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第三节 两个正态总体的假设检验
上一节介绍了单个正态总体的数学期望与方差的检验问题，在实际工作中还常碰到两个正态总体的比较问题.
1.两正态总体数学期望假设检验
（1） 方差已知，关于数学期望的假设检验（Z检验法）
设X~N(μ1,σ12），Y~N（μ2，σ22），且X，Y相互独立，σ12与σ22已知，要检验的是
H0：μ1=μ2；H1：μ1≠μ2.(双边检验)
怎样寻找检验用的统计量呢？从总体X与Y中分别抽取容量为n1，n2的样本X1，X2，…，及Y1，Y2，…，，由于
，，
E（-）=E（）-E（）=μ1-μ2，
D（-）=D（）+D（）=，
故随机变量-也服从正态分布，即
-~N(μ1-μ2，).
从而
~N（0，1）.
于是我们按如下步骤判断.
（a） 选取统计量 Z=， （8.16）
当H0为真时，Z~N（0，1）.
（b） 对于给定的显著性水平α，查标准正态分布表求zα/2使
P{｜Z｜＞zα/2}=α，或P{Z≤zα/2}=1-α/2. （8.17）
（c） 由两个样本观察值计算Z的观察值z0：
z0=.
（d） 作出判断：
若｜z0｜＞zα/2，则拒绝假设H0，接受H1；
若｜z0｜≤zα/2，则与H0相容，可以接受H0.
例8.7 A，B两台车床加工同一种轴，现在要测量轴的椭圆度.设A车床加工的轴的椭圆度X~N（μ1，σ12），B车床加工的轴的椭圆度Y~N（μ2，σ22），且σ12=0.0006(mm2)，σ22=0.0038(mm2)，现从A，B两台车床加工的轴中分别测量了n1=200，n2=150根轴的椭圆度，并计算得样本均值分别为=0.081(mm),=0.060(mm).试问这两台车床加工的轴的椭圆度是否有显著性差异？（给定α=0.05)
解 ① 提出假设H0：μ1=μ2；H1：μ1≠μ2.
② 选取统计量
Z=，
在H0为真时，Z~N（0，1）.
③ 给定α=0.05，因为是双边检验，α/2=0.025.
P{｜Z｜＞zα/2}=0.05, P{Z＞zα/2}=0.025，
P{Z≤zα/2}=1-0.025=0.975.
查标准正态分布表，得
zα/2=z0.025=1.96.
④ 计算统计量Z的观察值z
z0==3.95.
⑤ 作判断：由于｜z0｜=3.95＞1.96=zα/2，故拒绝H0，即在显著性水平α=0.05下，认为两台车床加工的轴的椭圆度有显著差异.
用Z检验法对两正态总体的均值作假设检验时，必须知道总体的方差，但在许多实际问题中总体方差σ12与σ22往往是未知的，这时只能用如下的t检验法.
（2） 方差σ12，σ22未知，关于均值的假设检验（t检验法）
设两正态总体X与Y相互独立，X~N（μ1，σ12），Y~N（μ2，σ22），σ12，σ22未知，但知σ12=σ22，检验假设
H0：μ1=μ2；H1：μ1≠μ2.(双边检验)
从总体X，Y中分别抽取样本X1，X2，…，与Y1，Y2，…，，则随机变量
t=~t（n1+n2-2），
式中Sw2=，S12，S22分别是X与Y的样本方差.
当假设H0为真时，统计量
t= ~t（n1+n2-2）. （8.18）
对给定的显著性水平α，查t分布得tα/2（n1+n2-2），使得
P{｜t｜＞tα/2（n1+n2-2）}=α. （8.19）
再由样本观察值计算t的观察值
t0=， （8.20）
最后作出判断：
若｜t0｜＞tα/2（n1+n2-2），则拒绝H0；
若｜t0｜≤tα/2（n1+n2-2），则接受H0.
例8.8 在一台自动车床上加工直径为2.050毫米的轴，现在每相隔两小时，各取容量都为10的样本，所得数据列表如表8-3所示.
表8-3
零件加工编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
第一个样本
2.066
2.063
2.068
2.060
2.067
2.063
2.059
2.062
2.062
2.060
第二个样本
2.063
2.060
2.057
2.056
2.059
2.058
2.062
2.059
2.059
2.057
假设直径的分布是正态的，由于样本是取自同一台车床,可以认为σ12=σ22=σ2，而σ2是未知常数.问这台自动车床的工作是否稳定？（取α=0.01)
解 这里实际上是已知σ12=σ22=σ2，但σ2未知的情况下检验假设H0：μ1=μ2；H1：μ1≠μ2.我们用t检验法，由样本观察值算得：
=2.063, =2.059，
s12=0.00000956， s22=0.00000489，
sw2==0.0000072.
由（8.20）式计算得
t0==3.3.
对于α=0.01，查自由度为18的t分布表得t0.005(18)=2.878.由于｜t0｜=3.3＞t0.005(18)=2.878,于是拒绝原假设H0：μ1=μ2.这说明两个样本在生产上是有差异的，可能这台自动车床受时间的影响而生产不稳定.
2. 两正态总体方差的假设检验（F检验法(F-test)）
（1） 双边检验
设两正态总体X~N（μ1，σ12），Y~N（μ2，σ22），X与Y独立，X1，X2，…，与Y1，Y2，…，分别是来自这两个总体的样本，且μ1与μ2未知.现在要检验假设H0：σ12=σ22；H1：σ12≠σ22.
在原假设H0成立下，两个样本方差的比应该在1附近随机地摆动，所以这个比不能太大又不能太小.于是我们选取统计量
F=. （8.21）
显然，只有当F接近1时，才认为有σ12=σ22.
由于随机变量F*= ~F（n1-1，n2-1）,所以当假设H0：σ12=σ22成立时,统计量
F= ~F（n1-1，n2-1）.
对于给定的显著性水平α，可以由F分布表求得临界值
（n1-1，n2-1）与Fα/2（n1-1，n2-1）
使得 P{ （n1-1，n2-1）≤F≤Fα/2（n1-1，n2-1）}=1-α
（图8-5），由此可知H0的接受区域是
（n1-1，n2-1）≤F≤Fα/2（n1-1，n2-1）；
而H0的拒绝域为
F＜（n1-1，n2-1），
或 F＞Fα/2（n1-1，n2-1）.
然后，根据样本观察值计算统计量F的观察值，若F的观察值落在拒绝域中，则拒绝H0，接受H1；若F的观察值落在接受域中，则接受H0.
图8-5
例8.9 在例8.8中我们认为两个总体的方差σ12=σ22，它们是否真的相等呢？为此我们来检验假设H0：σ12=σ22（给定α=0.1).
解 这里n1=n2=10，s12=0.00000956,s22=0.00000489，于是统计量F的观察值为
F=0.00000956/0.00000489=1.95.
查F分布表得
Fα/2（n1-1，n2-1）=F0.05(9,9)=3.18，
F1-α/2（n1-1，n2-1）=F0.95(9,9)=1/F0.05(9,9)=1/3.18.
由样本观察值算出的F满足
F0.95(9,9)=1/3.18＜F=1.95＜3.18=F0.05(9,9).
可见它不落入拒绝域，因此不能拒绝原假设H0：σ12=σ22，从而认为两个总体的方差无显著差异.
注意：在μ1与μ2已知时，要检验假设H0：σ12=σ22，其检验方法类同均值未知的情况，此时所采用的检验统计量是：
F=~F（n1，n2）.
其拒绝域参看表8-4.

表8-4
检验
参数
条
件
H0
H1
H0的拒绝域
检验用的
统计量
自由度
分位点
均
值
σ12,σ22
已
知
μ1=μ2
μ1≤μ2
μ1≥μ2
μ1≠μ2
μ1＞μ2
μ1＜μ2
|Z|＞zα/2
Z＞zα
Z＜-zα
Z=

±zα/2
zα
-zα
σ12,σ22
未
知
σ12=σ22
μ1=μ2
μ1≤μ2
μ1≥μ2
μ1≠μ2
μ1＞μ2
μ1＜μ2
｜t｜＞tα/2
t＞tα
t＜-tα
t=
n1+n2-2
±tα/2
tα
-tα
方
差
μ1,μ2
未
知
σ12=σ22

σ12≤σ22
σ12≥σ22
σ12≠σ22

σ12＞σ22
σ12＜σ22

F＞Fα/2或
F＜F1-α/2
F＞Fα
F＜F1-α
F=
(n1-1,n2-1)

Fα/2或
F1-α/2
Fα
F＜F1-α
μ1,μ2
已
知
σ12=σ22

σ12≤σ22
σ12≥σ2
σ12≠σ22

σ12＞σ22
σ12＜σ22

F＞Fα/2或
F＜F1-α/2
F＞Fα
F＜F1-α
F=
(n1,n2)

Fα/2或
F1-α/2
Fα
F＜F1-α
(2) 单边检验
可作类似的讨论，限于篇幅，这里不作介绍了.

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