24用三个二次.pptx

三个三个“二次二次”及其应用（一）及其应用（一）二次函数二次函数一元二次方程一元二次方程一元二次不等式一元二次不等式三个三个“二次二次”是指：是指：二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a0)一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)一元二次不等式一元二次不等式ax2+bx+c0(或或0)(a0)它们之间关系密切，搞清楚它们之间的相互联系，它们之间关系密切，搞清楚它们之间的相互联系，一切此类问题将迎刃而解。一切此类问题将迎刃而解。数形结合思想数形结合思想心中有图，胸有成竹心中有图，胸有成竹图形可直观形象地反映图形可直观形象地反映函数的性质函数的性质一、知识要点：一、知识要点：O1.二次函数的三种解析式：二次函数的三种解析式：一般式：顶点式（配方式)：两根式（因式分解)：O2.二次函数的图象及性质：二次函数的图象及性质：顶顶 点：点：递减区间：递减区间：递增区间：递增区间：O当当b=0是，二次函数为是，二次函数为y=ax2+c，为偶函数。，为偶函数。奇偶性：奇偶性：b=0时为偶函数时为偶函数3.三个三个“二次二次”的基本关系：的基本关系：图象图象二次函数与二次函数与x轴的交点，轴的交点，就是就是所对应方程的根，所对应方程的根，也是也是所对应的一元二次不等式解区间的端点。所对应的一元二次不等式解区间的端点。二次不等式二次不等式的解集为的解集为(-,x1)(x2,+)(x1x2)3.三个三个“二次二次”之间的关系进一步梳理：之间的关系进一步梳理：二次函数二次函数与与x轴的交点为轴的交点为(x1,0)和和(x2,0)M1M2x1x2二次方程二次方程的两根为的两根为x1和和x2二次不等式二次不等式的解集为的解集为(x1,x2)(x10前提前提2：4.根与系数的关系（韦达定理）根与系数的关系（韦达定理）的两根为的两根为x1,x2，则，则5.二二次次函函数数f(x)=ax2+bx+c(a0)，当当时时图图象象与与x轴有两个交点轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0)，则弦长，则弦长M1M2x1x2证明：证明：弦长公式弦长公式解：解：x2-(2a+1)x+a2-60的解集为的解集为(-5,-2),例题例题题型一题型一“一元二次不等式解区间的端点即为相应二次方程的根一元二次不等式解区间的端点即为相应二次方程的根”的应用的应用 x2-(2a+1)x+a2-6=0的解为的解为x1=-5，x2=-2,一一元元二二次次不不等等式式解解区区间间的的端端点点即即为为相相应应二二次次方方程程的的根根练习练习m=2题型二题型二解一元二次不等式解一元二次不等式一元二次不等式一元二次不等式的解集为的解集为(-,x1)(x2,+);若一元二次方程若一元二次方程的两根为的两根为x1和和x2(x1x2)，则：，则：一元二次不等式一元二次不等式的解集为的解集为(x1,x2)(x10大于取两边大于取两边小于取中间小于取中间解解一一元元二二次次不不等等式式的的口口诀诀为为“大大于于取取两两边边，小小于于取取中中间间”，使使用用此此口口诀诀的的前前提是提是二次项系数为正二次项系数为正；当二次项系数为负时，先将当二次项系数为负时，先将不等式两边同乘以不等式两边同乘以-1，化为正时，再利用口诀。，化为正时，再利用口诀。注意：注意：练习练习1.一元二次不等式一元二次不等式2x2-5x+20的解集是的解集是2.一元二次不等式一元二次不等式x2x+6的解集为的解集为（-2，3）3.一元二次不等式（一元二次不等式（x+3）（）（2-x）0的解集为的解集为x|x-3，或，或x24.一元二次不等式一元二次不等式-x2+5x+60的解集为的解集为x|-1x65.一元二次不等式一元二次不等式2x2+7x+30的解集为的解集为x|x-3或或x-0.56.一元二次不等式一元二次不等式(x-2)(x+2)5的解集为的解集为x|-3x37.一元二次不等式一元二次不等式-x2+2x-30的解集的解集 题型三题型三 已知一元二次不等式的解集为R或空集，求参数的范围例例己知不等式己知不等式(m-2)x2+2(m-2)x+40的解集为的解集为R,求实数求实数m的取值范围的取值范围综上所述，实数综上所述，实数m的取值范围是：的取值范围是：2m6解：当解：当m-2=0时，不等式化为时，不等式化为40，恒成立，不等式的解集为，恒成立，不等式的解集为R，合题意，合题意.当当m-20即即m2时，时，要使不等式要使不等式(m-2)x2+2(m-2)x+40的解集为的解集为R,则有则有，即即，解得解得，即即2m6数形结合：数形结合：心中有图，心中有图，胸有成竹！胸有成竹！一一元元二二次次不不等等式式的的解解集集为为R或或空空集集，则则相相应应二二次次函函数数的的图图象象与与x轴无交点轴无交点。练习练习1.关于关于x的一元二次不等式的一元二次不等式x2-kx+10的解集为的解集为R,则实数则实数k的取值范围是的取值范围是.(-2，2)2.若若关关于于x的的一一元元二二次次不不等等式式x2+(k-1)x+40在在实实数数范范围围内内恒恒不不成成立立,则则实实数数k的的取取值范围是值范围是.-3k53.已已知知一一元元二二次次不不等等式式2kx2+kx+0对对一一切切实实数数x都都成成立立，则则实实数数k的的取取值值范范围围是是 .（0，44.若若 关关 于于 x的的 一一 元元 二二 次次 不不 等等 式式-x2-2x+a 0的的 解解 集集 为为 R，则则 实实 数数 a的的 取取 值值 范范 围围 是是 .（-，-1）5.关于关于x的不等式的不等式ax2-ax+10的解集是空集，那么的解集是空集，那么a的取值区间是的取值区间是.0，46.关关 于于 x的的 不不 等等 式式 kx2-6kx+k+8 0的的 解解 集集 为为 空空 集集，则则 实实 数数 k的的 取取 值值 范范 围围 是是 .0，1例例2 若当若当xRxR时，时，恒成立，恒成立，二次不等式恒成立问题转化为判别式的问题。二次不等式恒成立问题转化为判别式的问题。题型三题型三 已知一元二次不等式的解集为R或空集，求参数的范围求实数求实数a a的取值范围。的取值范围。的解集为的解集为R R。恒成立，等价于恒成立，等价于分析：分析：恒成立，恒成立，解：解：。解得解得 。实数实数a a的取值范围是的取值范围是。练习练习例例已知一元二次不等式已知一元二次不等式ax2+bx+10的解集为的解集为x|-2x1,求求a+b的值的值.a+b=-1（6分）分）解：解：不等式不等式ax2+bx+10的解集为的解集为x|-2x1，二次函数二次函数y=ax2+bx+1的图象是开口向下的抛物线，的图象是开口向下的抛物线，且与且与x轴交于两点（轴交于两点（-2，0），（），（1，0）-2和和1是方程是方程ax2+bx+1=0的两根，的两根，解得解得题型四题型四 已知一元二次不等式的解集，求参数的值一元二次不等式的解集的两个端点值，即为相应二次方程的两个根。韦达定理：韦达定理：练习练习1.设一元二次不等式设一元二次不等式ax2+bx+10的解集为的解集为x|-1x3,求求ab的值的值.2.若一元二次不等式若一元二次不等式x2+bx-a0的解集为的解集为x|-2x3,求求a+b的值的值.53.一元二次不等式一元二次不等式ax2+bx+10的解集是的解集是，求，求a+b的值的值.14.一元二次不等式一元二次不等式ax2+bx-10的解集为的解集为，求，求a+b的值的值.1例例关于关于x的一元二次不等式的一元二次不等式ax2+bx+c0的解集是的解集是(-4，1),求不等式求不等式bx2+cx+a0的解集的解集.解：解：关于关于x的一元二次不等式的一元二次不等式ax2+bx+c0的解集是（的解集是（-4，1），），a0，且且，b=3a，c=-4a，不等式不等式bx2+cx+a0可化为可化为3ax2-4ax+a0，即即3x2-4x+10，故不等式的解集是（故不等式的解集是（-，）（1，+）解得解得，用用a表示表示b和和c，这，这是解此类题目的是解此类题目的关键关键！判断二次项系数的符号判断二次项系数的符号!题型五 已知二次不等式的解集，求相应不等式的解集例若一元二次不等式例若一元二次不等式ax2+bx+c0（ac0）的解集为）的解集为x|mxn，则一元二次不等式则一元二次不等式cx2+bx+a0的解的解.解：解：一元二次不等式一元二次不等式ax2+bx+c0（ac0）的解集为）的解集为x|mxn，m，n是对应方程是对应方程ax2+bx+c=0的两个根，且的两个根，且a0，ac0，c0，则则，n0，m0，c=mna，b=-a（m+n），），代入不等式代入不等式cx2+bx+a0得：得：mnax2-a（m+n）x+a0，mnx2-（m+n）x+10，(mx-1)(nx-1)0，n0，m0，mn0，判断二次项系数的符号判断二次项系数的符号!用用a表示表示b和和c，这是解此，这是解此类题目的类题目的关关键键！题型五 已知二次不等式的解集，求相应不等式的解集不等式的解集为：不等式的解集为：题型五 已知二次不等式的解集，求相应不等式的解集的步骤：第一步：由已知不等式的解集，判断二次项系数的正负号第一步：由已知不等式的解集，判断二次项系数的正负号；第二步：利用韦达定理，表示各系数第二步：利用韦达定理，表示各系数a,b,c；第三步：用第三步：用a表示表示b,c；第四步：将第四步：将b,c代入所求解的不等式，消去参数代入所求解的不等式，消去参数a；第五步：利用分解因式法，求解不等式。第五步：利用分解因式法，求解不等式。练练习习1.关于关于x的一元二次不等式的一元二次不等式ax2+bx+c0的解集是（的解集是（-4，1），），求：求：bx2+cx+a0的解集的解集x|x3或或x-23.不等式不等式ax2+bx+c0的解集是的解集是x|x-3或或x2，求不等式求不等式cx2+bx+a0的解集的解集.4.关关于于x的的不不等等式式ax2+bx+c0的的解解集集为为x|mxn，m0，（1）试判断）试判断a，b，c的符号；的符号；（2）求关于）求关于x的不等式的不等式cx2-bx+a0的解集的解集a0,c02.已知一元二次不等式已知一元二次不等式ax2+bx+c0的解为的解为，求不等式求不等式cx2+bx+a0的解的解.以下先不讲，先讲专题25题型六 求二次函数的解析式例例设二次函数满足对称轴方程为设二次函数满足对称轴方程为x=2，且图象在，且图象在y轴上截距为轴上截距为1，被，被x轴截得轴截得的线段长为的线段长为，求二次函数的解析式，求二次函数的解析式解：设二次函数为：解：设二次函数为：y=ax2+bx+c，图象在图象在y轴上截距为轴上截距为1，c=1，此时此时y=ax2+bx+1，对称轴方程为对称轴方程为x=2，被被x轴截得的线段长为轴截得的线段长为，二次函数的解析式为二次函数的解析式为y=x2-2x+1。由由得得a=，b=-2，题型六 求二次函数的解析式1.已知二次函数已知二次函数f(x)满足满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且且f(x)的最大值是的最大值是8,试确定此二试确定此二次函数的解析式次函数的解析式.解法一解法一:利用二次函数的一般式利用二次函数的一般式.故所求函数的解析式为故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.设设f(x)=ax2+bx+c(a0),则则4a+2b+c=-1,a-b+c=-1,=8.4a4ac-b2a=-4,b=4,c=7.解得解得解法二解法二:利用二次函数的顶点式利用二次函数的顶点式.设设f(x)=a(x-m)2+n,f(2)=f(-1)=-1,又又f(x)的最大值是的最大值是8,n=8.f(2)=-1,a=-4.抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x=,故所求函数的解析式为故所求函数的解析式为f(x)=-4(x-)2+8=-4x2+4x+7.f(x)=a(x-)2+8,a(2-)2+8=-1,m=.解法三解法三:利用二次函数的两根式利用二次函数的两根式.由已知由已知f(x)+1=0的两根为的两根为2和和-1,故可设故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),从而从而f(x)=a(x-2)(x+1)-1.即即f(x)=ax2-ax-2a-1.又又f(x)的最大值是的最大值是8,4a4a(-2a-1)-a2 =8,解得解得a=-4或或a=0(舍去舍去).故所求函数的解析式为故所求函数的解析式为f(x)=-4(x-2)(x+1)=-4x2+4x+7.1.已知二次函数已知二次函数f(x)满足满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且且f(x)的最大值是的最大值是8,试确定此二试确定此二次函数的解析式次函数的解析式.解含参数的一元二次不等式例例5：解关于：解关于x的不等式：的不等式：x2(a1)xa0，解：若解：若a a1 1时，解为时，解为1 1x xa a，若若a a1 1时，解为时，解为a ax x1 1，若，若a a=1=1时，解为时，解为 。(2)m=4(2)m=4 时，时，=0=0，两根为，两根为若若m=4,m=4,则其根为则其根为1 1，原不等式的解集为原不等式的解集为若若m=-4,m=-4,则其根为则其根为1 1，原不等式的解集为原不等式的解集为(3)-4m4(3)-4m4 时，时，=0=0，方程无实数根方程无实数根 原不等式的解集为原不等式的解集为R R 例例6:6:解关于解关于x x的不等式：的不等式：例例7 7：解关于：解关于x x的不等式：的不等式：(a 1)x 2-(a 2)x 1 0 解解含含参参数数的的一一元元二二次次不不等等式式时时一一定定要要抓抓住住开开口口方方向向及及两两根根大大小小讨讨论论。切忌忽视开口方向。切忌忽视开口方向。二、五类重要题型(三)：形如二次的不等式恒成立问题(一)形如二次的不等式在R上恒成立(二)不等式在区间上恒成立：化归为区间最值问题化归为区间最值问题A.B.注：注：数形结合思想、分类讨论思想的运用。数形结合思想、分类讨论思想的运用。ex:ex:已知对于任意已知对于任意xR,xR,总有总有 ,求求t t的范围的范围.t(-1,2)例例8 8：设：设f(x)=axf(x)=ax2 2+2ax-4,+2ax-4,且且f(x)0f(x)0,=0;2方程方程ax+bx+c-3=0中中a0,=02 有有唯唯一一解解即即为为若若a0时时,例例5:恰有一解恰有一解,求求m.m=2二、五类重要题型(四)：二次方程根的分布问题(一)符号根问题：从从、x1+x2、x1x2三方面列不等式（组）三方面列不等式（组）两正根两负根异号根(二)区间根问题：从从、顶点横坐标、顶点横坐标、端点值三方面列不等式（组）端点值三方面列不等式（组）充要条件图象类别返回目录返回目录返回小结返回小结二次方程区间根的问题两根在同一区间内两根在同一区间内一般情况下需要从三个方面考虑：一般情况下需要从三个方面考虑：(1)(1)判别式判别式;(2)(2)区间端点函数值的正负区间端点函数值的正负;(3)(3)对称轴对称轴 与区间端点的关系。与区间端点的关系。两根分属两个区间内两根分属两个区间内只需要考虑一个方面：只需要考虑一个方面：区间端点函数值的正负区间端点函数值的正负;例例1:方程方程 的两根均大于的两根均大于1,求实数求实数a的取的取值范围值范围注注:0,(x1-x0)+(x2-x0)0 其两根其两根x1,x2均大于均大于x0，(x1-x0)(x2-x0)0,例2若关于的一元二次方程的一根大于1，另一根小于1，则实数 的取值范围是 。例3：关于 的方程的两个实根都在内，求实数的取值范围；的方程至少有一个负根，求实数的取值范围；例4关于二、五类重要题型(五)：二次函数的区间最值求解二次函数 在区间 上最值，注意分顶点横坐标在区间的左、中、右三种情况进行讨论。类 别最小值最大值动画演示例1：求下列函数的最值，例例2 2已已知知x x,y y满满足足 ，求求 的的取取值值范范围围。2例例2 2已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2+2x+5,+2x+5,若若 值域为值域为4,54,5，求，求m m的取值范围。的取值范围。2例例3 3已知已知f(x)=x+ax+3-a,f(x)=x+ax+3-a,若若x-2,2x-2,2时时,f(x)0,f(x)0恒成恒成立立,求求a a的取值范围。的取值范围。2-7,2例例4:4:求下列函数的最值求下列函数的最值:例例5:f(x)=x+2mx-3(mR)5:f(x)=x+2mx-3(mR)在区间在区间-1,3-1,3上的最大值上的最大值.2m-1,6m+6;m0,b0,求求a,ba,b的取值范围。的取值范围。例例：已已知知二二次次函函数数，当当f f(x x)在在区区间间上上为为减减函函数数时时，则则a a的的取取值值范范围围是是。当当f f(x x)在在区区间间上上为为减减函函数数，且且在在区区间间上上为为增增函函数数时时，则则a a的的取取值值范范围围是是。若若f f(x x)在在区区间间上上存存在在反反函函数数，则则a a的的取取值值范范围围是是 范围最大值最小值-8a-65+2a-6a-417+4aa-417+4a5+2a范围最大值最小值k=011k08k+11-kk01-k8k+1范围最大值最小值答案: