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数学复习第2讲：函数的解析式与表示方法
要求：
1.由所给函数表达式正确求出函数的定义域；
2.掌握求函数值域的几种常用方法；
3.能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式； 4.会进行函数三种表示方法的互化，培养学生思维的严密性、多样性.
知识点归纳
1.函数的三种表示法
（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.
（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.
（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.
2.求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；
（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；
（3）已知函数图像，求函数解析式；
（4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法；
（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．
题型讲解：
例1（1）已知，求；
（2）已知，求；
（3）已知是一次函数，且满足，求；
（4）已知满足，求．
解：（1）∵，
∴（或）．
（2）令（），
则，∴，∴．
（3）设，
则
，
∴，，∴．
（4） ①，
把①中的换成，得 ②，
①②得，∴．
注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法．
例1 已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是
A.a＞ B.－12＜a≤0 C.－12＜a＜0 D.a≤
解：由a=0或可得－12＜a≤0.
答案：B
例2 在△ABC中，BC=2，AB+AC=3，中线AD的长为y，AB的长为x，建立y与x的函数关系式，并指出其定义域.
解：设∠ADC＝θ，则∠ADB＝π－θ.
根据余弦定理得
12＋y2－2ycosθ＝（3－x）2， ①
12＋y2－2ycos（π－θ）＝x2. 　②
由①＋②整理得y＝.
其中 解得＜x＜.
∴函数的定义域为（，）.
评述：函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义的要求.
例3 若函数f（x）=的值域为［－1，5］，求实数a、c.
解：由y=f（x）=，得x2y－ax+cy－1=0.
当y=0时，ax=－1，∴a≠0.
当y≠0时，∵x∈R，∴Δ=a2－4y（cy－1）≥0.
∴4cy2－4y－a2≤0.
∵－1≤y≤5，∴－1、5是方程4cy2－4y－a2=0的两根.
∴∴
评述：求f（x）=（a12+a22≠0）的值域时，常利用函数的定义域非空这一隐含的条件，将函数转化为方程，利用Δ≥0转化为关于函数值的不等式.求解时，要注意二次项系数为字母时要讨论.
例4设定义在N上的函数f（x）满足
f（n）= 试求f（2002）的值.
解：∵2002＞2000，
∴f（2002）=f［f（2002－18）］=f［f（1984）］=f［1984+13］=f（1997）=1997+13=2010.
例5设f（x）=－2x+1，已知f（m）=，求f（－m）.
解法一：∵f（m）=，∴－2m+1=. ①
∴－2m=－1.
∴f（－m）=+2m+1=+2m+1
=+2m+1=+2m+1=－+ 2m+1
=－（－2m）+1=－（－1）+1=2－.
解法二：f（x）=－2x+1＝－2x+1
令，则
∴
∵
∴
例6某市有小灵通与全球通两种手机，小灵通手机的月租费为25元，接听电话不收费，打出电话一次在3 min以内收费0.2元，超过3 min的部分为每分钟收费0.1元，不足1 min按1 min计算（以下同）.全球通手机月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0.2元.若某人打出与接听次数一样多，每次接听与打出的时间在1 min以内、1到2 min以内、2到3 min以内、3到4 min以内的次数之比为4∶3∶1∶1.问，根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省？（注：m到m+1 min以内指含m min，而不含m+1 min）
解：设小灵通每月的费用为y1元，全球通的费用为y2元，分别在1 min以内、2 min以内、3 min以内、4 min以内的通话次数为4x、3x、x、x，则
y1=25+（4x+3x+x+x）×0.2+0.1x=25+1.9x，
y2=10+2（0.2×4x+0.4×3x+0.6x+0.8x）=10+6.8x.
令y1≥y2，即25+1.9x≥10+6.8x，
解得x≤≈3.06.
∴总次数为（4+3+1+1）×2×3.06=55.1.
故当他每月的通话次数小于等于55次时，应选择全球通，大于55次时应选择小灵通.
例7 某市收水费的方法是：水费=基本费+超额费+耗损费，若每月用水量不超过最低限量am3时，只付基本费8元及每户每月的定额耗损费c元，若用水量超过am3时，除了付同上的基本费和耗损费之外，超过部分每m3付b元的超额费，已知耗损费不超过5元。
该市一家庭今年一月、二月、三月份的用水量和支付费用如下表所示：
月份
用水量
水费
一月
9m3
9元
二月
15m3
19元
三月
22m3
33元
根据上面表格中的数据求a，b，c
解：设每月用水量为xm3,支付费用为y元，由收费方法知：

依题意：0<c£5,∴ 8+c£13
所以该用户第二、三月份的用水量均大于am3,
将x=15,x=22代入上面的第二个式子，得：
，∴ b=2,2a=c+19
若该用户一月份的用水量大于am3,
则9=8+2(9-a)+c,2a=c+17与2a=c+19矛盾，
∴ a³9
将y=9代入y=8+c得c=1,
∴ a=10, b=2, c=1
例8已知扇形的周长为10，求扇形半径r与面积S的函数关系式及此函数的定义域、值域.
解：设扇形的弧长为l，则l=10－2r，
∴S=lr=（5－r）r=－r2+5r.
由得＜r＜5.
∴S=－r2+5r的定义域为（，5）.
又S=－r2+5r=－（r－）2+且
r=∈（，π），
∴当r=时，S最大=.
又S＞－52+5×5=0，
∴S=－r2+5r，r∈（，5）的值域为（0，］.
小结：
1．求函数的解析式主要有待定系数法和换元法。如果已知函数解析式的构造时，可以用待定系数法求，如函数为二次函数，可设为y=ax2+bx+c(a≠0)。
2．根据实际问题求函数表达式，是应用函数知识解决实际问题的基础，在设定或选定变量去寻求等量关系并求得函数表达式后，还要注意函数定义域常受到实际问题本身的限制。
学生练习：
题组一：
1.若f（sinx）=2－cos2x，则f（cosx）等于
A.2－sin2x B.2+sin2x C.2－cos2x D.2+cos2x
解析：∵f（sinx）=2－（1－2sin2x）=1+2sin2x，
∴f（cosx）=f（sin－x）=1+2sin2（－x）=1+2cos2x=2+cos2x.
答案：D
2.已知f（）=，则f（x）的解析式可取为
A. B.－　　　C. D.－
解析：令=t，则x=，
∴f（t）=.∴f（x）=.
答案：C
3.函数f（x）=|x－1|的图象是

解析：转化为分段函数y=
答案：B
4.函数y=的定义域为______，值域为______.
答案：［－1，2］ ，［0，］
5.函数y=的值域是
A.［－1，1］ B.（－1，1］ C.［－1，1） D.（－1，1）
解法一：y==－1.
∵1+x2≥1，
∴0＜≤2.∴－1＜y≤1.
解法二：由y=，得x2=.
∵x2≥0，∴≥0，解得－1＜y≤1.
解法三：令x=tanθ（－＜θ＜），
则y==cos2θ
.∵－π＜2θ＜π，
∴－1＜cos2θ≤1，即－1＜y≤1.
答案：B
6.如果f［f（x）］=2x－1，则一次函数f（x）=___________.
解析：设f（x）=kx+b，则f［f（x）］=kf（x）+b=k（kx+b）+b=k2x+kb+b.
由于该函数与y=2x－1是同一个函数，
∴k2=2且kb+b=－1.∴k=±.
当k=时，b=1－；
当k=－时，b=1+.
答案：f（x）=x+1－或f（x）=－x+1+
7.已知f（x2－4）=lg，则f（x）的定义域为__________.
解析：设x2－4=t，则t≥－4，x2=4+t.
∴f（t）=lg.∴f（x）=lg（x≥－4）.
由得x＞4.
答案：（4，+∞）
8.用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并写出其定义域.
解：∵AB=2x，则=πx，AD=.
∴y=2x·+=－（+2）x2+lx.
由＞0，解得0＜x＜.
9.已知函数f（x）=则f（lg30－lg3）=________；不等式xf（x－1）＜10的解集是___________.
解析：f（lg30－lg3）=f（lg10）=f（1）=－2，
f（x－1）=

可是创业不是一朝一夕的事，在创业过程中会遇到很多令人难以想象的疑难杂症，对我们这些80年代出生的温室小花朵来说，更是难上加难。当x≥3时，x（x－3）＜10－2＜x＜5，故3≤x＜5.
当x＜3时，－2x＜10x＞－5，故－5＜x＜3.
总之x∈（－5，5）.
答案：－2 {x|－5＜x＜5}
10.定义“符号函数”f（x）=sgnx=

体现市民生活质量状况的指标---恩格尔系数，上海也从1995年的53.4%下降到了2003年的37.2%，虽然与恩格尔系数多在20%以下的发达国家相比仍有差距，但按照联合国粮农组织的划分，表明上海消费已开始进入富裕状态（联合国粮农组织曾依据恩格尔系数，将恩格尔系数在40%-50%定为小康水平的消费，20%-40%定为富裕状态的消费）。则不等式x+2＞（x－2）sgnx的解集是___________.

营销调研课题解析：分类讨论.
答案：（－，+∞）

月生活费 人数（频率） 百分比题组二：

8、你是如何得志DIY手工艺制品的？1．设f(2x+1)=x,f-1(x)是f(x)的反函数，则f-1(2)= 。

（五）DIY手工艺品的“价格弹性化”2．已知函数f(x)=,则f[f(5/2)]= 。
3．在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨价格为800元，购买2000吨，每吨为700元，一客户购买400吨，单价应该是(　　)

图1-3 大学生偏爱的手工艺品种类分布A.820元 B.840元 C.860元 D.880元
4．若函数y=f(x)存在反函数，则方程f(x)=c(c为常数）

就算你买手工艺品来送给朋友也是一份意义非凡的绝佳礼品哦。而这一份礼物于在工艺品店买的现成的礼品相比，就有价值意义，虽然它的成本比较低但它毕竟它是你花心血花时间去完成的。就像现在最流行的针织围巾，为何会如此深得人心，更有人称它为温暖牌绝大部分多是因为这个原因哦。而且还可以锻炼你的动手能力，不仅实用还有很大的装饰功用哦。A.有且只有一个实根 B.至少有一个实根

手工艺品，它运用不同的材料，通过不同的方式，经过自己亲手动手制作。看着自己亲自完成的作品时，感觉很不同哦。不论是01年的丝带编织风铃，02年的管织幸运星，03年的十字绣，04年的星座手链，还是今年风靡一时的针织围巾等这些手工艺品都是陪伴女生长大的象征。为此，这些多样化的作品制作对我们这一创业项目的今后的操作具有很大的启发作用。C.至多只有一个实根 D.没有实数根

300元以下□ 300～400元□ 400～500□ 500元以上□5．已知f(x-1/x)=x2+1/x2,则f(x)=
6．函数f(x)是一个偶函数，g(x)是一个奇函数，且f(x)+g(x)=1/(x-1),则f(x)= .
7．设函数f(x)=f(1/x)lgx+1,则f(10)的值是
8．已知f(x)=log2(x+1),当且仅当点(x,y)在y=f(x)的图象上运动时，点(x/2,y/3)在y=g(x)的图象上运动，求y=g(x)的解析式。
9．若函数f(x)=(ax+b)/(cx+d)与g(x)=(4x+3)/(2-x)的图象关于直线y=x对称，则a:b:c:d= .
10．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水填满，摇匀后再倒出一升，再用水填满，这样继续进行，如果倒k次(k³1)后共倒出纯酒精x升，倒第k+1次后共倒出纯酒精f(x)升，则函数f(x)的表达式为 。
参考答案：
1． 5 　　2． 3/2 3． C 4． C 5． x2+2。
6． f(x)=1/(x2-1) 7． 1 8． g(x)＝。
9． 2:(-3):1:4
10． f(x)=19x/20+1(倒k次后剩余酒精为20-x升）

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