数学期望的定义复习.ppt

1.离散型,2.连续型,3.Y=g(X),4.Z=g(X,Y),数学期望的定义复习,性质2E（CX）=CE（X）,性质3E（X+Y）=E（X）+E（Y）,性质4设X，Y是两个相互独立的随机变量，则有E（XY）=E（X）E（Y）,性质推广：,（1）E(X1+X2+Xn)=E（X1）+E（X2）+E（Xn）,若X1，X2，Xn相互独立，则E(X1X2Xn）=E(X1)E(X2)E(Xn),（2）E(C1X1+C2X2+CnXn)=E(C1X1)+E(C2X2)+E(CnXn)=C1E(X1)+C2E(X2)+CnE(Xn),特别地E（E(X)）=E(X),性质1E（C）=C，其中C为常数,数学期望的性质复习,方差概念的引出,引例从甲，乙两车床加工的零件中各取件，测得尺寸如下(单位：cm):甲：8,9,10,11,12；乙：9.6,9.8,10,10.2,10.4已知标准尺寸为10(cm),公差d=0.5cm,问那一台车床好？,以甲，乙分别表示甲、乙两车床加工零件的长度。易得：E(甲)=E(乙)10.但甲和乙零件的质量有显著差异，甲加工的零件只有件合格，乙加工零件全合格。可见不仅需要考虑平均长度，而且需要考虑这些长度值是否较整齐。,故考虑E(|X-E(X)|)EX-E(X)2,4.2随机变量的方差,1.方差的概念,D(X)=Var(X)=EX-E(X)2,并称为X的标准差或均方差记为。,2.方差的几何意义,随机变量X的方差反映出X的取值与其数学期望的偏离程度若较小，则X取值比较集中，否则，X取值比较分散因此，方差是刻画X取值分散程度的一个量,定义设X是随机变量，如果EX-E(X)2存在，则称EX-E(X)2为X的方差，记为D(X)或Var(X)，即,其中PX=xk=pkk=1,2,3,.,连续型随机变量,离散型随机变量,3.方差的计算,4.方差计算公式,=E(X2)-E(X)2,4.方差计算公式,公式,证明,D(X)=EXE(X)2,=EX2-2XE(X)+E(X)2,=E(X2)-2E(X)E(X)+E(X)2,例1设随机变量X0-1分布，其概率分布为PX=1=p，PX=0=q，0p1，p+q=1，求D(X),解因E(X)=p，而E(X2)=12p+02q=p，,于是D(X)=E(X2)-E(X)2=p-p2=pq。,解,求D(X)。,所以,或,例2设随机变量X具有概率密度,性质2D(CX)=C2D(X),性质3D(X+C)=D(X)，D(aX+b)=a2D(X),性质4若X，Y是两个相互独立的随机变量，则有D（X+Y）=D（X）+D（Y）,性质5D（X）=0的充要条件是PX=E(X)=1,推广若X1,X2,Xn相互独立，,练习若X1,X2,X3相互独立，期望分别为9,10,12；方差分别为2,1,4,求Y=2X1+3X2+X3的期望和方差。,60,21,为常数，则有,性质1D(C)=0,5.方差的性质,证明(2)D(CX)=ECX-E(CX)2=C2EX-E(X)2=C2D(X),(3)D(X+C)=E(X+C)-E(X+C)2=EXE(X)2=D(X),而EX-E(X)Y-E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y),由于X,Y相互独立，故有E(XY)=E(X)E(Y),从而有EX-E(X)Y-E(Y)=0，,(4)D(X+Y)=E(X+Y)-E(X+Y)2,于是D(X+Y)=D(X)+D(Y),练习若X，Y相互独立，证明D(X-Y)=D(X)+D(Y)。,=EX-E(X)2+EY-E(Y)2+2EX-E(X)Y-E(Y),=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y),=EX-E(X)+Y-E(Y)2,=EXY-E(X)Y-E(Y)X+E(X)E(Y),6.常见分布的数学期望和方差,1)0-1分布概率分布为,E(X)=p,2)二项分布设随机变量XB（n，p），其概率分布为:,D(X)=E(X2)-E(X)2=p-p2=p(1-p)=pq,2)二项分布设随机变量XB(n,p),其概率分布为:,则D(X)）=E(X2)-E(X)2。事实上,所以D(X)=E(X2)-E(X)2=n(n-1)p2+np-n2p2=npq,3)泊松分布设随机变量X()，概率分布为：,，k=0,1,2,3,0,D（X）=E（X2）-E（X）2,因此D（X）=E（X2）-E（X）2=2+-2=,4)几何分布设随机变量X服从几何分布，分布律为,其中0p1为常数，则,5)均匀分布设XUa,b概率密度为：,6)指数分布设XE()概率密度为：,故,，（x+),7)正态分布设XN（,2）概率密度为：,，（x+),7)正态分布设XN(,2)概率密度为：,D（X）=D（X1+X2+Xn）,i=1,2,n,显然Xi均服从（0-1）分布,即E（Xi）=p,D(Xi)=pq，（i=1，2，n）,且X1，X2，Xn相互独立。,于是E（X）=E（X1+X2+Xn）,=E（X1）+E（X2）+E（Xn）=np,=D（X1）+D（X2）+D（Xn）=npq,解令,则X=X1+X2+Xn,例3在n重贝努里试验中，用X表示n次试验中事件A发生的次数，记P(A)=p，求E(X)，D(X),例4设随机变量X的期望E(X)和方差D(X)都存在，则称,为X标准化随机变量,试求和,解注意到均为常数，再由期望及方差的性质可得：,我们称上例的过程为对随机变量X的标准化,练习题,1设X表示独立射击目标10次所击中目标的次数，每次击中的概率为0.4，则E(X2)=(),2随机变量X服从参数为1的指数分布，则E(X+e-2X)=().,3随机变量X与Y独立，且XN(1,2)，YN(0,1),则Z=2X-Y+3的期望与方差分别为（）,二、单选题,一、填空题,设和是两个随机变量，则下式正确的是（）,三、计算题,设有n个同样的盒子和n个同样的小球分别编号为1,2,3,，n将n个球随机地放入n个盒子中去，每个盒子放一个球，求与盒子编号相同的小球数的数学期望,18.4,5,9,(A),1.D(X)=Var(X)=EXE(X)2,3.常见分布的期望与方差,2.D(X)的性质(略),小结,