
∴∠3＝∠2
因为△AMN∽△BAN
∴∠3＝∠4
∴∠2＝∠4
因为AB∥CD
∴∠1＝∠4
∴∠1＝∠2

结论9得证明:
因为∠EAN﹦∠EBN＝45°
∴A、B、E、N四点共圆(辅圆定理:共边同侧等顶角)
同理可证C、E、N、F四点共圆
A、M、F、D四点共圆
C、E、M、F四点共圆

**必会结论-------- 图形研究正方形半角模型
已知:正方形,、分别在边、上,且,、分别交于、,连、

一、全等关系
(1)求证:①;②DG2﹢BH2﹦HG2;③平分,平分、
二、相似关系
(2)求证:①;②;③、
(3)求证:④;⑤;⑥、
三、垂直关系
(4)求证:①;②;③、
(5)、与差关系
求证:①;②;
③、
例1、在正方形ABCD中,已知∠MAN﹦45°,若M、N分别在边CB、DC得延长线上移动,
①、试探究线段MN、BM 、DN之间得数量关系、
②、求证:AB=AH、

例2、在四边形ABCD中,∠B+∠D﹦180°,AB=AD,若E、F分别在边BC、CD上,且满足EF=BE +DF、
求证:∠EAF＝∠BAD

例3、在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=120°,若BD=5,CE=8,求DE得长。

例4、请阅读下列材料:
已知:如图1在中,,,点、分别为线段上两动点,若.探究线段、、三条线段之间得数量关系.
小明得思路就是:把绕点顺时针旋转,得到,连结,
使问题得到解决.请您参考小明得思路探究并解决下列问题:
(1)猜想、、三条线段之间存在得数量关系式,并对您得猜想给予证明;
(2)当动点在线段上,动点运动在线段延长线上时,如图2,其它条件不变,⑴中探究得结论就是否发生改变？请说明您得猜想并给予证明.

例5、探究:
(1)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别就是BC、CD上得点,且∠EAF＝45°,试判断BE、DF与EF三条线段之间得数量关系,直接写出判断结果: ;
(2)如图2,若把(1)问中得条件变为“在四边形ABCD中,AB＝AD,∠B＋∠D＝180°,E、F分别就是边BC、CD上得点,且∠EAF=∠BAD”,则(1)问中得结论就是否仍然成立？若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由;
(3)在(2)问中,若将△AEF绕点A逆时针旋转,当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时,
如图3所示,其它条件不变,则(1)问中得结论就是否发生变化？若变化,请给出结论并予以证明、、

练习巩固1:
如图,在四边形ABCD中,∠B﹦∠D﹦90°,AB﹦AD,若E、F分别在边BC、CD 上得点,且∠EAF＝∠BAD 、
求证:EF=BE +DF、

练习巩固2:
如图,在五边形ABCDE中,AB﹦BC﹦CD﹦DE﹦EA,
∠CAD＝∠BAE,求∠BAE得度数

练习巩固3:
已知:正方形中,,绕点顺时针旋转,它得两边分别交CB、DC(或它们得延长线)于点M、N.
(1)如图1,当绕点旋转到时,有.当 绕点旋转到时,如图2,请问图1中得结论还就是否成立？如果成立,请给予证明,如果不成立,请说明理由;
(2)当绕点旋转到如图3得位置时,线段与之间有怎样得等量关系？请写出您得猜想,并证明.

练习巩固4
(1)如图,在四边形ABCD中,AB﹦AD,∠B﹦∠D﹦90°,E、F分别就是边BC、CD上得点,且∠EAF＝∠BAD.
求证:;

(2) 如图在四边形ABCD中,AB﹦AD,∠B﹢∠D﹦180°,E、F分别就是边BC、CD上得点,且∠EAF＝∠BAD,(1)中得结论就是否仍然成立？不用证明.

(3) 如图,在四边形ABCD中,AB﹦AD,∠B﹢∠ADC﹦180°,E、F分别就是边BC、CD延长线上得点,且∠EAF＝∠BAD,(1)中得结论就是否仍然成立？若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间得数量关系,并证明.

(4)如图①,将边长为4cm得正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上得点M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P,连接EP.
(1)如图②,若M为AD边得中点,
①△AEM得周长﹦　 　cm;
②求证:EP﹦AE﹢DP;
(2)随着落点M在AD边上取遍所有得位置(点M不与A、D重合),△PDM得周长就是否发生变化？请说明理由.

(5)、如图17,正方形ABCD,E、F分别为BC、CD边上一点.
(1)若∠EAF﹦45º.求证:EF﹦BE﹢DF.
(2)若△AEF绕A点旋转,保持∠EAF﹦45º,问⊿CEF得周长就是否随△AEF位置得变化而变化？
(3)已知正方形ABCD得边长为1,如果⊿CEF得周长为2.求∠EAF得度数.
图17

练习巩固5、
如图,已知在正方形ABCD中,﹦45°,连接BD与AM,AN分别交于E、F两点。
求证:(1)MN﹦MB﹢DN;
(2)点A到MN得距离等于正方形得边长;
(3)得周长等于正方形ABCD边长得2倍;
(4);
(5)若﹦20°,求;
(6)若,求;
(7);
(8)与就是等腰三角形;
(9)。
练习巩固6、
在等边得两边,所在直线上分别有两点为外一点,且,,,探究:当点分别爱直线上移动时,之间得数量关系及得周长与等边得周长得关系.

(1)如图①,当点在边上,且时,之间得数量关系式_________;此时__________
(2)如图②,当点在边上,且时,猜想(1)问得两个结论还成立吗？写出您得猜想并加以证明;
(3)如图③,当点分别在边得延长线上时,若,则_________(用表示)
练习巩固7、
如图所示,△ABC就是边长为1得等边三角形,△BDC就是顶角为120°得等腰三角形,以D为顶点作一个60°得∠MDN,点M,N分别在AB,AC上,求△AMN得周长

练习巩固8、
如图,在正方形ABCD中,BE=3,EF﹦5,DF﹦4,求∠BAE﹢∠DCF为多少度。

巩固练习9、
如图1,Rt△ABC≌Rt△EDF,∠ACB﹦∠F﹦90°,∠A﹦∠E﹦30°。△EDF绕着边AB得中点D旋转,DE,DF分别交线段AC于点M,K.
(1)①如图2、图3,当∠CDF﹦0° 或60°时,AM﹢CK_______MK(填“>”,“<”或“=”).
②如图4,当∠CDF﹦30° 时,AM﹢CK___MK(只填“>”或“<”).
(2)猜想:如图1,当0°＜∠CDF＜60°时,AM﹢CK_______MK,证明您所得到得结论.
(3)如果,请直接写出∠CDF得度数与得值.