关于图的Aα-谱半径及α-邻接能量的研究.pdf

第 卷第 期太原科技大学学报 年 月 文章编号：（）收稿日期：基金项目：国家自然科学基金（）；太原科技大学博士启动金项目（）作者简介：张卓琳（），女，硕士研究生，主要研究方向为代数图论；通信作者：张海霞副教授，：关于图的 谱半径及 邻接能量的研究张卓琳，张海霞，谢秀梅（太原科技大学 应用科学学院，太原 ；广灵一中，山西 大同 ）摘要：设 是有 个顶点 条边的简单图，对于任意实数 ，定义了图 的 邻接矩阵（）（）（）（），其中 （）和 （）分别是图 的度对角矩阵和邻接矩阵。（）的最大特征值，称为 的 谱半径，记为，的 邻接能量记为 （）将给出 的两个下界和图 的 邻接能量的上界及相应的极值图。关键词：邻接矩阵；谱半径；邻接能量；极值图中图分类号：文献标识码：本文只需考虑简单图。设（，）是简单连通图，其中，顶点集为 ，边集 ，设（），是图的度对角矩阵，其中 是 的顶点 的度，图 的邻接矩阵 （）（）是 阶（，）方阵，其中，当且仅当顶点 与 相邻，否则 邻接矩阵的谱，也称为图 的邻接谱，按照从大到小的顺序记为图的能量 （）是由 在文献 中给出的，其为图 的邻接矩阵 （）特征值的绝对值之和，即（）图的能量在化学中有十分广泛的应用，详情请参考文献 年，在文献 中提出了一种新的矩阵（），也称为图 的 邻接矩阵，其是度对角矩阵 （）和邻接矩阵 （）的线性组合，即（）（）（）（），其中 容易得到，（）（），（）（），（）（），（）（）（）（），其中 （）和 （）分别为图的拉普拉斯矩阵和无符号拉普拉斯矩阵。注意到（）是实对称矩阵，故而它的特征值都是实数，记为，且称为 邻接特征值。最大特征值，称为 谱半径。年，在文献 中首次给出了关于 谱半径的一些性质及上下界。之后，许多的学者对不同图的 谱半径的上下界及相应的极值图进行了研究，关于更多图的 谱半径的结果参考文献 年，和 在文献 中将图 的 邻接能量定义为（）特征值的平均偏差，即（）随后，等人在文献 中对图的 邻接能量 （）的上下界及相应的极值图进行了研究。本文中，首先得到了图 的 谱半径 的下界；此外，给出了图 的 邻接能量 （）的上界及相应的极值图。谱半径 的下界为了方便，在不引起混淆的情况下，简记（）为 本节给出了 谱半径的下界。首先，先给出以下几个引理。引理 设 是一个图且 ，），是 的最大特征值，如果 是连通图，则存在一个正特征向量 使得 引理 设 为实对称 矩阵，为 的特征值，其特征向量 的所有项全部为非负的，用（）表示 的第 行和，则：（）（）此外，如果 的行和不都相等且 的所有项都是正的，则上述不等式都是严格成立的。定理 设 是 阶连通图，是 的最大特征值且（）是矩阵 的第 行和。如果 （）是任意多项式，则 （）（）（）（）（）此外，如果 （）的行和不都相等，则上述不等式是严格成立的。证明由于 是连通图，所以 是不可约的。是非负矩阵，根据著名的 定理，有一个对应于 的特征向量 ，其所有项都是正的。由于 （）有 作为特征值 （）的特征向量，根据引理 可得出结论。定理 设 是有 个顶点，条边的连通图，且 和 分别是 的顶点的最大度和最小度，若 （）（）（）（）（），则：（）（）（）（）（）（）槡）若 是正则图，则等式成立。证明由于 （）（）（），则 的第 行和是（）（），为了方便，记 （），（），则：（）（）（），计算得，（），（）（，）（），（）（，）（），注意到：（，）（）（，）（），故而：（）（）（，）（）（）（，）（）（）（）（）（）（）（）（）（）成立，即：（）（）（）（）（）（）（），所以：（）（）（）（）（）由定理 ，得：（）（）（）（）（）求解这个一元二次不等式，如果：（）（）（）（）（），则：（）（）（）（）（）（）槡）成立。若 是正则图，容易得到定理中的等式成立。类似定理 ，证明时只需将（）中不等式（）（，）（）()（）（）变为：（）（，）（）()（）（）即可得到以下推论。太原科技大学学报 年推论 设 是有 个顶点，条边的连通图，且 和 分别是 的顶点的最大度和最小度，如果：（）（）（）（）（），则：（）（）（）（）（）（）槡若 是正则图，则等式成立。图的 邻接能量的上界在本节中，得到了 邻接能量 （）的一些上界，首先，给出以下几个引理。引理 设 是一个图且 ，），图 仅有两个不同的 邻接特征值当且仅当 是完全图。文献 中还引入了图 的 指数 （），即 （）引理 设 是有 个顶点和 条边的连通图，是（）的最大特征值，则：（）槡，等式成立当且仅当 是正则图。定理 设 是 （）阶的连通图，且 ，如果 （），则：（）（）槡 （）（）槡 ）槡（）其中（）()等式成立当且仅当 或 是连通正则图，且有三个不同的特征值，分别为：，（）()槡和 （）()槡证明设（）的特征值是，则：（）由柯西 施瓦兹不等式，得：（）槡（）（）槡（）所以：（）（）（槡）考虑函数（）（）（槡），容易得到 （）在 槡 槡上是严格递减的。因为 是连通图，所以 ，所以对于 ，很容易可以得到 此外，由 槡 （）槡 可知：，（）其中：（），（）槡 ，（）若（），则不等式（）成立。（）（，设 （），其中 如果 ，则 （），所以 （），且对于 （，（）是递减的。因此，（）（）由柯西 施瓦兹不等式得：（槡）槡 所以，()（）槡（槡）第 卷第 期 张卓琳，等：关于图的 谱半径及 邻接能量的研究所以，不等式（）成立。如果 ，则有 （），所以 易知，当 ，（）是递减的；当 ，（）是递增的。故而 （）（），即不等式（）成立。因此，如果 （），那么对于所有的 ，不等式（）成立。由引理 得：（）槡 （）所以，如果 （），那么对于所有的 ，有：槡 （）槡 槡因此，（）（）槡 ()，即：（）（）（槡）（）槡 （）（）槡 ()槡成立。假设（）中的等号成立，则上述所有不等式中的等号都成立。由引理 可知，（）中等号成立当且仅当 是正则图。另外，（）中等号成立当且仅当：（）槡 ()槡由于 是正则图，则：（）槡 如果 （），则可得对于所有的 ，有：槡 （）槡 所以 （）槡 ()槡因此，考虑以下两种情形：（）是连通正则图，且有两个不同的 邻接特征值，（）()槡由引理 可得，（）是连通正则图，且有三个不同的特征值，（）()槡和 （）()槡相反，很容易可以证明在上述两种情形，（）中等号成立。上述定理给出了 （）时，图 的 邻接能量 （）的上界，通过类似的证明方法，可以得到 （）时图 的 邻接能量 （）的上界。推论 设 是 （）阶的连通图，且 ，），如果 （），则：（）（）槡 （）（）槡 ()槡等式成立当且仅当 或 是连通正则图且有三个不同的特征值，分别为：，（）()槡和 （）()槡太原科技大学学报 年 结论本文首先得出图 的 谱半径的两个下界，另外，给出了图 的 邻接能量的上界并且刻画了达到上界时图的结构特征。参考文献：，：，：，（）：，（）：，（）：，：，（）：，：，：，：，（）：，（）：，（，；，）：，（）（）（）（），（）（），（），（），（）：，第 卷第 期 张卓琳，等：关于图的 谱半径及 邻接能量的研究