高等代数试卷二及答案.doc

<p>高等代数试卷二
一、 单项选择题（每小题2分，共10分）
【 &nbsp;】1、设为3次实系数多项式，则
A.至少有一个有理根 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;B. 至少有一个实根
C.存在一对非实共轭复根 &nbsp; &nbsp; &nbsp;D. 有三个实根.
【 &nbsp;】2、设为任意两个级方阵，则如下等式成立的是
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;A. &nbsp; &nbsp;B.
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;C. &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D.
【 &nbsp;】3、设向量组线性无关，则向量组线性无关的充分必要条件为
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; A. &nbsp; B. &nbsp; C. &nbsp; D.
【 &nbsp;】4.一个级方阵经过若干次初等变换之后变为, 则一定有
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; A. &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;B. 与同解 &nbsp;
C. &nbsp;秩秩 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;D.
【 &nbsp;】5、设矩阵和分别是和的矩阵，秩，秩，则秩是
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; A. &nbsp;1 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; B. &nbsp;2 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;C. &nbsp;3 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;D. 4
二、填空题（每小题2分，共20分）
1．多项式没有重因式的充要条件是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; .
2 &nbsp;.若,则 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;.
3. 设，则 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;.
4. 行列式的代数余子式之和:为______________.
5.设3级方阵，其中均为3维行向量。若，则 &nbsp; &nbsp; .
6. 若矩阵A中有一个r级子式不为0, 则 r(A)= &nbsp; &nbsp; &nbsp; .
7.线性方程组 , 有解的充要条件是 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; .
8. 若向量组可由线性表示，且线性无关，则
r &nbsp;s.
9.设A为3级矩阵, 且, 则 = &nbsp; &nbsp;
10. 设, &nbsp;则= &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;.
三、判断题（每小题2分，共10分）
【 &nbsp;】1、若不可约多项式p(x)是的2重因式,则p(x)是的3重因式.
【 &nbsp;】2、设级方阵为可逆矩阵，则对任意的维向量，线性方程组都有解。
【 &nbsp;】3、若有方阵满足，则
【 &nbsp;】4、初等矩阵的转置矩阵均为初等矩阵。
【 &nbsp;】5、设为阶方阵, 是经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则 当且仅当 .
四、计算题（每小题10分，共40分）
1.求为何值时方程组有解，并求出一般解

2. 若,求的有理根,进而写出在实数域上的标准分解式.

3、设3级方阵和满足，其中，求矩阵。

4、
五．证明题（第1小题12分，第2小题8分，共20分）
1． 设是n+2个互不相同的数，且

证明
2．设A为nn矩阵，证明：存在非零矩阵B使AB=0的充分必要条件为|A|=0.

高等代数试卷二答案
一、 单项选择题（每小题2分，共10分）
1、B 2、C &nbsp;3、A &nbsp;4、C &nbsp;5、B &nbsp;
二 &nbsp; 填空题（每小题2分，共20分）
1、 &nbsp; &nbsp; &nbsp; 2、1 &nbsp;3、 &nbsp;4、 &nbsp;5、2 &nbsp; 6、
7、 &nbsp; &nbsp;8、 &nbsp; &nbsp;9、 &nbsp; &nbsp; &nbsp;10、
三、 &nbsp;判断题（每小题2分，共10分）
1、× 2、√ &nbsp; 3、× &nbsp;4、√ &nbsp;5、√
四、计算题（每小题10分，共30分）
1 &nbsp;解： (1),
时有解; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; （5分）
其全部解为: (1,0,0,0)+k(-1,1,0,0)+t(-1,0,-4,5), 其中k,t为任意数. （10分）
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;个向量，可取为. &nbsp; &nbsp; &nbsp; （10分）
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
2、解.f(x)可能的有理根为,由综合除法知2为f(x)的单根, &nbsp; （5分）
且f(x)在实数域上的分解式为 : &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;（10分）
3. 解：由可得。经计算，因此，矩阵 可逆。所以，。 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; （5分）

所以，。 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; （10分）
4. 把第i行的倍加到第n+1行上,得 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;

&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;（10分）

五、证明题（第1小题12分, 第2小题8分，共20分）
1. 证明：把第1行的倍加到其它各行上,得
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; （8分）
,, &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;（12分）
2. 证明.有非零解当且仅当 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;（4分）又B的列向量均为的解向量, 故存在非零矩阵B使AB=0的充分必要条件为|A|=0. &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; （8分）</p>