压轴题中路径最值问题.doc

路径最值问题
1、如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标。

2、 如图，已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点．（1）求此抛物线的解析式；
（2）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．
O
y
x
A
B
C

3、 已知,如图11,二次函数图象的顶点为,与轴交于、两点(在点右侧),点、关于直线:对称.
（1）求、两点坐标,并证明点在直线上;　　
（2）求二次函数解析式;
（3）过点作直线∥交直线于点,、分别为直线和直线上的两个动点,连接、、,求和的最小值.
图11
备用图

4、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）
（1）求抛物线的解析式
（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.

路径最值问题
1、如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标。
解：（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入
得，解得 ∴抛物线的解折式为；
（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为，
即E点的坐标（） 又∵点E在直线上
∴解得（舍去），，∴E的坐标为（4，3）；
（Ⅰ）当A为直角顶点时，过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，设P1（a，0）易知D点坐标为（-2，0）
由Rt△AOD∽Rt△POA得即，∴a=，∴P1（，0）；
（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，P2点坐标为（，0）；
（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3（b、3）
由∠OPA+∠FPE=90°，得∠OPA=∠FEP，Rt△AOP∽Rt△PFE
由得，解得，∴此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0）
综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）；
（Ⅲ）抛物线的对称轴为，∵B、C关于对称，∴MC=MB，
要使最大，即是使最大，
由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时的值最大，
易知直线AB的解折式为y=-x+1，
∴由得， ∴M。

2、 如图，已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点．（1）求此抛物线的解析式；
（2）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．
O
y
x
A
B
C

解：（1）根据题意，c=3
所以 解得 所以抛物线解析式为。

（3）如图，由题意，可得M（0，）
点M关于x轴的对称点为M'（0，-）
点A关于抛物线对称轴x=3的对称点为A'（6，3），连结A'M'
根据轴对称性及两点间线段最短可知，A'M'的长就是所求点P运动的最短总路径的长
所以A'M'与x轴的交点为所求E点，与直线x=3的交点为所求F点
可求得直线A'M'的解析式为y=
可得E点坐标为（2，0），F点坐标为（3，）
由勾股定理可求出A'M'=
所以点P运动的最短总路径（ME+EF+FA）的长为。

3、 已知,如图11,二次函数图象的顶点为,与轴交于、两点(在点右侧),点、关于直线:对称.
（1）求、两点坐标,并证明点在直线上;　　
（2）求二次函数解析式;
（3）过点作直线∥交直线于点,、分别为直线和直线上的两个动点,连接、、,求和的最小值.
图11
备用图

解：（1）依题意，得ax2+2ax-3a=0（a≠0），解得x1=﹣3，x2=1，
∵B点在A点右侧，∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0），
证明：∵直线l：，
当x=﹣3时，，  ∴点A在直线l上；
（2）∵点H、B关于过A点的直线l：对称，∴AH=AB=4，
过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，
则，， ∴顶点，
代入二次函数解析式，解得， ∴二次函数解析式为，
（3）直线AH的解析式为，直线BK的解析式为，
由，解得，即，则BK=4，∵点H、B关于直线AK对称， 
∴HN+MN的最小值是MB，，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，
则QM=MK，，AE⊥QK， ∴BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值， 
∵BK∥AH， ∴∠BKQ=∠HEQ=90°，由勾股定理得QB=8， ∴HN+NM+MK的最小值为8，

4、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）。
（1）求抛物线的解析式
（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.

解：（1）设所求抛物线的解析式为：，依题意，将点B（3，0）代入，得：解得：a＝－1
∴所求抛物线的解析式为：
（2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，

在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI…………………①
设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0），
∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线，得
∴点E坐标为（2，3）
又∵抛物线图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D
∴当y＝0时，，∴x＝－1或x＝3
当x＝0时，y＝－1＋4＝3,
∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3） 
又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1，   
∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE…………………②  
分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得：
     解得： 
过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1 ∴当x＝0时，y＝1  ∴点F坐标为（0，1）
∴=2………………………………………③   
又∵点F与点I关于x轴对称，  ∴点I坐标为（0，－1）   
∴………④
又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，∴只要使DG＋GH＋HI最小即可
由图形的对称性和①、②、③，可知，
DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI
只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小
设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：，
分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入，得：
  解得：
过A、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1
∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝；  
∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）
∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI
由③和④，可知： DF＋EI＝ ∴四边形DFHG的周长最小为。 
（3）如图7，由题意可知，∠NMD＝∠MDB，
要使，△DNM∽△BMD，只要使即可，
即：………………………………⑤
设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得  △AMN∽△ABD，
∴ 再由（1）、（2）可知，AM＝1＋a，BD＝，AB＝4
∴
∵， ∴⑤式可写成：  
解得：或（不合题意，舍去） ∴点M的坐标为（，0）
又∵点T在抛物线图像上， ∴当x＝时，y＝ ∴点T的坐标为（，）.