刘徽割圆术.ppt

1.（一）刘徽（一）刘徽简简介介（二）（二）“割割圆术圆术”的含的含义义（三）刘徽割（三）刘徽割圆术圆术的主要内容和根据的主要内容和根据（四）刘徽（四）刘徽“割割圆术圆术”的意的意义义2.（一）刘徽（一）刘徽简简介介刘徽（刘徽（约约公元公元225年年295年），年），汉汉族，山族，山东临东临淄人，魏晋期淄人，魏晋期间伟间伟大的数学家，中国古典大的数学家，中国古典数学数学理理论论的奠基者之一。是中国数学史上一个的奠基者之一。是中国数学史上一个非常非常伟伟大的数学家，他的杰作九章算大的数学家，他的杰作九章算术术注注和海和海岛岛算算经经，是中国最宝，是中国最宝贵贵的数学的数学遗产遗产。刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张张直直观观他是中国最早明确主他是中国最早明确主张张用用逻辑逻辑推理的方推理的方式来式来论证论证数学命数学命题题的人刘徽的一生是的人刘徽的一生是为为数学数学刻苦探求的一生他刻苦探求的一生他虽虽然地位低下，但人格高然地位低下，但人格高尚他不是沽名尚他不是沽名钓钓誉的庸人，而是学而不誉的庸人，而是学而不厌厌的的伟伟人，他人，他给给我我们们中中华华民族留下了宝民族留下了宝贵贵的的财财富。富。3.（二）（二）“割割圆术圆术”的含的含义义所所谓谓“割割圆术圆术”，是用，是用圆圆内接正多内接正多边边形的周形的周长长去无限逼近去无限逼近圆圆周并以此求取周并以此求取圆圆周率的方法。周率的方法。这这个方法，是刘徽在批判个方法，是刘徽在批判总结总结了数学史上各了数学史上各种旧的种旧的计计算方法之后，算方法之后，经过经过深思熟深思熟虑虑才才创创造造出来的一种出来的一种崭崭新的方法。新的方法。4.（三）刘徽（三）刘徽“割割圆术圆术”的主要内容的主要内容和根据和根据第一，第一，圆圆内接正六内接正六边边形每形每边边的的长长等于半径。等于半径。5.第二，作正十二第二，作正十二边边形，从勾股定理出形，从勾股定理出发发，求得正十二，求得正十二边边形的形的边长边长。根据勾股。根据勾股定理，从定理，从圆圆内接正内接正n边边形每形每边边的的长长，可以，可以求出求出圆圆内接正内接正2n边边形每形每边边的的长长。6.第三，从第三，从圆圆内接正内接正n边边形每形每边边的的长长，可以直接求出可以直接求出圆圆内接正内接正2n边边形面形面积积。如。如图图所示，四所示，四边边形形OADB的面的面积积等于半径等于半径OD和正和正n边边形形边长边长AB乘乘积积的一半。的一半。7.第四，第四，圆圆面面积积S满满足不等式足不等式S2nSS2n（S2nSn）。）。如如图图所示，四所示，四边边形形OADB的面的面积积和和 OAB的面的面积积的差等于以的差等于以AD和和DB为为弦的两个直角三角弦的两个直角三角形面形面积积，而，而OADB的面的面积积再加上再加上这样这样两个直角两个直角三角形的面三角形的面积积，就有一，就有一部分超出部分超出圆圆周了。周了。8.第五，刘徽指出：第五，刘徽指出：“割之弥割之弥细细，所失，所失弥少。割之又割，以至于不可割，弥少。割之又割，以至于不可割，则则与与圆圆周合体而无所失矣。周合体而无所失矣。”（九章算（九章算术术方田章方田章圆圆田田术术刘徽注）刘徽注）这这就是就是说说，圆圆内内接正多接正多边边形的形的边边数无限增加的数无限增加的时时候，它候，它的周的周长长的极限是的极限是圆圆周周长长，它的面，它的面积积的极的极限是限是圆圆面面积积。9.刘徽根据割刘徽根据割圆术圆术从从圆圆内接正六内接正六边边形形算起，算起，边边数逐数逐渐渐加倍，相加倍，相继继算出正十二算出正十二边边形，正二十四形，正二十四边边形，形，以至于正九十六以至于正九十六边边形每形每边边的的长长，并且求出正一百九十二，并且求出正一百九十二边边形的面形的面积积。这这相当于求得相当于求得=3.141024。他在。他在实际计实际计算中，采用了算中，采用了=157/50=3.14，不不仅这样仅这样，刘徽，刘徽还继续还继续求到求到圆圆内内接正接正三千零七十二三千零七十二边边形的面形的面积积，验证验证了前面的了前面的结结果，并且得出更精确的果，并且得出更精确的圆圆周率周率值值=3927/1250=3.141610.（四）（四）刘徽刘徽“割割圆术圆术”的意的意义义刘徽的割刘徽的割圆术圆术，为圆为圆周率研究工作奠定了周率研究工作奠定了坚实坚实可靠的理可靠的理论论基基础础，在数学史上占有十分重，在数学史上占有十分重要的地位。他所得到的要的地位。他所得到的结结果在当果在当时时世界上也是世界上也是很先很先进进的。刘徽的的。刘徽的计计算方法只用算方法只用圆圆内接多内接多边边形形面面积积，而无，而无须须外切形面外切形面积积，这这比古希腊数学家比古希腊数学家阿基米德（前阿基米德（前287前前212）用）用圆圆内接和外切正内接和外切正多多边边形形计计算，在程序上要算，在程序上要简简便得多，可以收到便得多，可以收到事半功倍的效果。同事半功倍的效果。同时时，为为解决解决圆圆周率周率问题问题，刘徽所运用的初步的极限概念和直曲刘徽所运用的初步的极限概念和直曲转转化思想，化思想，这这在一千五百年前的古代，也是非常在一千五百年前的古代，也是非常难难能可能可贵贵的。的。11.12.祖冲之（公元祖冲之（公元年）年）字文字文远远，范阳郡遒，范阳郡遒县县（今河北省保定市（今河北省保定市涞涞水水县县）人，是我国南北朝）人，是我国南北朝时时代一位成代一位成绩绩卓卓著的科学家。他不著的科学家。他不仅仅在天文、数学等方面在天文、数学等方面有有过闻过闻名世界的名世界的贡贡献，而且在机械制造等献，而且在机械制造等方面也有方面也有许许多多发发明明创创造。他的造。他的发发明明为为促促进进社会生社会生产产的的发发展，建立了不可磨展，建立了不可磨灭灭的功的功绩绩，受到了中国人民和世界人民的尊敬。受到了中国人民和世界人民的尊敬。（一）祖冲之（一）祖冲之简简介介13.指平面上指平面上圆圆的周的周长长与直径之比。与直径之比。早在一千四百多年以前，我国古代著早在一千四百多年以前，我国古代著名的数学家祖冲之，就精密地名的数学家祖冲之，就精密地计计算出算出圆圆的周的周长长是它直径的是它直径的3.1415926-3.1415926-3.14159273.1415927倍之倍之间间。这这是当是当时时世界上算世界上算得最精确的数得最精确的数值值-圆圆周率。周率。（二）（二）圆圆周率的定周率的定义义14.“圆圆周率周率”是是说说一个一个圆圆的周的周长长同它的直径有一个同它的直径有一个固定的比例。我固定的比例。我们们的祖先很早就有的祖先很早就有“径一周三径一周三”的的说说法，就是法，就是说说，假如一个，假如一个圆圆的直径是的直径是1尺，那它的周尺，那它的周长长就是就是3尺。后来，人尺。后来，人们发现这们发现这个个说说法并不准确。法并不准确。东汉东汉的大科学家的大科学家张张衡衡认为应该认为应该是是3.162。三国到西。三国到西晋晋时时期的数学家刘徽期的数学家刘徽经过计经过计算，求出了算，求出了3.14159的的圆圆周率，周率，这这在当在当时时是最先是最先进进的，但是刘徽只算到的，但是刘徽只算到这这里就没有里就没有继续继续算。祖冲打算采用刘徽算。祖冲打算采用刘徽“割割圆术圆术”（在（在圆圆内做正内做正6边边形，形，6边边形的周形的周长刚长刚好是直径的好是直径的3倍，倍，然后再做然后再做12边边形、形、24边边形形边边数越多，它的周数越多，它的周长长就和就和圆圆的周的周长长越接近）的方法算下去。越接近）的方法算下去。（三）（三）圆圆周率的周率的发发展展15.在当在当时时的情况下，不但没有的情况下，不但没有计计算机，也没有笔算，只能用算机，也没有笔算，只能用长长4寸，方寸，方3寸的小竹棍来寸的小竹棍来计计算。工作是算。工作是艰艰巨的，巨的，这时这时祖冲之的儿子也祖冲之的儿子也能帮助他了。能帮助他了。父子父子俩俩算了一天又一天，眼睛熬算了一天又一天，眼睛熬红红了，人也了，人也渐渐渐渐瘦了下来，瘦了下来，可大可大圆圆里的里的边边形却越画越多，形却越画越多，3072边边、6144边边边边数越多，数越多，边边长长越短。父子越短。父子俩俩蹲在地上，一个蹲在地上，一个认认真地画，一个真地画，一个细细心地算，心地算，谁谁也也不敢走神。不敢走神。最后，他最后，他们们在那个大在那个大圆圆里画出了里画出了24576边边形，并形，并计计算出它的周算出它的周长长是是3.1415926。俩俩人看看人看看摆摆在地上密密麻麻的小木棍，再看看画在地上的大在地上密密麻麻的小木棍，再看看画在地上的大圆圆里里的的图图形，高形，高兴兴地笑了。地笑了。后来，祖冲之推算出，后来，祖冲之推算出，49152边边形的周形的周长长不会超不会超过过3.1415927。所以，他得出所以，他得出结论结论，圆圆周率是在周率是在3.1415926和和3.1415927这这两个数两个数之之间间。祖冲之是世界上第一个祖冲之是世界上第一个计计算算圆圆周率精确到小数点后周率精确到小数点后7位的人，位的人，比欧洲人早了比欧洲人早了1000多年，多年，这这是多么了不起的是多么了不起的贡贡献啊！献啊！16.祖率（密率）是祖率（密率）是圆圆周率十分精确的近似周率十分精确的近似值值，且又很好，且又很好记记，只要将，只要将113355一分一分为为二，便是它的分母和分子了。二，便是它的分母和分子了。张张景中院士在数学家的眼光一景中院士在数学家的眼光一书书中指出：它与中指出：它与精精确确值值的的误误差不超差不超过过0.000000267。在数学家看来，好的。在数学家看来，好的近似分数，既要精确，分母最好又不太大。近似分数，既要精确，分母最好又不太大。现现今数学今数学上己不上己不难证难证明，在所有分母不超明，在所有分母不超过过16500的分数中，密的分数中，密率率355/113是当之无愧的冠是当之无愧的冠军军。因因为为缀术缀术失失传传了，祖冲之究竟是用什么方法将了，祖冲之究竟是用什么方法将算算到小数点后第七位，又是怎到小数点后第七位，又是怎样样找到既精确又方便的密找到既精确又方便的密率的呢？率的呢？这这至今仍是困惑数学家的一个至今仍是困惑数学家的一个谜谜。17.祖冲之曾写祖冲之曾写过过一本数学著作一本数学著作缀术缀术，记录记录了他了他对圆对圆周率的研究和成果。但当周率的研究和成果。但当时时“学官莫能究其深学官莫能究其深奥，是故奥，是故废废而不理而不理”，以致后来失，以致后来失传传。很多人都知道用密率很多人都知道用密率355/113表示表示的近似的近似值值，是，是一一项项了不起的了不起的贡贡献。密率献。密率355113传传到了日本后，到了日本后，1913年日本数学史家三上一夫建年日本数学史家三上一夫建议议将祖冲之将祖冲之圆圆周周率的密率数率的密率数值值命名命名为为“祖率祖率”，得到一致，得到一致赞赞同。祖同。祖冲之冲之对圆对圆周率的求索，超周率的求索，超过过了世界水平整整了世界水平整整1000年！直到年！直到16世世纪纪德国人德国人V奥托和荷奥托和荷兰兰人人A安托尼安托尼斯才斯才发现发现了了圆圆周率的密率周率的密率355/113。但是但是“祖率祖率”的的妙妙处处，和，和给给今人留下的困惑，不少人却今人留下的困惑，不少人却说说不出来。不出来。18.（四）建（四）建议议将将3月月14日定日定为为祖冲之祖冲之纪纪念日念日美国麻省理工学院首先倡美国麻省理工学院首先倡议议将将3日日14日（寓意日（寓意314）定）定为为国国际际圆圆周率日周率日(NationalpDay)。1736年，瑞士数学家歐拉年，瑞士数学家歐拉(Euler，17071783)提倡以希腊字母提倡以希腊字母p(音：音：pi)来表示圓周率，来表示圓周率，p是圓周是圓周的希腊文的希腊文perijereia(英文英文为为periphery)的字頭。直到現在，的字頭。直到現在，p已已成成为为圓周率的圓周率的专专用符號。在用符號。在这这一天，学生一天，学生们们会彼此祝福会彼此祝福“圆圆周率日周率日快快乐乐！”用大家熟悉的生日歌旋律唱起用大家熟悉的生日歌旋律唱起happypidaytoyou！学院！学院众多众多对圆对圆周率有周率有兴兴趣的人聚在一起趣的人聚在一起讨论圆讨论圆周率周率问题问题，吃，吃馅饼馅饼(英文英文pie，与，与圆圆周率英文周率英文pi同音同音)以及其他各种以以及其他各种以圆圆周率周率为为主主题题的食物，的食物，举举行行圆圆周率背周率背诵诵比比赛赛。全球各地的一些著名大学的数学系，也在全球各地的一些著名大学的数学系，也在3月月14日日举举行行Party庆庆祝。祝。在圓周率日當天，加拿大滑在圓周率日當天，加拿大滑铁庐铁庐大学大学还还会以供應免費的餡餅来会以供應免費的餡餅来庆庆祝。祝。而而3月月14日恰好又是著名的物理学家日恰好又是著名的物理学家爱爱因斯坦因斯坦(AlbertEinstein，18791955)的生日。所以他的生日。所以他们还们还会会择时择时辰以辰以庆庆祝祝圆圆周率日：周率日：选择选择在下午在下午1時時59分开始分开始庆庆祝，它代表祝，它代表3.14159(准确至六位小数准确至六位小数)的圓周率近似的圓周率近似值值。19.20.