第十三章(精编)轴对称知识点归纳并练习[].pdf

1/20第十三章第十三章 （精编）轴对称（精编）轴对称轴对称、线段垂直平分线、轴对称、线段垂直平分线、等腰三角形、等边三角形、等腰三角形、等边三角形轴对称图形轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴轴对称轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点两个图形关于直线对称也叫做轴对称图形轴对称的性质图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。轴对称与轴对称图形的区别轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称考点一、关于考点一、关于“轴对称图形轴对称图形”与与“轴对称轴对称”的认识的认识1.下列几何图形中，线段角直角三角形半圆，其中一定是轴对称图形的有【1 2 3 4】A1 个B2 个C3 个D4 个2图中，轴对称图形的个数是【】A4 个 B3 个 C2 个 D1 个2/20 3正 n 边形有_条对称轴，圆有_条对称轴线段的垂直平分线线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线垂直平分线（或线段的中垂线）（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合考点二、线段垂直平分线的性质考点二、线段垂直平分线的性质4如图，ABC 中，A90，BD 为ABC 平分线，DEBC，E 是 BC 的中点，求C 的度数。EDCBA5如图，ABC 中，ABAC，PBPC，连 AP 并延长交 BC 于 D，求证：AD 垂直平分 BCBDCAP6如图,DE 是ABC 中 AC 边的垂直平分线，若 BC8 厘米，AB10 厘米，则EBC 的周长为【】A.16 厘米 B.18 厘米 C.26 厘米 D.28 厘米3/20CEBDA7如图，BAC30，P 是BAC 平分线上一点，PM AC，PDAC，PD30,则AM MDPBCA 轴对称变换轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到轴对称变换的性质轴对称变换的性质（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分作一个图形关于某条直线的轴对称图形作一个图形关于某条直线的轴对称图形（1）作出一些关键点或特殊点的对称点（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形关于坐标轴对称关于坐标轴对称点 P（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标是（x，y）点 P（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标是（x，y）关于原点对称关于原点对称4/20点 P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（x，y）关于坐标轴夹角平分线对称关于坐标轴夹角平分线对称点 P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线 yx 对称的点的坐标是（y，x）点 P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线 y x 对称的点的坐标是（y，x）关于平行于坐标轴的直线对称关于平行于坐标轴的直线对称点 P（x，y）关于直线 xm 对称的点的坐标是（2mx，y）；点 P（x，y）关于直线 yn 对称的点的坐标是（x，2ny）；考点三、轴对称变换及用坐标表示轴对称考点三、轴对称变换及用坐标表示轴对称8 点 A（-3，2）关于 y 轴对称点的坐标是()A（-3，-2）B（3，2）C（-3，2）D（2，-3）9点 P（a，b）关于 x 轴的对称点为 P（1，-6），则 A、B 的值分别为()A1，6 B-1，-6 C-1，6 D1，-610.点 P 关于 x 轴对称点 P的坐标为（4，-5）,那么点 P 关于 y 轴对称点 P的坐标为：A(-4，5)B(4，-5)C(-4，-5)D(-5，-4)11.平面内点 A(-1，2)和点 B(-1，6)的对称轴是()A.x 轴 B.y 轴 C.直线 y=4 D.直线 x=-1 12.下列关于 直线 x=1 对称的点是()A点（0，-3）与点（-2，-3）B点（2，3）与点（-2，3）C 点（2，3）与点（0，3）D点（2，3）与点（2，-3)13.已知 A(-1，-2)和 B(1，3），将点 A 向_平移_个单位长度后得到的点与点B 关于 y 轴对称 14.如下图：若正方形 ABCD 关于 x 轴与 y 轴均成轴对称图形，点 A 的坐标为（2，1），标出点 B、C、D 的坐标分别为：B(，)，C(，)，D(，)。15.若 A（m-1，2n+3）与 B（n-1，2m+1）关于 y 轴对称，则 m=,n=16.已知 a0，那么点 P（-a-2，2-a）关于 x 轴对称的对应点 P在第 象限三、解答题17.已知点 M（1-a，2a+2），若点 M 关于 x 轴的对称点在第三象限，求 a 的取值范围？5/2018.已知点 A 的坐标为（2x+y-3，x-2y）。它关于 x 轴对称的点 A的坐标为（x+3，y-4），求点 A 关于 y 轴对称的点的坐标。19.如图，从ABC 到ABC是进行的平移变换还是轴对称变换，如果是轴对称变换，找出对称轴，如果是平移变换，是怎样平移的？20.如图，ABC，求顶点 A、B、C 关于 y 轴对称点的坐标并在坐标系中画出ABC 关于 x 轴对称的EDF。21.已知两点 A（1，2）B（3，1）（1）P 点在 X 轴上移动。求 PA+PB 的最小值。（2）Q 点在 Y 轴上移动。求 QA+QB 的最小值。（3）并求出 P.Q 的坐标。6/20考点四、作一个图形关于某条直线的轴对称图形考点四、作一个图形关于某条直线的轴对称图形（1）作出一些关键点或特殊点的对称点（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形22如图，RtABC，C90,B30,BC8，D 为 AB 中点，P 为 BC 上一动点，连接 AP、DP,则 APDP 的最小值是 23已知等边ABC，E 在 BC 的延长线上，CF 平分DCE，P 为射线 BC 上一点，Q 为 CF上一点，连接 AP、PQ.若 APPQ，求证APQ 是多少度作点 Q 关于 BE 的对称点 R，交 BE 于点 H，从而可得 QCHRCH,QCH=RCH=60 度。A,C,R 在同一直线上。易证 PCQPCR,从而QPH=RPH,PR=PQ,PQC=PRC.又由于 AP=PQ,从而 AP=PR,得到PRA=PARBAP+PAC=PQC+QPCBAP=QPC即有：BAP+B=QPC+APQ即APQ=607/20等腰三角形等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角等腰三角形的性质等腰三角形的性质性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）特别的：（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形考点五、等腰三角形的特征和识别考点五、等腰三角形的特征和识别24如图，ABC 中，ABAC8，D 在 BC 上，过 D 作 DE AB 交 AC 于 E，DFAC交 AB 于 F，则四边形 AFDE 的周长为_ 。FEDABC25如图，ABC 中，BD、CD 分别平分ABC 与ACB，EF 过 D 且 EFBC，若 AB 7，BC 8，AC 6，则AEF 周长为【】8/20A.15 B.14 C.13 D.18 26如图,点 B、D、F 在 AN 上,C、E 在 AM 上，且 ABBCCDEDEF,A20o,则FEB_度27已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40，则它的一个底角的度数是_28如图：在ABC 中，ABAC，ADBC，DEAB 于点 E,DFAC 于点 F。试说明DEDF。FCDBEA29如图,E 在ABC 的 AC 边的延长线上，D 点在 AB 边上，DE 交 BC 于点F，DFEF，BDCE.求证：ABC 是等腰三角形.30已知：如图，ABC 中，ACB 的平分线交 AB 于 E，EFBC 交 AC 于点 F，交ACB的外角平分线于点 G试判断EFC 的形状，并说明你的理由ABCDGFE9/20 等边三角形等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形等边三角形的性质等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于 60等边三角形的判定方法等边三角形的判定方法（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形考点六、等边三角形的特征和识别考点六、等边三角形的特征和识别31下列推理中，错误的是【】AABC，ABC 是等边三角形BABAC，且BC，ABC 是等边三角形CA60，B60，ABC 是等边三角形DABAC，B60，ABC 是等边三角形32如图，等边三角形 ABC 中，D 是 AC 的中点，E 为 BC 延长线上一点，且CECD，DMBC，垂足为 M。求证：M 是 BE 的中点。33已知ABC 是等边三角形，分别在 AC、BC 上取点 E、F，且 AECF，BE、AF交于点 D，则BDF _度10/2034如图，D、E、F 分别是等边ABC 各边上的点，且 ADBECF，则DEF的形状是【】A等边三角形 B腰和底边不相等的等腰三角形 C直角三角形 D不等边三角形EDCABF 角平分线的性质：角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等.ABCPMNO11/20角平分线的判定：角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.ABCPMNO三角形的角平分线的性质：三角形的角平分线的性质：三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等考点七、考点七、3030所对的直角边是斜边的一半所对的直角边是斜边的一半35如图，是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC、DE 垂直于横梁AC，AB8m，A30，则 DE 等于【】A1m B2m C3m D4mEDCBA36一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，已知 AOBO40cm，C0D030 cm，现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度AOB 刚好为 120，求桌面到地面的距离是多少？乙ODCBA37如图，ABAC，DEAB 于 E，DFAC 于 F，BAC120o，BC6，则 DEDF 38在中，的垂直平分线交于点 F，交于ABC120ABACA，ABBCAB甲12/20点如果，求的长E1EF BCFECBA39已知：在ABC 中，ABAC，BAC120，AB 的垂直平分线交 AB 于 E，交 BC 于 F.求证：CF2BF.作图题专练作图题专练1如图：已知AOB 和 C、D 两点，求作一点 P，使 PC=PD，且 P 到AOB 两边的距离相等2已知：A、B 两点在直线 l 的同侧，试分别画出符合条件的点 M（1）如图，在 l 上求作一点 M，使得 AMBM 最小；作法：（2）如图，在 l 上求作一点 M，使得AMBM最大 作法：ACDOB13/20（3）如图，在 l 上求作一点 M，使得 AMBM 最小（4）如果两点位于直线异侧，请你去解决上述问题变式练习变式练习1、如图，已知直线 MN 与 MN 同侧两点 A、B 求作：点 P，使点 P 在 MN 上，且APMBPN 2如图点 A、B、C 在直线 l 的同侧，在直线 l 上，求作一点 P，使得四边形 APBC 的周长最小；3.如图已知线段 a，点 A、B 在直线 l 的同侧，在直线 l 上，求作两点 P、Q（点 P 在点Q 的左侧）且 PQa，四边形 APQB 的周长最小14/204、已知：如图点 M 在锐角AOB 的内部，在 OA 边上求作一点 P，在 OB 边上求作一点Q，使得 PMQ 的周长最小；5、已知：如图 314，点 M 在锐角AOB 的内部，在 OB 边上求作一点 P，使得点 P 到点 M 的距离与点 P 到 OA 边的距离之和最小6、一条河两岸有 A、B 两地，要设计一条道路，并在河上垂直于河岸架一座桥，用来连接 A、B 两地，问路线怎样走，桥应架在什么地方，才能使从 A 到 B 所走的路线最短？轴对称专题训练轴对称专题训练15/20一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 24 分）分）1、下列图案中，不是轴对称图形的是（）A B C D 2、（易错易混点）（易错易混点）下列长度的三线段,能组成等腰三角形的是 （）A.1 1 2 B.2 2 5 C.3 3 5 D.3 4 5 3.如图，已知 ACBD，OA=OC，则下列结论不一定成立的是 （）A.B=D B.A=B C.AD=BC D.OA=OB4（易错易混点）（易错易混点）下列说法正确的是()A等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B顶角相等的两个等腰三角形全等C等腰三角形一边不可以是另一边的二倍D等腰三角形的两个底角相等5、如图，与关于直线 l 对称，且，则B 的度ABCA B C 7848AC，数为（）A48 B54 C74 D7816/206、如图所示，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D，C 分别落在 D，C的位置若EFB65，则AED等于 A.70 B.65 C.50 D.25 7、已知 M（a,3）和 N（4，b）关于 y 轴对称，则的值为（）2012()abA.1 B、1 C.D.20097200978、如图,BAC=110若 MP 和 NQ 分别垂直平分 AB 和 AC,则PAQ 的度数是()A.20 B.40 C.50 D.60二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 24 分）分）9轴对称是指_个图形的位置关系;轴对称图形是指_个具有特殊形状的图形.10、有一条对称轴的三角形是_三角形,有三条对称轴的三角形是_三角形.11.如图，在ABC 中，BD 是ABC 的平分线，DE 是 BC 的垂直平分线，090A则C=_.12、（易错易混点）（易错易混点）在ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得到锐角为 50，则B 等于_度13、如图，在ABC 中，AB=AC，P 是ABC 内一点，且PBC=050APCA，则BPC=_.14、如图，、如图，ABC 中中,A=36，AB=AC，BD 平分平分ABC,DEBC,则图中等腰三角形有则图中等腰三角形有_个个.15、如图、如图,ABC 中中,DE 是是 AC 的垂直平分线的垂直平分线,AE=3cm,ABD 的周长为的周长为 13cm,则则ABC 的的周长为周长为_.17/2016如图，点 P 在AOB 的内部，点 M、N 分别是点 P 关于直线 OA、OB的对称点，线段 MN 交 OA、OB 于点 E、F，若PEF 的周长是 20cm，则线段 MN 的长是_三、解答题（三、解答题（1720 题每题题每题 10 分，分，21 题题 12 分）分）17、右图（实线部分）补成以虚线 L 为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案（不用写作法、保留作图痕迹）请用一句话说明你的画图思路 18、如图，写出ABC 的各顶点坐标，并画出ABC 关于 Y 轴对称的A1B1C1，写出ABC 关于 X 轴对称的A2B2C2的各点坐标。18/2019、如图所示，BACABD,ACBD，点 O 是 AD、BC 的交点，点 E 是 AB 的中点试判断 OE 和 AB 的位置关系,并给出证明19/2020 阅读下题及证明过程：已知：如图，D 是ABC 中的 BC 边上一点，EB=EC，ABE=ACE求证：BAE=CAE证明：在AEB 和AEC 中，EBECABEACEAEAE，AEBAEC第一步BAE=CAE第二步问上面的证明过程是否正确，若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程21等边ABC 中，点 P 在ABC 内，点 Q 在ABC 外，且ABP=ACQ，BP=CQ，问 APQ 是什么形状的三角形？试说明你的结论20/20