D3-8方程近似解.ppt

单击此处编辑母版标题样式,目录 上页 下页 返回 结束,三、一般迭代法,(,补充,),第八节,可求精确根,无法求精确根,求,近似根,两种情形,(,有时计算很繁,),本节,内容,:,一、根的隔离与二分法,二、牛顿切线法及其变形,方程的近似解,第,三,章,一、根的隔离与二分法,(1),作图法,1.,求隔根区间的一般方法,(2),逐步收索法,由图,可见只有一个实根,可,转化为,以,定步长,h,一步步向右,搜索,若,搜索过程也可从,b,开始,取步长,h,0.,2.,二分法,取,中点,对新的隔根区间,重复以上步骤,反复进行,得,则,误差满足,例,1.,用二分法求方程,的,近似,实根时,要使误差不超过,至少应对分区间多少次,?,解,:,设,故该,方程只有一个实根,欲使,必需,即,可见只要对分区间,9,次,即可得满足要求的实根近似值,二、牛顿切线法及其变形,有,如下四种情况,:,牛顿切线法的基本思想,:,程的近似根,.,记纵坐标与,同,号的端点为,用切线近似代替曲线弧求方,在此点作切线,其,方程为,令,y,=0,得它与,x,轴的交点,其中,再,在点,作,切线,可得,近似根,如此继续下去,可得求近似根的迭代公式,:,称为,牛顿迭代公式,牛顿法的误差估计,:,由,微分中值定理得,则得,说明,:,用牛顿法时,若过,纵坐标与,异号的端点作,切线,则,切线与,x,轴焦点的横坐标未必在,牛顿法的变形,:,(1),简化牛顿法,若用一,常数代替,即用平行,则得,简化牛顿迭代公式,.,线代替切线,得,优点,:,因而节省计算量,.,缺点,:,逼近根的速度慢一些,.,(2),割线法,为,避免求导运算,用割线代替切线,即用差商,代替,从而得迭代公式,:,(,双,点,割线法,),特点,:,逼近根的速度快于简化牛顿法,但慢于牛顿法,.,说明,:,若将上式中,则为单点,割线法,逼近,根的,速度与简化牛顿法相当,.,例,2.,用切线法求方程,的,近似解,使,误差不超过,0.01.,解,:,由,草图可见方程有唯一的正实根,且,得,而,再求,因此得满足精度要求的近似解,三,.,一般迭代法,(,补充,),在,隔根区,按,递推公式,则,即为原方程的根,.,式,称为迭代格式,初值,.,否则称为发散,.,例,3.,用迭代法求方程,解法,1,将方程变形为,迭代格式为,发散,!,解法,2,将方程变形为,迭代格式为,迭代收敛,1.32472,为计算精度范围内的所求根,.,定理,.,(,证明略,),迭代法的敛散性与迭代函数的特性有关,.,可以证明,下述定理,:,内容小结,1.,隔根方法,作图法,二分法,2.,求近似根的方法,二分法,牛顿切线法,简化牛顿法,割线法,一般迭代法,思考与练习,比较求方程近似根的方法之间的关系及优缺点,.,作业,(,习题,3-8),P182 1;3,习题课,