自动化车床管理问题模型.doc

自动化车床管理问题模型
摘 要
本文主要研究的是自动化车床生产工序中刀具的检验与更换问题。本文将生
产该零件的效益作为衡量检查间隔和刀具更换策略好坏的标准，因此能否设计出最优的检查间隔和道具更换策略是解决这个问题的关键。为此我们分别建立了三个模型来解决这个问题。
针对问题一：该问题属于优化问题中的数理统计问题。通过对所给数据进行统计分析得知，在刀具发生故障时零件的完成个数符合正态分布。因此我们建立了连续性随机模型，通过MATLAB编程求解出最终的结果为
换刀周期（个）
检查周期（个）
平均费用（元）
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263
2.3550
针对问题二：该问题间建立的也是随机优化模型。与问题一不同的是工序正常时，会产生不合格产品，工序不正常时会产生合格产品。因此工序正常时增加了因误检停机的费用，工序故障时增加了因误检而产生的次品损失费用。通过MATLAB编程求解出最终的结果为工序检查间隔为
换刀周期（个）
检查周期（个）
平均费用（元）
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75
3.1831
针对问题三：该问题是在问题二的模型基础上将检查方式近一步优化。我们在问题三中运用了连续检查法，每次连续检查两个产品，这样就会降低误判的概率，其他的条件不变，最终建立了以平均损失期望为目标函数的随机优化模型。利用MATLAB编程求解出最后的结果为
换刀周期（个）
检查周期（个）
平均费用（元）
521
58
3.0009

关键词：数理统计 正态分布 随机优化模型

1.问题重述
1.1问题背景
自动化机床行业是国际公认的基本装备制造业，是国民经济的脊柱产业。而其中数控技术的应用不但给传统制造业带来了革命性的变化使制造业成为工业化的象征，而且随着数控技术的不断发展和应用领域的扩大。国内机床企业大力实施技术创新，在产品结构调整上取得了较大进展。为适应市场需求变化，许多机床企业压缩了低档、普通产品生产，加快经济型数控机床升级换代步伐，着力发展中高档数控机床及生产线等。在工业生产中，自动化车床刀具的检测与磨损是比较常检见的问题，如何测何时更换刀具将直接影响生产成本。
1.2问题的相关信息
一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占90%，其它故障仅占10%。工序出现故障是完全随机的，假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。
现积累有150次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数见表。现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。
150次刀具故障记录（完成的零件数）
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已知生产工序的费用参数如下：
故障时产生的零件损失费用f=300元/件；
进行检查的费用t=20元/次；
发现故障进行调节使恢复正常的平均费用d=3000元/次（包括刀具费）；
未发现故障时更换一把新刀具的费用k=1200元/次。
1.3所要解决的问题
问题一：假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品，试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换+策略。
问题二：如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有1%为不合格品；而工序故障时产出的零件有25%为合格品，75%为不合格品。工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次。对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略
问题三：在问题二的情况，可否改进检查方式获得更高的效益。
2.问题假设与符号说明
2.1问题假设
假设一：其他故障的概率同刀具故障的概率相互独立；
假设二：假定所有的检查都为等间隔检查；
假设三：工序的检查和换刀时间忽略不记；
假设四：每次检查都检查本周期内的全部产品。
2.2符号说明

每个零件损失费用的期望

一个周期内损失费用期望总和

生产合格零件的期望值

换刀前不出现故障的损失费用期望

换刀前出现故障的损失费用期望

换刀前不出现故障的损失费用

换刀前出现故障的损失费用

第种情况发生的概率

刀具损坏故障的概率密度函数

换刀前不出现故障生产的合格产品的期望

换刀前不出现故障生产的合格产品的期望

换刀前第种情况生产的合格产品的件数

每生产个产品检查一次

换刀前出现故障是生产的零件数

每生产个零件换一次刀，即换刀周期

故障时产生的零件损失费用

进行检查的费用

发现故障，进行调节使恢复正常的平均费用

未发现故障时，更新一把刀的费用

刀具寿命的概率密度函数

刀具寿命的分布函数

误检停机费用
3.问题分析
本文主要研究的是自动化车床生产工序中刀具的检验与更换问题。题中给出了150次刀具的故障记录以及所需的一些生产工序的费用参数。通过这些已知条件我们来建立数学模型来求解题目中的三个问题。
问题一的分析：问题一所要解决的是在工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品的条件下，设计出效益最好的检查周期和换刀周期策略的问题。分析得刀具故障符合正态分布，因此我们建立了一个连续性随机模型。问题一分换刀前工序正常和换刀前工序故障这两种情况。分别求出两种情况下的一个周期内的损失费用总和和生产合格零件的期望值，在求和所出每个零件的损失费用。然后通过MATLAB编程求解出每个零件的损失费用最小的情况下检查周期和换刀周期策略。
问题二的分析：问题二所要解决的是在无论工序正常还是故障时，都会产生合格品和不合格品的条件下，设计出效益最好的检查周期和换刀周期策略的问题。问题一样，建立随机优化模型。由题目可知，在工序正常时的不合格品有1%，而工序故障时的合格品有25%，所以在工序正常时会增加因误检停机的损失费用，在工序故障时也会产生误判，从而会增加次品损失费用。问题二在分析时同样分为换刀前工序正常和换刀前工序故障这两种情况。分别求出在问题二条件下的一个换刀周期内总的损失费用和总的生产合格零件的期望值，由此来求出目标函数每个零件的平均最小损失费用。然后就可通过编程求解出检查周期和换刀周期的最优方案。
问题三的分析：问题三所要解决的问题是在问题二所建立的优化模型的基础上近一步在检查方式上进行改进优化。在这里我们建立了一个新的检查方法,即组合检查法。先以两个零件为一个组合，如果两个零件均为合格，则认为是没有故障的；如果两个零件均为不合格品，则认为是有故障的；如果两个零件中有一个是合格的一个是不合格的，在这种情况下我们再将下一个零件纳入此组合内，看第三个零件是否合格，如第三个零件合格，这认为是没有故障的，如第三个为不合格则认为是有故障的。这样就可以算出误检的概率。在此检查法的基础上来建立以每个零件的平均最小损失费用为目标函数的数学模型。然后通过MATLAB编程求解出近一步优化后的检查间隔和道具更换周期。

4.数据分析
通过对150次刀具故障的记录， matlab软件处理数据可得：
图一

由于在自动化车床连续加工零件的过程中，工序故障发生是完全随机的。而故障出现时该刀具完成的零件数如上表。我们在MATLAB中，用normplot命令画出样本图，在画出的样本图中，如果样本值都分布在一条直线上，则表明样本来自正态分布，否则是非正态分布。
数据用normplot中画出（源程序见附录一）得到的样本图4-1

由图一可以假设刀具分布函数使服从正态分布的，由图二可以看出点绝大多数在一条直线上，进而可以验证刀具故障分布函数服从正态分布。根据记录数据可以求出，则有发现这150次刀具故障时完成的零件数近似服从的正态分布。
5．问题一模型的建立与求解
在问题一中我们假定工序故障时产出的零件均是不合格品，正常时产出的零件均为合格品，在此基础上来设计出效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。为此我们需要设定一个评价指标，在此我们以在一个周期内的每个零件损失费用的期望值作为评价指标。
5.1模型一的建立
目标函数的确定：
确立的评价指标为一个换刀周期内的损失费用期望总和与生产的合格零件的期望值之比，而每个零件损失费用的期望是越小，则效益越好，即：

损失费用的期望总和为换刀前不出现故障的损失费用期望和
与换刀前出现故障的损失费用期望和之和：

同理得到换刀前生产合格零件的期望值的表达式为：

第一种情况：
换刀前不出现故障，损失费用为检查费和换刀费之和：

其中为一个换刀周期内的检查次数；
由题目所给的数据分析知：故障时生产的零件数近似服从的正态分布。
故刀具寿命的概率密度函数可表示为：

则第一种情况下的事件发生的概率为：

则换刀前不出现故障的损失费用期望为：

第二种情况：
即换刀前出现故障，设出现故障之前已经生产了个零件，则损失费为检查费、故障维修费和零件损失费三者之和 ，其表达式为：

第二种情况下发生的概率也就是第个零件恰好为坏的概率，即

则换刀前出现故障的损失费用期望为：

综上，一个周期内的损失费用的期望总和为：

同理可得生产合格零件的期望值为：

综上所述，问题一的最优模型为：

5.2模型一的求解
通过对问题一在工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品的条件下进行分析建模，然后通过MATLAB进行编程（程序见附录二）求解出最终的结果为：
换刀周期（个）
检查周期（个）
平均费用（元）
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263
2.3550
5.3问题一的结果分析
由题意可知，在工序正常时生产出来的零件均为合格品，而工序故障时生产的产品均为不合格品。在问题一中我们分两种来计算的一个周期内的损失费用和一个周期内的合格零件数，再通过MATLAB编程求解出最优解目标函数每个零件的最小平均损失费用为2.3550元每个。此时零件的检查间隔为263件，刀具的额定寿命为525，在数据分析中得出刀具的寿命近似服从的正态分布，而我们求解出的刀具的额定寿命521与刀具寿命的平均值581.18相略小一点，比较符合题目的要求。
6.问题二模型的建立与求解
问题二中模型的评价指标和问题一相同，都是一个周期内的每个零件的损失费用，同样分情况来讨论:
6.1模型二的建立
目标函数的确立：
评价指标每个零件的平均损失费用越小，效益越高

第一种情况：
即工序在换刀前不产生故障时，换刀周期内生产的零件为 个，由题知，这些零件的不合格率为1%，我们认为误检的概率是1%，此时的损失费用由以下5个方面组成：
1) 换刀费用：k
2) 检查费用：
3) 误检停机费用：
4) 零件损失费用：
综上可得损失费用为：

换刀前不发生故障的概率和问题一中的概率相同：

所以，在换刀前不发生故障的一个换刀周期内的损失费用期望为：

第二种情况：
即工序在换刀周期内发生故障，假设第次检查出故障，此时已经生产的零件个数为，前次检查都是正常的，故障发生前生产的零件个数为，发生故障后直到检查出来这个期间生产的零件个数为。
由题知，此情况下，在正常工作时的次品率为1%，故障时的正品率为25%，故障发生之前生发生误判的概率还是1%，因此损失费用由以下几个方面构成：
1) 检查费用：
2) 发现故障调节的费用：
3) 误检停机的费用：
4) 故障发生前零件损失费用：
5) 故障后零件的损失费用：
综上所述，可以得到在换刀周期内有故障发生的情况下的损失费用为:

换刀前发生故障的概率和第一问中相同：

则换刀前出现故障的损失费用期望为：

综上，一个周期内的损失费用的期望总和为：

同理可得生产合格零件的期望值为：

综上所述，问题二的最优模型为：

6.2模型二的求解
通过对问题二在无论工序正常或是故障时，都会生产出合格品与不合格品的条件下建立以每个零件的平均损失费用的期望值为目标函数的数学模型，通过MATLAB编程求解出最终的结果为：

换刀周期（个）
检查周期（个）
平均费用（元）
524
75
3.1831

6.3问题二的结果分析
由模型二的求解可以看出换刀周期为524，检查周期为75，平均费用为3.1831。与模型一对比，不论工序故障与否，都会产生合格零件的前提下，其平均费用会比理想条件下，即供需正常时只生产合格产品，工序故障时只生产不合格产品的品均费用高。但这更符合实际的情况。
7.问题三模型的建立与求解
根据题目的要求，问题三是在问题二的基础上改进检查方法使获得的效率更高，由此我们采用连续检查的方法来降低误检的概率。
组合检查法如下：连续检查两个零件，如果这两个零件是合格的，则认没有故障；如果这两个是不合格的，则认为有故障；如果一个是合格一个不合格，则再检查第三个零件，如果第三个零件是合格的，就认为工序没有故障，如果第三个不合格，就认为有故障。
根据上面的检查法，我们分别计算工序正常时误检的概率、工序故障时误检的概率、检查费用的期望E
(1)误检发生在正常工序阶段
情况2的概率：
情况3的概率：
工序正常时误检的概率:
(2)误检发生在故障工序阶段：
情况1的概率：
情况2的概率：
工序故障时误检的概率：
7.1模型三的建立
目标函数的确立：
评价指标每个零件的平均损失费用越小，效益越高

第一种情况：
换刀前不产生工序故障，在换刀周期内生产的零件个数为，由题知，这些零件的不合格率为1%，则认为误检的概率是1%，因此零件的损失费由以下5个方面组成：
1) 换刀费用：k
2) 检查费用：
3) 误检停机费用：
4) 零件损失费用：
综上可得损失费用为：

换刀前不发生故障的概率和问题一中的概率相同：

所以，在换刀周期内不发生故障的损失费用的期望值为：

第二种情况：
即工序在换刀前产生故障，假设第次检查出故障，此时已经生产的零件个数为，前次检查都是正常的，故障发生前生产的零件个数为，发生故障后到检查出故障时生产的零件个数为。
由题知，此情况下，在正常工作时的次品率为1%，故障时的正品率为25%，因此损失费用由以下几个方面构成：
1) 检查费用：
2) 发现故障调节的费用：
3) 误检停机的费用：
4) 故障发生前零件损失费用：
5) 故障后零件的损失费用：
综上所述，可以得到在换刀周期内有故障发生的情况下的损失费用为:

换刀前发生故障的概率和第一问中相同：

则换刀前出现故障的损失费用期望为：

一个换刀周期内的损失费用的期望值为：

生产合格零件的期望值为：

综上所述，问题三的最优模型为：

7.2模型的求解
通过对问题三在无论工序正常或是故障时，都会生产出合格品与不合格品的条件下建立以每个零件的平均损失费用的期望值为目标函数的数学模型，通过MATLAB编程求解出最终的结果为：

换刀周期（个）
检查周期（个）
平均费用（元）
521
58
3.0009
7.3问题三的结果分析
由模型三的求解可以看出换刀周期为521，检查周期为58，平均费用为3.0009。与模型二对比，误判的概率很大程度上降低了，从而减小了误损失费用了，提高了效益。
8.模型的评价、改进及推广
8.1模型评价
优点：(1)考虑了10%的非刀具故障，减少了非刀具故障对检查间隔和换刀间隔的影响，使结果更优。
(2)对故障（刀具、费刀具）发生的概率进行了讨论，建立了基于机理分析的概率模型，并且利用“费用期望”的概念综合考虑了各种情况。
(3)模型三采用连续组合检查法大大减少了工序正常时误检的概率和工序故障时误检的概率。则减少了工序正常时误检停机产生的费用和工序故障而误检正常造成的次品损失费用。
缺点：（1）模型均采用等间隔检查法，实际生产中刀具在开始的一段时间内发生故障的概率较小。
（2）模型二和模型三在误判问题上处理不是很全面，可能遗漏一些情况，还有在误判概率上取值可能不是很科学。
8.2模型改进
在实际情况下，在工序过程中，各个时间发生故障的概率是不同的，在工序开始阶段，工序发生故障的概率很小，随着生产的进行，机床会出现磨损老化等情况，工序发生故障的概率就会增大。我们结合实际对其进行改进，可以将整个过程分为稳定阶段和不稳定阶段，从而采用非等距检查方法。具体操作时因在不同的时间点采用不同的检查间隔，使各个检查点之间发生故障的概率相等。若每个周期内需要检查m次，则我们根据概率密度区线把无故障换刀之前的面积分成m份,===…=,即可求出每个检查点的位置。每两个检查点之间发生故障的概率就相等，从而大大减少检查费用。
8.3模型的推广
我们建的模型不仅可以用于单道工序加工单一零件的情况，而且可以扩展到多道工序加工多个零件的复杂车床管理系统，还可以用于其他产业的连续生产。
参考文献
[1]盛骤，概率论与数理统计，北京：高等教育出版社，2005.1
[2]朱道元等编著,数学建模案例精选，北京：科学出版社，2003
[3]刘忠敏等, 车床自动化管理问题的进一步讨论，数学的实践与认识，第30卷第2期
附录
附录一:
数据分析中的程序：
clear all
clc
x1=[548 571 578 582 599 568 568 578 582 517];
x2=[603 594 547 596 598 595 608 589 569 579];
x3=[533 591 584 570 569 560 581 590 575 572];
x4=[581 579 563 608 591 608 572 560 598 583];
x5=[567 580 542 604 562 568 609 564 574 572];
x6=[614 584 560 560 617 621 615 557 578 578];
x7=[588 571 562 573 604 629 587 577 596 572];
x8=[619 604 557 569 609 590 590 548 587 596];
x9=[569 562 578 561 581 588 609 586 571 615];
x10=[599 587 595 572 599 587 594 561 613 591];
x11=[544 591 607 595 610 608 564 536 618 590];
x12=[582 574 551 586 555 565 578 597 590 555];
x13=[612 583 619 558 566 567 580 562 563 534];
x14=[565 587 578 579 580 585 572 568 592 574];
x15=[587 563 579 597 564 585 577 580 575 641];
x=[x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15];
hist(x,10);
histfit(x,10);
figure(2)
normplot(x)
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x)%muhat,sigmahat,muci,sigmaci分别为均值，标准差，均值的0.95置信区间为【】标准差的0.95置信区间为【】 [h,sig,ci]=ttest(x,581.1800)

附录二：
%第一问最终程序
clear,clc
min=inf;
f=300;t=20;d=3000;k=1200;
for m=500:600 %m是换刀周期
for n=200:300 %n是检查周期
p2=0; p=0;
p4=normcdf(m,581.18,20.5129); %p4表示道具发生故障的概率
p1=1-p4./0.9; %p1表示换刀前不发生故障的概率
a=[1:m-1];
p2=sum( (f.*(n.*(floor(a./n)+1)-a)+d+t*(floor(a./n)+1)).*normpdf(a+1,581.18,20.5129))./0.9; %p2表示换刀前发生故障的费用期望
i=[1:m-1];
p=sum(i.*normpdf(i,581.18,20.5129)); %p表示换刀前发生故障产生合格产品的期望
minp=((k+floor(m/n)*t)*p1+p2)/(m*p1+p); %表示平均费用的期望
if minp<min
min=minp;zyb=m;zya=n;
end
end
end
min
zyb
zya
附录三:
问题二的程序：
clear,clc
min=inf;
f=300;t=20;d=3000;k=1200; h=1500;
for m=500:600 %换刀周期
for n=20:100 %检查周期
p2=0; p=0;
p4=normcdf(m,581.18,20.5129); %刀具发生故障的概率
p1=1-p4./0.9; %换刀前不发生故障的概率
a=[1:m-1];
p2=sum( (t*(floor(a/n)+1)+d+floor(a/n)*h*0.01+a*f*0.01+((floor(a/n)+1)*n-a)*f*0.75).*normpdf(a+1,581.18,20.5129))./0.9;
%换刀前发生故障使得费用期望
i=[1:m-1];
p=sum(i.*normpdf(i,581.18,20.5129)./0.9).*0.99; %换刀前发生故障的故障发生前的合格产品期望
p3=sum((n*(floor(i/n)+1)-i).*normpdf(i,581.18,20.5129)./0.9)*0.25; %换刀前发生故障的故障发生后的合格产品的期望
minp=((k+floor(m/n)*t+h*floor(m/n)*0.01+n*f*0.01)*p1+p2)/(m*p1*0.99+p+p3); %平均费用的期望
if minp<min
min=minp;zyb=m;zya=n;
end
end
end
min
zyb
zya
附录四：
问题三的程序：
clear,clc
min=inf;
f=300;t=20;d=3000;k=1200; h=1500;
for m=500:600 %换刀周期
for n=20:100 %检查周期
p2=0; p=0;
p4=normcdf(m,581.18,20.5129); %刀具发生故障的概率
p1=1-p4./0.9; %换刀前不发生故障的概率
a=[1:m-1];
p2=sum( (t*(floor(a/n)+1)+d+floor(a/n)*h*0.000298+a*f*0.01+((floor(a/n)+1)*n-a)*f*0.75).*normpdf(a+1,581.18,20.5129))./0.9;
%换刀前发生故障使得费用期望
i=[1:m-1];
p=sum(i.*normpdf(i,581.18,20.5129)./0.9).*0.99; %换刀前发生故障的故障发生前的合格产品期望
p3=sum((n*(floor(i/n)+1)-i).*normpdf(i,581.18,20.5129)./0.9)*0.25; %换刀前发生故障的故障发生后的合格产品的期望
minp=((k+floor(m/n)*t+h*floor(m/n)*0.000298+n*f*0.01)*p1+p2)/(m*p1*0.99+p+p3); %平均费用的期望
if minp<min
min=minp;zyb=m;zya=n;
end
end
end
min
zyb
zya