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培优专题讲义有理数及其运算

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初一数学培优专题讲义一 有理数及其运算

一、 有理数的基本概念：
（一）常考点，易错点：
1.字母可以表示任意有理数，不能说a一定是正数，-a也不一定是负数
2.相反数等于本身的数是 ；平方等于本身的数是 ；立方等于本身的数是 ；倒数等于本身的数是 。
3.互为相反数的两个数的绝对值相等。若|－x|=||，则x=______；若|x|=|－4|，则x=____；
若-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿；若-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿
4.互为相反数的两个数的平方相等。如果　　　　，那么a=____；若x2=(－2)2，则x=_______.
5.注意乘方中括号的作用。（－2）3的底数是_______，结果是_______；－32的底数是_______，结果是_______；n为正整数，则（－1）2n=_ __, (－1) 2n+1=_ __。计算：
（1）  = ； （2）  = ； （3）   = ；（4）  = （5） =
6.a的相反数是 ；a+b的相反数是 ；a-b的相反数是 ；-a+b-c的相反数是 ；
变式训练：若a＜b，则∣a-b∣= ，-∣a-b∣=
（二）绝对值的化简：
7.绝对值即距离，则
8.绝对值的代数定义用式子可表示为：（体现分类讨论的思想）
（a＞0）
|a| = （a＝0 ）
（a＜0 ）
9.绝对值的非负性：
（1）若|a|＝0，则a ； （2）若|a|＝a，则a ； （3）若|a|＝—a，则a ；
（4） ， 则；（5），则；（6）若|a|+|b|=0，则a 且b
小结：要打开绝对值号，关键要确定绝对值号里的数的符号。
例1． 已知：│a－1│+（b+1）2=0，那么（a+b）2003+a2003+b2003的值是多少？

例2.若ab<0，求++的值．

例3.（1）如果x＜－2，那么|1－|1+ x||= ； 若|m－1|=m－1,则m___1. ； 若|m－1|=1－m,则m___1.
（2）已知，且，则___________．
例4.有理数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|
C
B
0
A

1.已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|—|c—b|—|a—c|+|b-a|
a
0
c
b

2.数a，b在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|-|b-a|+|b|-|a-|a||
a
0
b

例5. 若-2≤a≤0，化简|a+2|+|a-2| 即时练习：1.已知x<-3,化简|3+|2-|1+x|||

2. 若a<0，试化简 3. 若abc≠0，则的所有可能值为

例6.若与互为相反数，求的值

（三）分类讨论的思想：
例7. 已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，且x的绝对值是5，
试求x－（a+b－cd）+│（a+b）－4│+│3－cd│的值．

即时练习：1. 已知|x|=2，|y|=3且x-y>0，则x+y的值为多少？ 2.解方程：|x-5|=8

（四）两个重要的非负数：①；②a2≥0；③
例8.

例9．已知与互为相反数，求代数式

二、 突破有理数的计算
（一） 混合运算的几个优先原则：乘方优先，括号优先，凑整优先，同号优先，相反数优先，同分母优先，分配律优先。减法要用心：连减取负当加算；小减大，取负，倒过来减。
例10.计算：（1） （2）
（3） （4） （5）

（6） （7）

（二）利用运算律、裂项、逆向思维等技巧巧算：例11.计算：（巧算）
（1） （2）+++++．

例12.计算：（－）×－（－）×（－）－×（－1）

例13.

例14.（1）（分组求和）1-2+3-4+…[phone] （2）（倒序求和）1+3+5+7+…+99

（三）利用幂的性质巧算：例15.计算：（1）    （2）

（四）整体代入求值初步：例16.若a+2b+3c=10,且4a+3b+2c=15,则a+b+c= .
例17.已知，试求代数式的值
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