13达朗贝尔原理动静法解析.pptx

第九章第九章 质点动力学的基本方程质点动力学的基本方程第十章第十章 动量定理动量定理第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理第十二章第十二章 动能定理动能定理第十三章第十三章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理第十四章第十四章 虚位移原理虚位移原理3 本章介绍动力学的一个重要原理达朗贝尔原达朗贝尔原理理。应用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解。这种用静力学解答动力学问题的方法，也称为动静动静法法。达朗贝尔-J.le R.dAlembert ,17171783。达朗贝尔原理：1743年提出。131 惯性力惯性力 质点的达朗质点的达朗贝尔贝尔原理原理 132 质点系的达朗质点系的达朗贝尔贝尔原理原理 133 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 134 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力 第十三章第十三章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理5FN13-1惯性力惯性力 质点的达朗质点的达朗贝尔贝尔原理原理 设质点M，质量为m，受主动力 ，约束反力 。根据质点动力学第二定律：可改写成：假想FI是一个力，上式在形式上是一个平衡方程。FIFI称为质点的惯性力，大小等于质点的质量与加速度的乘称为质点的惯性力，大小等于质点的质量与加速度的乘积，方向与质点加速度的方向相反。积，方向与质点加速度的方向相反。6质点的达朗贝尔原理：质点的达朗贝尔原理：如果在质点上除了作用有真实的主动力和约束反力外，再如果在质点上除了作用有真实的主动力和约束反力外，再假想地加上惯性力，则这些力在形式上组成一平衡力系。假想地加上惯性力，则这些力在形式上组成一平衡力系。FNFI7注注 质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施 力体反作用力的合力。力体反作用力的合力。该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。8列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度，相对于车厢静止。求车厢的加速度 。例例1影片14019 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力 角随着加速度 的变化而变化，当 不变时，角也不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 。摆式加速摆式加速计计的原理。解：解：由动静法,有 解得 10 对整个质点系，作用于质点系上所有的主动力、约束反力与假想的加在质点系上各质点的惯性力，在形式上组成一平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理。可用方程表示为：设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有如将质点系受力按内力、外力划分,又因为13-2 质点系的达朗质点系的达朗贝尔贝尔原理原理则：例例2滑轮的半径为r，物块A、B的质量分别为m1、m2，滑轮上作用一力偶M，设绳子不可伸长，不计绳子和滑轮的质量，求物块A的加速度和轴承O的约束反力。ArBO解：取滑轮和物块A、B为研究对象：aam1gm2gFIAFIBMFOxFOy惯性力ArBMOaam1gm2gFIAFIBFOxFOy在本题中不计滑轮的质量，如果要考虑滑轮的质量，则如何计算？加上滑轮的加上滑轮的惯性力惯性力和和重力重力。1313-3 13-3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化应用达朗贝尔原理求解质点系动力学问题必须给各质点虚加上它的惯性力。对于运动的刚体每个质点加上它的惯性力，这些惯性力组成一惯性力系。因为刚体有无限个质点，在每个质点上加惯性力是不可能的，为了应用方便，按照静力学中力系的简化方法将刚体的惯性力系加以简化，这样在解题时就可以直接施加其简化结果，使动静法切实可行。常见的刚体运动有平动平动、定轴转动定轴转动和平面运动平面运动。14这个惯性力系简化为通过质心C的合力：刚体内各点的加速度都与质心C的加速度 aC相等，任一质点的惯性力 ，组成一同向的平行力系。一、刚体作平动一、刚体作平动FInFI1FI2aCFIRaC15结论结论：平动刚体的惯性力系可以：平动刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力简化为通过质心的合力，其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向与加速度方向相反。向与加速度方向相反。FInFI1FI2aCFIRaC二、刚体绕定轴转动二、刚体绕定轴转动质点的惯性力为：质点的惯性力为：定轴转动刚体，角速度定轴转动刚体，角速度 ，角加速度，角加速度 。取简化中心：转轴上一点取简化中心：转轴上一点O O。坐标系坐标系oxyzoxyz如图示，如图示，O O 点为转轴上的一点。点为转轴上的一点。取质点取质点 ，其坐标分别为：，其坐标分别为：切向惯性力：切向惯性力：法向惯性力：法向惯性力：惯性力系向惯性力系向O点简化的主矢为：点简化的主矢为：惯性力系的主矢在惯性力系的主矢在o o点，垂直点，垂直z z轴。轴。惯性力系对惯性力系对 x 轴的矩为：轴的矩为：因为故记 （13-9）称其为对于称其为对于Z轴的轴的惯性积惯性积，取决于刚体质量对于坐标，取决于刚体质量对于坐标轴的分布。轴的分布。惯性力系对惯性力系对 x 轴的矩为：轴的矩为：（13-10）同理可得惯性力系对同理可得惯性力系对 y 轴的矩为：轴的矩为：（13-11）惯性力系对惯性力系对 z 轴的矩为：轴的矩为：（13-12）综上，刚体定轴转动时，惯性力系向转轴上一点 O 简化的主矩为：（13-13）如果刚体有质量对称平面且该平面与转轴如果刚体有质量对称平面且该平面与转轴 z 垂直，简化垂直，简化中心中心 o 取为此平面与转轴取为此平面与转轴 z 的交点，则的交点，则则惯性力系简化的主矩为：则惯性力系简化的主矩为：（13-13-1）工程中绕定轴转动的刚体常常有质量对称平面。工程中绕定轴转动的刚体常常有质量对称平面。于是得结论：当刚体有质量对称平面且绕垂直于此对称平面的轴作定轴转动时，惯性力系向转轴与对称平面交点简化时，得位于此平面内的一个力和一个力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反，作用线通过转轴；这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反，21主矢：设刚体有质量对称平面对称平面，且转轴垂直于该对称平面，如皮带轮、齿轮、砂轮等。三、三、有质量对称平面的对称平面的刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动此惯性力系为空间力系，利用对称性可以简化为在对称平面内的平面力系，再向转轴z与对称平面的交点O点简化：主矩：FIiFIi向O点简化结果为：23向质心向质心C点简化：点简化：24 假设刚体具有对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。刚体平面运动可分解为随基点（质心C）的平动和绕基点的转动。四、刚体作平面运动四、刚体作平面运动 惯性力系向质心惯性力系向质心C点简化：得点简化：得25A端铰支的均质杆长l,质量m,杆由与水平面成0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。选杆AB为研究对象 向A点虚加惯性力系：解解：根据动静法，有例例3FFFIRFIRI26FFFIRFIRI27用用动量矩定理动量矩定理+质心运动定理质心运动定理再求解此题：再求解此题：解解：选AB为研究对象由得：由质心运动定理：FF28牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力 及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f,试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。取轮为研究对象 虚加惯性力系：解：解：由动静法，得：例例4OFIRICmg29由(1)得由(2)得 N=mg+S，要保证车轮不滑动，必须 Ff N=f(mg+S)(5)可见，可见，f 越越大越不易滑动。大越不易滑动。Mmax的值的值为上式右端的为上式右端的值。值。把(5)代入(4)得：OFIRICmg13-4 13-4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力 机械在转动起来之后，轴承的约束力可分为静约束力和动约束机械在转动起来之后，轴承的约束力可分为静约束力和动约束力（附加动反力）。力（附加动反力）。动约束力是机械产生破坏、振动与噪声的主要因素。动约束力是机械产生破坏、振动与噪声的主要因素。本节本节研究内容研究内容：1 1 求出绕定轴转动刚体的轴承全约束力（包括静约束力和求出绕定轴转动刚体的轴承全约束力（包括静约束力和 附加动约束力）；附加动约束力）；2 2 推出消除附加动约束力的条件。推出消除附加动约束力的条件。定轴转动刚体，角速度定轴转动刚体，角速度 ，角加速度，角加速度 。取简化中心：转轴上一点取简化中心：转轴上一点O O。所有主动力向所有主动力向O点简化的结果：点简化的结果：主矢：主矢：主矩：主矩：惯性力系向惯性力系向O点简化的结果：点简化的结果：主矢：主矢：主矩：主矩：A A、B B处的处的5 5个约束反力如图所示：个约束反力如图所示：惯性力没有惯性力没有Z方向的分量（方向的分量（Z方向无加速方向无加速度分量）。度分量）。坐标系坐标系oxyz如图示，如图示，o点为转轴上的一点。点为转轴上的一点。根据质点系的根据质点系的动静法，动静法，列空间任意力系的列空间任意力系的平衡方程平衡方程如下：如下：由上述由上述5个方程解得轴承全反力为：个方程解得轴承全反力为：止推轴承止推轴承B B沿沿Z Z轴的约束力轴的约束力 与惯性力无关，与惯性力无关，与与Z Z轴垂直的轴承约束力轴垂直的轴承约束力 显显然与惯性力系的主矢和主矩有关。然与惯性力系的主矢和主矩有关。由于由于 和和 引起的轴承给轴的约束力称为附加动约引起的轴承给轴的约束力称为附加动约束力，要使附加动约束力等于零，必须有：束力，要使附加动约束力等于零，必须有：即要使轴承给轴的即要使轴承给轴的附加动约束力等于零的条件附加动约束力等于零的条件是：是：惯性力系的主矢等于零，惯性力系对于惯性力系的主矢等于零，惯性力系对于x x轴和轴和y y轴的轴的主矩等于零。主矩等于零。由式（由式（13135 5）和式（）和式（13131010）、（）、（131311 11），应有：，应有：由此可见，要使惯性力系的主矢等于零，必须由此可见，要使惯性力系的主矢等于零，必须 ，即转轴必通过轴心。即转轴必通过轴心。而要使而要使 ，必须有，必须有 ，即刚体，即刚体对于转轴对于转轴Z的惯性积必须等于零。的惯性积必须等于零。结论：刚体绕定轴转动时，避免出现轴承附加动反力的结论：刚体绕定轴转动时，避免出现轴承附加动反力的条件是：转轴通过质心，刚体对转轴的惯性积等于零。条件是：转轴通过质心，刚体对转轴的惯性积等于零。惯性主轴：如果刚体对于通过某点的Z轴的惯性积 等于零，则称此轴为过该点的惯性主轴。中心惯性主轴：通过质心的惯性主轴，称之。上述结论可叙述为：避免出现轴承附加动反力的条件是：上述结论可叙述为：避免出现轴承附加动反力的条件是：刚体的转轴应是刚体的中心惯性主轴。刚体的转轴应是刚体的中心惯性主轴。静平衡：刚体的转轴通过质心，且刚体除重力外没有受到其它主动力作用，则刚体可以在任意位置静止不动，这种现象称为静平衡。动平衡：当刚体的转轴通过质心且为惯性主轴时，刚体转动时不出现轴承附加动约束力，这种现象称为动平衡。能够静平衡的定轴转动刚体不一定能够实现动平衡，能够静平衡的定轴转动刚体不一定能够实现动平衡，但动平衡的定轴转动刚体肯定能够实现静平衡。但动平衡的定轴转动刚体肯定能够实现静平衡。例例13138(P341)8(P341)39 根据达朗贝尔原理，以静力学平衡方程的形式来建立动力学方程的方法，称为动静法。应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束反力。应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就方便得多。达朗贝尔原理的应用达朗贝尔原理的应用40 (1)选取研究对象选取研究对象原则与静力学相同。(2)受力分析受力分析画出全部主动力和外约束反力。应用动静法求动力学问题的步骤及要点：应用动静法求动力学问题的步骤及要点：(4)虚加惯性力虚加惯性力在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定 要在正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯性力系的简化结果。(3)运动分析运动分析主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出方向。41 (5)列动静方程列动静方程选取适当的矩心和投影轴。(6)建立补充方程建立补充方程运动学补充方程（运动量之间的关系）。(7)求解求知量。求解求知量。注注 的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，只需按 代入即可。注意：后面的例题中，惯性力的下标I用g代替。例例13-6(P337)绞车和梁合重P，绞盘的转动惯量为J，以加速度a提升重物。重物的质量为m，绞盘的半径为r，求由于加速提升重物而对支座A、B的附加压力。解：取梁、绞车和重物为研究对象，施加惯性力，列平衡方程：解得：附加反力：附加反力决定于惯性力系。例例13-7(P338)均质圆盘质量为mA，半径为r，细长杆长l=2r，质量为m，A点为光滑铰链联接，作用力F，轮子作纯滚动。问：(1)F力多大能使杆的B端刚刚离开地面？（2）为保证纯滚动，轮与地面间的静滑动摩擦系数应为多大？a解：运动分析、受力分析和施加惯性力。AB杆整体要求只滚不滑：48质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。取整个系统为研究对象解：解：方法1 用达朗贝尔原理求解 例例5 49列补充方程：虚加惯性力和惯性力偶：由动静法：gFgR1FgR2代入上式得：50方法2 用动量矩定理求解 根据动量矩定理：取系统为研究对象51取系统为研究对象，任一瞬时系统的两边除以dt，并求导数，得方法3 用动能定理求解52在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体重为P，半径均为R，质量均匀分布；鼓轮O重为Q，半径为R，质量均匀分布；绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M，试求：(1)鼓轮的角加速度？(2)绳子的拉力？(3)轴承O处的支反力？(4)圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？例例653解：解：取轮O为研究对象，虚加惯性力偶列出动静方程：取轮A为研究对象，虚加惯性力 和惯性力偶MgA如图示。方法方法1 用用达朗贝尔原理达朗贝尔原理求解求解MgFgRMgOQ54列出动静方程：运动学关系：，将MgO、FgR、MgA 及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得：MgFgR55代入(2)、(3)、(5)式，得：56(1)用动能定理求鼓轮角加速度。取系统为研究对象两边对t求导数：方法方法2 用动力学普遍定理求解用动力学普遍定理求解57(2)用动量矩定理求绳子拉力 （定轴转动微分方程）取轮O为研究对象，由动量矩定理得(3)用质心运动定理求解轴承O处支反力 取轮O为研究对象，根据质心运动定理：58(4)用刚体平面运动微分方程求摩擦力 取圆柱体A为研究对象，根据刚体平面运动微分方程方法方法3：用动能定理求鼓轮的角加速度：用动能定理求鼓轮的角加速度 用达朗伯原理求约束反力用达朗伯原理求约束反力（绳子拉力 、轴承O处反 力 和 及摩擦力 ）。59均质圆柱体重为P，半径为R，无滑动地沿倾斜平板由静止自O点开始滚动。平板对水平线的倾角为，试求OA=S时平板在O点的约束反力。板的重力略去不计。解解：(1)用动能定理求速度，加速度圆柱体作平面运动。在初始位置时，处于静止状态，故T1=0；在末位置时，设角速度为，则vC=R,动能为：例例7P60 主动力的功：由动能定理 得对 t 求导数，则：(2)用达朗伯原理求约束反力取系统为研究对象，虚加惯性力 和惯性力偶MgCPaC61列出动静方程：MgC62绕线轮重P，半径为R及 r，对质心O转动惯量为IO，在与水平成 角的常力T 作用下纯滚动，不计滚阻，求：(1)轮心的加速度；(2)分析纯滚动的条件。解解：用达朗贝尔原理求解 绕线轮作平面运动（纯滚动）由达朗伯原理，得将FgR 、MgO代入上式，可得例例8MgOFgR63纯滚动的条件：F f N MgOFgR641.物体系统由质量均为m的两物块A和B组成，放在光滑水平面上，物体A上作用一水平力F，试用动静法说明A物体对B物体作用力大小是否等于F？思考题：思考题：解：解：Fg65 2.匀质轮重为P，半径为 r，在水平面上作纯滚动。某瞬时角速度，角加速度为 ，求轮对质心C 的转动惯量，轮的动量、动能，对质心的动量矩，向质心简化的惯性力系主矢与主矩。解：解：MgC67