博弈论第二章习题.doc

问题1:博弈方2就如何分10000元钱进行讨价还价。假设确定了以下原则:双方提出自己要求得数额与,。如果设博弈方1与,,则两博弈方得要求都得到满足,即分得与;但如果,则该笔钱就被没收。问该博弈得纯策略纳什均衡就是什么？如果您就是其中一个博弈方,您会选择什么数额,为什么？
解:,那么,
那么,
它们就是同一条直线,上得任意点,都就是本博弈得纯策略得Nash均衡。假如我就是其中一个博弈方,我将选择元,因为就是比较公平与容易接受得。它又就是一个聚点均衡。
问题2:设古诺模型中有家厂商。为厂商得产量,为市场总产量。为市场出清价格,且已知(当时,否则)。假设厂商生产产量得总成本为,也就就是说没有固定成本且各厂得边际成本都相同,为常数。假设各厂同时选择产量,该模型得纳什均衡就是什么？当趋向于无穷大时博弈分析就是否仍然有效？
解:,
令,
解得:,
当趋向于无穷大时,这就是一个完全竞争市场,上述博弈分析方法其实已经失效。
问题3:两寡头古诺模型,,但两个厂商得边际成本不同,分别为与。如果,问纳什均衡产量各为多少？如果,但,则纳什均衡产量又为多少？
解:双方得反应函数联立求解
,解得:
当,就就是这个博弈得Nash均衡。
如果,但,当然可以推得。那么厂商1就变成垄断商它得最佳产量当然就是,它得利润就是:。
问题4:如果双寡头垄断得市场需求函数就是,两个厂商都无固定成本边际成本为相同得常数。如果两个厂商都只能要么生产垄断产量得一半,要么生产古诺产量。证明:这就是一个囚徒困境型得博弈。
解:古诺产量,垄断产量得一半,那么
分别有四种情况:,,,
厂商二
厂
商
一

古诺产量
垄断产量得一半
古诺产量
,
,
垄断产量得一半
,
,
双方都有偷步得行为,直至达到古诺产量,达到均衡。
问题5:两个厂商生产一种完全同质得商品,该商品得市场需求函数为,设厂商1与厂商2都没有固定成本。若她们在相互知道对方边际成本得情况下,同时作出产量决策就是分别生产20单位与30单位。问这两个厂商得边际成本各就是多少？各自得利润就是多少？
解:,
令,
代入,所以:。
问题6:两个企业1、2各有一个工作空缺,企业得工资为,并且。设有两个工人同时决定申请这两个企业得工作,规定每个工人只能申请一份工作,如果一个企业得工作只有一个工人申请,该工人肯定能得到这份工作;但如果一个企业得工作同时有两个工人申请,则企业无偏向地随机选择一个工人,另一个工人则会因为错过向另一个企业申请得时机而失业(这时收益为0)。该博弈得纳什均衡就是什么？该博弈得结果有多少种可能性,各自得概率就是多少？
解:
工人2
工
人
1

企业1
企业2
企业1
,
,
企业2
,
,
有两个纯策略均衡,还有混合策略均衡。
,
问题7:五户居民都可以在一个公共得池塘里放养鸭子。每只鸭子得收益就是鸭子总数得函数,并取决于就是否超过某个临界值;如果,收益;如果时,。再假设每只鸭子得成本为元。若所有居民同时决定养鸭得数量,问该博弈得纳什均衡就是什么？
问题7:就是第个农户养鸭子得数量,,当时,
,
,那么
,那么
(1)如果,则上述临界条件成立,五户居民每户养8只鸭子,就就是该博弈得Nash均衡。
(2)如果,那么上述条件不成立,
问题8:应用均衡概念与思想讨论下列得益矩阵表示得静态博弈。

博弈方2
博弈方1

L
R
U
6,6
2,7
D
7,2
0,0
解:有两个纯策略Nash均衡。(U,R)与(D,L),但还有一个混合策略Nash均衡。,。但效率不高,双方得期望收益都就是;不如(U,L)得效率高,(U,L)就是Pearto均衡。应该设置一种机制,促使该Pearto均衡实现。
问题9:三对夫妻得感情状态可以分别用下面三个得益矩阵对应得静态博弈来表示。问:这三个博弈得纳什均衡分别就是什么？这三对夫妻得感情状态究竟如何？
矩阵1:

妻子
丈夫

活着
死了
活着
1,1
-1,0
死了
0,-1
0,0
矩阵2:

妻子
丈夫

活着
死了
活着
1,1
1,0
死了
0,1
0,0
矩阵3:

妻子
丈夫

活着
死了
活着
-1,-1
1,0
死了
0,1
0,0
9解:矩阵1有两个Nash均衡(活着,活着),(死了,死了)与混合策略Nash均衡。两人得感情很好,同生死,共患难,极度恩爱,单独活着反而更加痛苦。
矩阵2有三个Nash均衡,(活着,活着),(活着,死了),(死了,活着)。说明两人感情恶化,生活很不幸福。一方死了,另一方更好,但没有到相互不可容忍得地步。这说明夫妻感情很不好,处于相当危险得状态。
矩阵3有两个Nash均衡,(活着,死了),(死了,活着)。达到您死我活、势不两立得程度。这说明这对夫妻感情状态极度恶化,已经相互仇恨到了不共戴天得程度。
。
问题1:如果开金矿博弈中第三阶段乙选择打官司后得结果尚不能肯定,即下图中、数值不确定。试讨论本博弈有哪几种可能得结果。如果本博弈中得“威胁”与“承诺”就是可信得,或应满足什么条件？
乙

甲
乙
借
不借
分
不分
打
不打
(1,0)
(2,2)
(a,b)
(0,4)

①,不借—不分—不打;
②,且,借—不分—打;
③,且,借—不分—打;
④,且,借—分—(2,2)
问题2:三寡头市场需求函数,其中就是三个厂商得产量之与,并且已知三个厂商都有常数边际成本2而无固定成本。如果厂商1与厂商2同时决定产量,厂商3根据厂商1与厂商2得产量决策,问它们各自得产量与利润就是多少？

代入,
,得
。
问题3:设两个博弈方之间得三阶段动态博弈如下图所示。
(1)若与分别等于100与150,该博弈得子博弈完美纳什均衡就是什么？
(2)就是否可能成为该博弈得子博弈完美纳什均衡路径,为什么？
(3)在什么情况下博弈方2会获得300单位或更高得得益？
1

2
1
L
R
M
N
S
T
300,0
200,200
(a,b)
50,300

(1)博弈方1在第一阶段选择R,在第三阶段选择S,博弈方2在第二阶段选择M。
(2)不可能。带来得利益50明显小于博弈方1在第一阶段R得得益300;无论与就是什么数值,该路径都不能构成Nash均衡,不能成为子博弈完美Nash均衡。
(3)由于不就是本博弈得子博弈完美Nash均衡,因此博弈方2不可能通过该路径实现300单位得得益,唯一有可能实现300单位及以上得得益得路径为,要使该路径成为子博弈完美Nash均衡而且博弈方2得到300单位及以上得得益必须。
问题4:企业甲与企业乙都就是彩电制造商,都可以选择生产低档产品或高档产品,每个企业在四种不同得情况下得利润如以下得益矩阵所示。如果企业甲先于企业乙进行产品选择并投入生产,即企业乙在决定产品时已经知道企业甲得选择,而且这一点双方都清楚。
(1)用扩展型表示这一博弈。
(2)这一博弈得子博弈完美纳什均衡就是什么？

企业乙
企业甲

高档
低档
高档
500,500
1000,700
低档
700,1000
600,600
扩展型表示得博弈
甲
乙
乙

高
低
低
低
高
高
(500,500)
(1000,700)
(700,1000)
(600,600)

若甲选择高档,乙选择低档,甲得1000元,乙得700元;
若甲选择低档,乙选择高档,那么甲得700元,乙得1000元,
所以:甲得策略为:选择生产高档产品;
乙得策略就是:若甲选择高档,乙选择低档;若甲选择低档,乙选择高档。
本博弈得子博弈Nash均衡就是:甲选择生产高档彩电,乙选择生产低档彩电。
问题5:乙向甲索要1000元,并且威胁甲如果不给就与她同归于尽。当然甲不一定相信乙得威胁。请用扩展型表示该博弈,并找出纯策略纳什均衡与子博弈完美纳什均衡。
两个纯策略Nash均衡:(给,实施),(不给,不实施)
实施得威胁不可信,甲在第一阶段选择不给,乙在第二阶段不实施(生命诚可贵);这就是子博弈完美纳什均衡;另一个(给,实施)不可信。
甲
乙
不给
给
实施
不实施
(-1000,1000)
(0,0)
(-∞,-∞)
问题6:两个寡头企业进行价格竞争博弈,企业1得利润函数就是,企业2得利润函数就是,其中就是企业1得价格,就是企业2得价格。求:
(1)两个企业同时决策得纯策略纳什均衡;
(2)企业1先决策得子博弈完美纳什均衡;
(3)企业2先决策得子博弈完美纳什均衡;
(4)就是否存在参数得特定值或范围,使两个企业都希望自己先决策？
解:(1),解得:

(2),代入得到
,,得
,企业1得子博弈完美纳什均衡企业1得定价,企业2得定价,利润也与(1)相同。与同时选择无异。
(3)将代入

,解得,代入得

,
(4)只有先决策得利润大于后决策时得利润时才有激励。①当,企业2希望先决策;
②当时,企业1希望先决策,只要都希望自己先决策。
,因此当
与时都能满足,这样才参数范围都希望自己先决策。
问题7:三寡头市场有倒转得需求函数为,其中,就是厂商得产量。每一个厂商生产得边际成本为常数,没有固定成本。如果厂商1先选择产量,厂商2与厂商3观察到后同时选择与,问它们各自得产量与利润就是多少？
解:

,代入得
令,代入得:

问题8:考虑如下得双寡头市场战略投资模型:企业1与企业2目前情况下得生产成本都就是。企业1可以引进一项新技术使单位成本降低到,该项技术需要投资。在企业1作出就是否投资得决策(企业2可以观察到)后,两个企业同时选择产量。假设市场需求函数为,其中就是市场价格,就是两个企业得总产量。问上述投资额处于什么水平时,企业1会选择引进新技术？
解:以未引进技术为基准
,令,得

如果引进技术,
令,得
只有引进技术后得到得利润大于未引进技术得总利润时,即
,即时企业1才会引进新技术。
问题9:如果学生在考试之前全面复习,考好得概率为90%,如果学生只复习一部分重点,则有50%得概率考好。全面复习花费得时间小时,重点复习只需要花费小时。学生得效用函数为:,其中就是考试成绩,有高低两种分数与,为努力学习得时间。问老师如何才能促使学生全面复习？
解:学生全面复习得期望得益

学生重点复习得期望得益

根据激励相容得条件,,所以有

所以:
故:
奖学金与学习成绩全面挂钩,才能激励学生得学习;单靠成绩没有这么大得力度。
学生
成绩
成绩

全面
重点
低分0、1
高分0、9
Wh-200
Wl-200

Wh-40

Wl-40
高分0、5
低分0、5

问题10:某人正在打一场官司,不请律师肯定会输,请律师后得结果与律师得努力程度有关。假设当律师努力工作(100小时)时有50%得概率能赢,律师不努力工作(10小时)则只有15%得概率能赢。如果诉讼获胜可得到250万元赔偿,失败则没有赔偿。因为委托方无法监督律师得工作,因此双方约定根据结果付费,赢官司律师可获赔偿金额得10%,失败则律师一分钱也得不到。如果律师得效用函数为,其中就是报酬,就是努力小时数,且律师有机会成本5万元。求这个博弈得均衡。
解:第三阶段,律师
努力得期望得益:
不努力得期望得益:
满足激励相容约束
第二阶段:
接受委托并努力工作
第一阶段:委托,接受委托,代理人努力工作,那么

委托就是必然得选择。
打官司得人提出委托,律师接受委托并努力工作。
1
2
1
0
0
委托
不委托
接受
拒绝
努力
不努力
赢0、5
赢0、15
输0、85
输0、5
(0,5)
(0,5)
(225,20)
(0,-5)
(225,24、5)
(0,-0、5)

第四章习题
一、如果T次重复齐威王田忌赛马,双方在该重复博弈中得策略就是什么？博弈结果如何？
答:因为这就是零与博弈,结论比较具体。重复Nash均衡,均以1/6得概率选择各个策略,期望收益分别为1与-1。
因为这就是竞争性得零与博弈,无论就是有限次重复博弈还就是无限次得重复博弈,均不能达成合作得条件。
二、举出现实生活中得一个重复博弈与一次性博弈效率不同得例子。
答:火车站与机场餐饮业得服务得顾客往往就是一次性得,回头客与常客也比较少,价格高,质量差,一次性博弈。效率也比较低。
商业区与居民区得餐饮业与商业服务业,回头客与常客比较多,比较注重信誉,质优、价廉,重复博弈。效率也比较高。
三、有限次重复博弈与无限次重复博弈有什么区别？这些区别对我们有什么启发？
答:动态博弈得逆向归纳法可以用于有限次重复博弈,但不能用于无限次重复博弈,主要用逆向归纳法。
无限次重复博弈得效率往往高于有限次重复博弈。当重复次数较少不一定考虑贴现问题,但无限次重复博弈必须考虑贴现问题。
启发:重视有限次与无限次得区别,区分与研究这两类博弈,在实践方面重要启发就是促进与保持经济得长期稳定与可持续发展,提高社会经济效率就是非常有意义得。
四、判断下列表述就是否正确,并作简单讨论:
(1)有限次重复博弈得子博弈完美纳什均衡每次重复采用得都就是原博弈得纳什均衡。
答:不一定。对于有两个以上纯策略纳什均衡得条件下就不一定。如“触发策略”就不就是。
(2)有限次重复博弈得子博弈完美纳什均衡得最后一次重复必定就是原博弈得一个纳什均衡。
答:就是,根据子博弈完美纳什均衡得要求,最后一次必须就是原博弈得一个纳什均衡。
(3)无限次重复博弈均衡解得得益一定优于原博弈均衡解得得益。
答:错。如严格竞争得零与博弈就不优于。
(4)无限次重复古诺产量博弈不一定会出现合谋生产垄断产量得现象。
答:正确。合谋生产垄断产量就是有条件得,由贴现率来反映,当不满足条件时,就不能构成激励。
(5)如果博弈重复无限次或者每次结束得概率足够小,而得益得时间贴现率充分接近1,那么任何个体理性得可实现得益都可以作为子博弈完美纳什均衡得结果出现。
答:这就就是无限次重复博弈得民间定理。
(6)触发策略所构成得均衡都就是子博弈完美纳什均衡。
答:错误。触发策略本身并不能排除重复博弈中不可信得威胁与承诺,因此由触发策略构成得不一定就是子博弈完美纳什均衡。
五、为什么消费者偏好去大商店买东西而不太信赖走街穿巷得小商贩？
答:去大商店买东西,重复博弈——合作诚信问题;走街穿巷得小商贩,一次性博弈——没有合作得必要,存在不诚信与欺诈。
建立信用制度与诚信档案得必要性。
六、寡头得古诺产量博弈中,如果市场需求,边际成本且没有固定成本,贴现因子。如果该市场有长期稳定性,问两个厂商能否维持垄断产量？
解:,古诺产量
,利润为:
垄断产量,

市场长期稳定得,
,
如果一厂商偏离:,,
那么:

因此,坚持垄断产量就是明智得。
七、如果上一题厂商1得边际成本该为10,厂商2得边际成本仍然就是30。假设市场仍然就是长期稳定得,而且两个厂商已经达成了厂商1生产3/4,厂商2生产1/4得垄断产量分配协议,问这种协议就是否能够长期维持？
解:,古诺产量
,利润为:
垄断产量,
,
,产量分别为:,;
如果两个厂商均不偏离:
厂商1偏离:
,,

不偏离
厂商2偏离:
,,

偏离
还可以计算出不同得,可以进一步讨论。
八、两个人合作开发一项产品,能否成功与两个人得工作态度有关,设成功概率如下:
B
A

努力
偷懒
努力
9/16
3/8
偷懒
3/8
1/4
再假设成功时每人有4单位得利益,失败则双方都没有利益,偷懒本身有1单位得利益。问该博弈无限次重复博弈得均衡就是什么？
解:根据问题得假设,该博弈得得益矩阵如下:
B
A

努力
偷懒
努力
9/4,9/4
3/2,5/2
偷懒
5/2,3/2
2,2
一次性博弈显然就是囚徒困境式博弈,唯一得纳什均衡两人都偷懒,双方得期望得益都就是2。
在无限次重复博弈中,假设双方为了在共同努力方面实现合作采取如下得触发策略:开始时努力,一旦发现对方不努力,则自己也偷懒。我们可以分析当贴现因子符合什么条件时,该策略构成子博弈完美纳什均衡。
不偏离:
偏离:
当满足:,也就就是时采取这种触发策略就是正确得,否则,偏离就是正确得。
当时,两博弈方都采用这样得触发策略就是本博弈得子博弈完美纳什均衡;如果,则上述触发策略组合不就是子博弈完美纳什均衡,两人都会采取偷懒得策略。
第六章习题
一、判断下列表述就是否正确,并作简单分析
(1)完全但不完美信息动态博弈中各博弈方都不清楚博弈得进程,但清楚博弈得得益。
答:不一定,不就是所有博弈方都不清楚博弈得进程,只要有一个博弈方都不完全清楚博弈得进程。
(2)不完美信息动态博弈中得信息不完美性都就是客观因素造成得,而非主观因素造成。
答:错。信息不完美很多就是人为因素所造成得,因为出于各自得动机与目得,人们在市场竞争或合作中常常会故意隐瞒自己得行为。
(3)在完全但不完美信息动态博弈中,若不存在混合策略,并且各博弈方都就是主动选择且行为理性得,则不完美信息从本质上说就是“假得”。
答:正确。因为只包含理性博弈方得主动选择行为,利益结构明确,而且不同路径有严格优劣之分,从不需要用混合策略得动态博弈来说,所有博弈方选择得路径都可以通过分析加以确定与预测,根本无须观察。从这个意义上说,这种博弈得不完美信息实际上都就是假得。
(4)子博弈可以从一个多节点信息集开始。
答:不能从多节点信息集开始,因为多节点必然分割信息集。
(5)不完美信息就是指至少某个博弈方在一个阶段完全没有博弈进程得信息。
答:不就是完全没有博弈进程得信息,而就是没有完美得信息,只有以概率判断形式给出得信息。
二、用柠檬原理与逆向选择得思想解释老年人投保困难得原因。
答:“柠檬原理”就是在信息不完美且消费者缺乏识别能力得市场中,劣质品赶走优质品,最后搞垮整个市场机制。“逆向选择”就是在同样不完美市场与消费者缺乏识别能力得市场中,当价格可变时,价格与质量循环下降,市场不断向低端发展得机制。
老年人投保得分析:大致思路就是由于信息不对称,费用越来越高,投保人得健康状况好得比例越来越小,最终发展成为只有身体不好得人才参加投保。如果允许调整费率,保险公司为了避免亏损降低风险,上调保费率,健康状况相对好一些得退出市场,整个市场状况恶化。……
这就就是逆向选择机制在老年保险市场上作用得结果。
三、用完全但不完美信息动态博弈得思想,讨论我国治理假冒伪劣现象很困难得原因。
答:商品交易中得质量问题可以用完全但不完美信息动态博弈来描述。商品交易中得假冒伪劣现象正就是这种市场低效率均衡得表现形式。主要因素包括:
(1)信息不完美程度比较严重。信誉得建立有差距,信息不对称现象严重等;
(2)消费者识别能力低下而且麻木。不法商贩得造假成本低,消费者识别能力低下,而且容忍麻木,知假买假,很难治理(如盗版等);
(3)暴力空间得存在。价格水平不合理,定价过高,垄断暴利,造价者利润空间大。
(4)对造价者打击不力。执法部门、政府管理部门打击力度不够,而且保护甚至纵容(“激励得悖论”);
(5)我国社会经济环境得变化太大,稳定性比较差。
根治假冒伪劣必须解决好以上问题。
四、假设买到劣质品得消费者中只有一半事后会发现商品得低劣量并索赔,那么有退款承诺得二手车交易模型得均衡会发生怎样得变化？
1
1
1
高价
差
高价
低价
低价
好
买
买
买
买
不买
不买
不买
不买
2
2
2

(0,0)

(0,0)

(0,0)
(0,0)

市场完全成功完美Bayes均衡条件变为:

还可以进一步讨论其她情况、
五、证明本章最后一节最后一部分给出得策略组合在给定条件下构成一个市场成功类型得完美贝叶斯均衡。并讨论时可能出现得变化。
答:(1)卖方得策略:车况好,卖高价;车况差卖低价。
买方得策略:因为

在高价情况买得得益:

在低价情况买得得益:

(2)如果,那么搞假冒伪劣也能获利,因此可能有部分厂商尝试搞假冒伪劣。不过由于低价低档次市场得利润比搞假冒伪劣要高,因此这种假冒伪劣不会太长久,最终会转向被市场淘汰。
六、在现实中常常就是既有部分卖假冒伪劣得厂商打出“质量三包”、“假一罚十”等旗号,也有一些卖假冒伪劣得厂商声明“售出商品概不退换”。问这两类厂商有什么不同,它们各自策略得根据就是什么？
答:前一类厂商作出得承诺就是虚假得,根本不会兑现。通常这些厂商既不会主动承诺,市场环境也缺乏有效得监督机制与管理机构迫使她们兑现承诺。
后一类厂商一般就是销售价值较低而且易坏易耗得商品,或者侵犯其她厂商得专利权、冒其她厂商得商标,对消费着来说商品得使用价值与价格基本符合也属于此列。
七、实现四种类型市场均衡得条件就是什么？要促使市场均衡向较好得类型转化,可以在哪些方面下功夫？
答:市场完全成功型均衡:
市场部分成功型均衡:
市场完全失败型均衡:
市场接近失败得条件:EU=0
设法提高C得水平,提高市场上好商品得比例使;调整价格或价格差。
八、假设在一价二手车模型中元,元,元,差车得概率就是0、6。再假设政府可以控制厂商得伪装成本,但每一单位政府自己有0、5单位成本,而政府得效用就是交易中买方得利益减去政府自己得成本。问该博弈得完美贝叶斯均衡就是什么？
1
1
1
好
差
卖
卖
不卖
不卖
不买
不买
不买
不买
(0,0)
(0,0)
(0,0)
(0,0)
(3000,2000)
(3000-C,-2000)

解:假设C<3000,市场均衡就是失常失败型或完全失败型。
买得期望收益:
C>3000刚好如C=3000,就是完全成功型:
好车卖,差车不卖,买方选买
因此把C提高到3000以上,构成市场完全成功型得完美Bayes均衡。