高考“三角与三角函数”试题的相关分析——以全国Ⅰ卷与全国乙卷%28理科%29为例.pdf

24上海中学数学2023年第7 一8 期高考“三角与三角函数”试题的相关分析一以全国I卷与全国乙卷（理科）为例541004广西师范大学数学与统计学院摘要：笔者选取2 0 17 年一2 0 2 0 年全国I卷与2 0 2 1年一2 0 2 2 年全国乙卷（理科）中的“三角与三角函数”试题作为研究对象，从知识点、数学核心素养、数学思想方法、综合难度系数四个维度进行研究，并提出教学建议，即稳步教学，整体关联知识群体；突破定势，训练逆向逻辑思维；关注现实，载人真实问题情境.关键词：高考数学试题；三角与三角函数1问题提出“三角函数”是普通高中数学课程标准（2 0 17 年版)中“函数”主线的内容，属于基本初等函数类，在高考考查的内容中处于重要地位.甚至在步入高等教育阶段后，原有的三角函数知识作为跳板，为数学分析、解析几何、复变函数论、泛函分析等大学数学课程奠定基础.“三角与三角函数”试题考查的内容以运算为主，多涉及变角、换元等解题方法，有益于学生掌握多种数学思想方法，还能在潜移默化中发展数学学科核心素养，切实做到数学教育以素养为导向，积极落实立德树人的根本任务，锻炼学生数学思维，提高其适应终身发展的学习能力.国内学者已从不同视角对高考三角与三角函数试题进行了相关研究.例如,闫旭等对2 0 19 年高考三角函数进行专题解题分析，邱婉珠等则以数学运算素养为切入点分析三角函数高考题，此外，还有陈昂等学者的命题分析和孔芳飞等学者的一致性分析等 1-4 1.然而，目前仍缺乏确切的试题难度分析研究，且2 0 17 年一2 0 2 2 年全国高考数学理科卷三角与三角函数试题题型分布变动较大，思维考查方向与命题特点发生变化.因此，为保证广大数学教师对高考三角与三角函数试题难度有一个清晰的认知，且能明确把握高考数学复习方向，笔者针对2 0 17 年一2 0 2 2 年全国高考数学理科卷三角与三角函数试题进行相关研究，以全国I卷与全国乙卷（理科）为例，对研究结果进行分析，试图总结出有效的教学建议，以提高三角函数内容的教学质量与效率。2研究设计笔者从三角与三角函数试题的知识点、数学核心素养、数学思想方法、综合难度系数四个维度 5 ，余姗姗彭刚卢家宽采用定量与定性研究相结合的方法进行研究.由于全国I卷使用范围更广，而2 0 2 1年后分为全国甲卷和全国乙卷，后者与往年全国I卷的考查范围较为相似，故选取2 0 17 年一2 0 2 0 年全国I卷（理科）和2 0 2 1年一2 0 2 2 年全国乙卷（理科）作为研究对象.为保证统计结果的准确性，笔者与相关专家以及高中数学教师分别对试题进行编码，若出现分歧，则经过多次讨论后共同确定最终结果。2.1知识点高考试题千变万化，但终究以考查知识点为落脚点.由于2 0 2 2 年仍沿用2 0 19 年的高考考试大纲，故参考2 0 19 年高考考试大纲中考查的三角函数知识点，对2 0 17 年一2 0 2 2 年高考数学理科卷进行分析，即以任意角的三角函数、三角函数的图像与性质、三角恒等变换和解三角形这四大知识单元所包含的二级知识点作为主要分析对象。此外，部分三角与三角函数试题还考查了其他单元知识点的应用，为保证试题统计的全面性，也将这类知识点在表格中直接列出2.2数学核心素养高考数学强调从“能力立意”转向“素养导向”6 .数学核心素养正是隐藏在试题背后的宝藏，是数学课程目标的集中体现，也是学生成长的表现.提升学生的核心素养不仅能实质性地提高学生的思维品质、关键能力与基本素养，还能有效锻炼学生的数学思维，培植正确价值观念，使其终身受益 7。2.3数学思想方法数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象与概括,是学生在学习数学的过程中不断感悟、摸索和归纳总结而获得的.三角函数问题中最常体现的数学思想方法为数形结合思想、化归转化思想、方程与函数思想、分类讨论思想、特殊与一般的思想等.上海中学数学2023年第7 一8 期2.4综合难度系数以上数据代人综合难度系数公式即可求得d=了解每道试题的综合难度系数，便于数学教师0.75，这道题的综合难度系数则为0.7 5.因材施教，针对不同学习层次的学生布置不同难度3试题分析的题目，从而激发学生的自信心与上进心.试题的综合难度系数是在学者鲍建生和武小鹏的数学高考试题综合难度模型的基础上 8 ，参考学者廖艺捷、朱展霖、胡典顺所采用的综合难度系数计算公式，通过计算后得到 5 .综合难度系数结构的七个因素及其水平如表1所示，计算公式具体说明如下。记第i个因素(共个水平)的水平为i,则该题的综合难度系数为一寸宫学.其中,将第1个因素的水平ai赋值为（1j)，编码示例如下。（2 0 2 2 全国乙卷理-17）记ABC的内角A，B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin（A 一B）=sinBsin(C-A).(1)证明：2 a=6+c;25(2)若 a=5,cos A=,求 ABC的周长.31这道题无背景（以纯数学知识为背景），a13=1；无参数，22=1；简单符号运算（涉及三角函数等运算),a34=3;复杂推理（小问(1)经过两角和与差的正弦公式将等式展开后，逆用余弦定理与正弦定理即可证明成立；小问（2）利用余弦定理与小问（1）的条件求出bc后，巧用完全平方公式即可求出答案），a42=2；知识含量为四个，a53=3；逆向思维（逆用正弦定理与余弦定理），a62=2；运用水平，a73=2.将难度因素背景因素有无参数运算水平推理能力知识含量思维方向认知水平年份题型选填题解答题总分值253.1试题概况2017年一2 0 2 2 年全国高考数学理科卷三角与三角函数试题的题号、题型与总分值如表2 所示.从题型上看，2 0 17 年一2 0 19 年及2 0 2 2 年考查的题型均含选择题、填空题（以下将两者简称为“选填题”）与解答题,其中，解答题大多分布在第17 题.但2 0 2 0 年一2 0 2 1年三角与三角函数试题考查的题型只有选填题，无解答题，直至2 0 2 2 年才恢复解答题型.因此，在不出解答题的年份，对于三角与三角函数解答题型方面的训练也不能掉以轻心。从总分值上看，除2 0 19 年以外的五年试题总分值为15 分或17 分，变化幅度较小.而2 0 19 年总分值达到34 分，是因为增加了选择题第5 题（主要考查函数的图像与性质，5 分）以及解答题第2 0 题（主要考查导数在研究函数中的应用，12 分），两道题目强调知识点的交叉考查，涉及少量的三角函数知识点。3.2研究维度分析2017年一2 0 2 2 年高考三角与三角函数试题各维度分析结果统计情况如表3所示，知识点、数学学科核心素养、数学思想方法、综合难度系数这四个维度将于下文展开详细分析.表1水平无背景生活背景无参数有参数简单数值运算复杂数值运算简单推理复杂推理单个知识点两个知识点顺向思维向思维理解运用表22017201891617171717科学背景简单符号运算大于等于三个知识点分析201920205.117.9.1617、2 0无3415复杂符号运算202120227.9.1515无17151726上海中学数学2023年第7 一8 期表3试卷2022全国乙卷17解答题弦定理、完全平方和公式7选择题三角函数的图像变换2021全国乙卷9选择题解三角形15填空题余弦定理、三角形的面积公式三角函数的图像与性质的简单应7选择题用(求与T)二倍角公式、同角三角形的基本关2020全国I卷9选择题系式16填空题余弦定理、三棱锥的平面展开图5选择题函数的图像与性质、诱导公式诱导公式、三角函数的图像与性11选择题质、零点的概念2019全国1卷正弦定理、余弦定理、两角和与差17解答题的正弦和余弦公式导数的应用、零点问题、求极值、三20解答题角函数的图像与性质导数的应用、求极值、三角函数的16填空题周期、正弦函数的图像和性质2018全国1卷正弦定理、余弦定理、同角三角函17解答题数的基本关系式、诱导公式9选择题三角函数图像的变换、诱导公式2017全国I卷正弦定理、余弦定理、三角形的面17解答题积公式、两角和与差的余弦公式由表3可知，三角与三角函数试题一般考查1一4 个知识点，主要考查余弦定理、正弦定理及其应用，其次考查三角函数的图像及性质和诱导公式，注重知识点的灵活运用.在知识点方面有三个特点.一是少量试题存在不同单元知识点交叉考查的现象.例如，2 0 2 0 年第16 题，2 0 19 年第5 题、第2 0 题，题号题型周期函数的定义、正弦函数图像与15填空题性质的简单应用(求)两角差的正弦公式、正弦定理、余知识点核心素养数学运算直观想象数形结合思想数学运算逻辑推理化归转化思想数学抽象数学运算化归转化思想数学抽象直观想象数形结合思想数学运算数学建模数学运算化归转化思想数学抽象直观想象数形结合思想逻辑推理数学运算特殊与一般的思想数学运算化归转化思想数学抽象直观想象数形结合思想数学运算数学建模数学抽象直观想象数形结合思想数学运算特殊与一般的思想数学抽象直观想象方程与函数思想0.73逻辑推理数学运算分类讨论思想数学运算化归转化思想数学抽象逻辑推理方程与函数思想0.76数学运算数学建模分类讨论思想数学抽象逻辑推理方程与函数思想0.61数学运算数学抽象直观想象化归转化思想数学运算化归转化思想数学抽象数学运算数形结合思想数学运算化归转化思想2018年第16 题分别融入了三棱锥的平面展开图、函数图像与性质、导数的应用、零点问题等知识，由此看出高考会在三角函数与其他单元的知识交汇处命题.二是涉及三角函数公式、定理与概念的逆用，三角函数图像与性质的逆用以及多种三角函数知识交汇逆用，重点考查学生的逆向逻辑思维.例如，2 0 17思想方法综合难度0.630.750.460.71.0.630.580.560.630.510.750.680.560.75上海中学数学2023年第7 一8 期年第17 题，2 0 2 0 年第16 题，2 0 2 1年第7 题、第9 题选取特殊点（一等，0）代人函数式子求出，最后依等涉及余弦定理，正弦定理，两角和与差的正弦和余9弦公式、诱导公式和面积公式等三角函数公式、定理据题意套用公式即可求出最小正周期.这道题主要以及概念的逆用.三是高考数学三角与三角函数试考查学生数形结合思想和特殊与一般的思想.2 0 17题考查学生对知识点的认知水平多为运用水平，较年第9 题考查三角函数图像的变换与诱导公式，若少试题止于理解水平或达到分析水平.说明高考注将曲线C1的余弦函数变换成正弦函数，使用某种方重考查学生对三角函数知识点的综合运用能力，不式进行平移、压缩变换后，正确答案显而易见，这道止局限于对知识点的理解，要求学生牢固掌握所有题主要考查学生化归转化思想与数形结合思想.知识点，并能将其彼此整合，从中找到解题的突40%破点.30%一道三角与三角函数试题一般考查1一4 种数学核心素养，其中考查次数最多的是数学运算素养，其次为数学抽象素养，此外还涉及直观想象、逻辑推理与数学建模素养（如图1所示）.因此，试题着重考查学生的运算能力，不仅包括运算方法的选择与运算结果的正确性，还包括学生对运算对象的理解以及运算思路的梳理.同时，试题还考查学生能否提炼2720%10%0%分类讨论思想特殊与一般的思想关键信息、结合图文解题、有逻辑性地思考以及解题图2步骤是否清晰等.例如，2 0 18 年第17 题有两小问，小2017年一2 0 2 2 年高考数学三角与三角函数试问（1）考查正弦定理的应用，可由正弦定理求出题（包含选填题与解答题）历年的平均综合难度趋ZADB的正弦值之后，再转化成余弦值即可得出答势如图3所示（虚线为难度变化的总体趋势）.案；小问（2）则考查余弦定理的应用，属于结构不良试题，需要画图分析，联结BD创造解题环境，再运用小问（1）的条件求出cosZBDC,使解题结构完整，最后使用余弦定理解答此题，便能得到BC的值.这道试题对学生数学抽象、直观想象、数学运算素养的要求较高，着重考查学生的数形结合能力及其对三角函数公式的灵活运用.40%30%-20%10%0%数学运算数学抽象直观想象图1数学思想方法贯穿于每一道三角与三角函数试题中，每道题一般体现出1一2 种数学思想方法，主要考查化归转化思想，其次是数形结合思想，常运用变角、整体换元、诱导变换等方法解答题目，要求学生掌握三角函数公式的各种表征形式及其数学意义.图2 展示了三角与三角函数试题对数学思想方法考查的次数占比.例如,2 0 2 0 年第7 题考查三角函数图像与性质的简单应用，学生需要观察函数图像，0.7平均综合难度0.650.6550.6450.60.55201720182019202020212022年份图3三角与三角函数试题难度总体呈缓慢下降趋势.其中，2 0 2 2 年的试题平均难度最大，2 0 19 年次之；2 0 2 0 年的试题平均难度最低，2 0 2 1年与其相比泉逻辑推理数学建模仅有0.0 1之差.由于2 0 2 0 年一2 0 2 1年均为选填题，无解答题型，为检验选填题与解答题在难度上是否存在显著性差异，利用SPSS统计软件将两类题型的平均综合难度系数（2 0 17 年一2 0 19 年、2 0 2 2 年）数据进行独立样本t检验，结果为选填题的难度显著低于解答题(P=0.0020.05.因此,出现该趋势的根本原因为题型的变化.2017年一2 0 19 年、2 0 2 2 年解答题的平均综合难度系数分别为0.7 5,0.6 8,0.7 6 0.7 5，整体变化幅度较为平缓.另外，由于2 0 17 年一2 0 2 2 年均有选填题型，则单独比较2 0 17 年一2 0 2 2 年选填题难度，0.6880.5900.6900.60028其变化趋势如图4所示，可以发现三角函数选填题难度总体呈上升趋势.2 0 17 年一2 0 2 2 年选填题平均难度为0.6，2 0 18 年、2 0 19 年、2 0 2 2 年的选填题平均难度均高于0.6.通过分析综合难度系数模型的七个因素，可总结出这三年选填题难度较高的原因有以下三个.0.65平均综合难度0.60.555.0.5600.5201720182019202020212022年份图4第一，含有参数.2 0 17 年一2 0 2 2 年高考三角与三角函数试题中含有参数的题目有两道，分别是2020年第7 题与2 0 2 2 年第15 题，两者参数均为余弦函数中的，分别要求出函数的最小正周期T与的最小值.前者要结合图像求出的范围后求出T，后者则需根据函数周期的性质与零点定义求出的最小值,其中涉及思维的转换与最值问题，加大了题目的难度.第二，属于复杂推理.复杂推理指解题的推理步数较多，一般多于三步.其中2 0 19 年第11题为2 0 17年一2 0 2 2 年难度最大的选填题，难度系数高达0.73.主要考查的是三角函数的图像和性质，涉及奇偶性、单调性、最值和零点问题，需要掌握这四个知识点及其内在联系才能解答出来，对学生的逻辑思维能力和推理运算能力要求较高.第三，知识间的交互性强.交互性不仅体现在三角函数知识点间的灵活运用上，还体现在三角函数与其他单元知识的交叉考查上.前者要求学生对三角与三角函数知识点的充分掌握，后者要求学生从整体视角挖掘各单元知识点之间的联系，着重考查学生的综合运用能力，此能力的提升能够帮助学生更好地解决现实问题.考察2 0 17 年一2 0 2 2 年三角与三角函数试题不同因素平均综合难度系数，可以发现，试题尤其注重运算水平和知识含量因素的考查.2 0 2 1年一2 0 2 2 年的命题方向开始指向试题背景因素与思维方向因素，更加贴合新课标的要求，即关注情境创设和问题设计，数学核心素养的形成与情境有密不可分的关系.这样的设计更加突出一个观点，“数学的本质不在于它的结论，而在于它的思想”门。上海中学数学2023年第7 一8 期4研究结论从四个维度来研究2 0 17 年一2 0 2 2 年全国高考数学理科卷三角与三角函数试题，可得到以下四个结论.第一，三角与三角函数试题更加强调学生的综合运用能力与逆向逻辑思维能力，在不同单元知识0.6300.610 0.6200.6000.590的交汇处命题，还涉及三角函数知识点的逆用，考查学生是否能逆向思考问题以达到简化问题的目的.第二，数学运算核心素养贯穿于每一道试题中，尤其强调考查学生的运算能力。第三，注重考查学生对数形结合思想与化归转化思想的掌握。第四，题型分布有所波动，虽然2 0 2 0 年一2 0 2 1年无解答题型，但2 0 17 年一2 0 2 2 年选填题试题平均难度总体呈上升趋势，依然处于中等难度.值得注意的是，三角与三角函数的问题情境逐渐融入数学文化因素.2 0 2 1年第9 题是2 0 17 年一2 0 2 2 年间唯一一道具有数学文化背景的三角与三角函数试题，代表着高考命题愈加贴合新课标的要求.该题主要考查解三角形与数学文化(刘徽的海岛算经）的融合，综合难度系数达到0.7 1，难度较大.学生作辅助线为解题创造条件，厘清各个条件之间的等量关系，通过恒等变换求得AB的表达式，再结合题目文化背景即可得出最终答案.难点在于学生能否想到作辅助线和找到等量关系，从各方面考查学生的数形结合思想、运算能力与思维的灵活性、创造性和连贯性.高中教材中利用了许多真实、有趣的问题情境引出三角函数知识点，如生活中的水车、摩天轮，物理学科里的单摆、电磁振荡等。因此，三角与三角函数试题的问题情境不仅局限于数学文化情境，还可以融入生活情境与科学情境，这些都是未来命题背景发展的方向。5教学建议笔者基于以上研究结论提出教学建议.5.1稳步教学，整体关联知识群体2020年一2 0 2 1年连续两年未出现解答题，但2022年高考中解答题恢复命题的现象表明,在今后的教学中不可轻视三角与三角函数知识在高考解答题中的重要地位.因此，教师教学应该稳扎稳打，夯实基础知识.运用不同的教学方法将每一个三角函数知识点及其数学意义讲透彻，着重强调三角函数公式的来龙去脉，注重含参题型的训练，要求学生能解决问题上海中学数学2023年第7 一8 期的同时，也要深刻理解知识.此外，还可以根据学生的最近发展区来安排选填题型与解答题型的解题进阶训练，从单一知识点向综合知识点进阶，从单元分离向单元交汇进阶，引导学生探究、总结题目中蕴涵的数学思想方法，切忌题海战术与机械记忆.单元教学设计倡导从整体视角把控知识，益于教师更多关注知识的本质、蕴含的思想以及学生素养的培养9.因此，数学教师应该关注知识的生长性与公式间的联结性，引导学生整体关联三角函数知识点，加深学生对公式的印象，培养其独立推导公式的能力，做到以一推多，还能减轻记忆负担.在复习课上，可以采用思维导图的方法将其他单元的知识与三角函数知识交汇整合起来，深度挖掘知识间的内在联系.5.2突破定势，训练逆向逻辑思维数学教师通常按照教材逻辑和数学学科逻辑进行教学，整个过程凸显的是正向逻辑思维的发展.但从2 0 17 年一2 0 2 2 年的全国高考数学理科卷三角与三角函数试题的发展来看，部分题目往往从知识的反方向设计已知条件，需要学生进行恒等变换，着重考查三角函数知识点的逆用，即注重逆向逻辑思维的考查.正所谓“正难则反”，教师应引导学生从侧面或反面看待数学问题.善用逆向逻辑思维能打开解题思路，更加轻松、快捷地解决问题.因此,教师应利用多种变式与反例，使学生从不同角度感受三角函数公式的灵活性，掌握多种解题技巧，增强解题能力，在定势思维的不停突破中训练逆向逻辑思维，而不受正向逻辑思维的约束.反过来，逆向逻辑思维的发展还能提升学生的理解能力，使学生更深刻、透彻地理解三角函数公式、定理、概念与性质，增强学生的综合运用能力与创新能力10 7.5.3关注现实，载入真实问题情境数学教师应走出舒适圈，主动学习数学文化，留意观察身边趣事时事，挖掘数学与其他学科间的联系，使教学背景从单一数学情境向多种真实问题情境转变，寻找能够激发学生兴趣和探究热情的材料作为问题情境，让数学教学生动起来，进而发展学生的数学建模与数学抽象素养.三角函数的问题情境要同时具备五个要素11：蕴含数学思想方法与科学价值，统领性，连贯性，联系生活实际或数学现实，符合学生认知范围.其中，统领性是指问题情境背景之间相互联系，能够引领学生的解题思路走向正确的方向.连贯性是指在具有统领性的问题情境背景下，学生能沿着解题思路衍生出具有一定逻辑层次的新问题情境.29部分学生在遇到含有科学情境或数学文化的题目时，会因为扑面而来的陌生感而下意识地产生恐惧心理，从而影响解题情绪，使简单题困难化，面对难题也无法静下心来思考.这就要求教师设计问题情境专题，在平时的讲解中使学生体会“万变不离其宗”的道理，逐渐消除学生的恐惧心理.6结语三角函数与代数、几何、平面向量相关联，是高中数学的核心内容，承载着数学思想方法，蕴涵着数学学科核心素养，在高考中占据着重要地位。杜兰特认为，“教育是一个逐步发现自已无知的过程”因此，高中数学教师应跟随高考的脚步，积极关注三角与三角函数试题变化与难易程度,不断查缺补漏,改善教学方法，提高数学素养，做到稳步教学，整体关联知识群体；突破定势，训练逆向逻辑思维；关注现实，载人真实问题情境。参考文献1闫旭旭，王恩波.2 0 2 1年高考“三角函数”专题解题分析J.中国数学教育，2 0 2 1（7/8）：39-44.2邱婉珠，周仕荣.从“三角与三角函数”考点看高考中的“数学运算”核心素养以2 0 16 2 0 19 四年高考理科全国卷I卷为例J.数学通报，2 0 2 0（2）：49-5 4.3陈昂，任子朝，赵轩.高考中三角函数内容考查研究J.数学通报，2 0 18（10）：44-47.4孔芳飞，陈雪梅，顾甜怡.五年全国高考数学I卷与课标一致性的实证研究J.数学教育学报，2 0 2 0（6）：14-2 0.5廖艺捷，朱展霖，胡典顺.近五年高考概率与统计试题的统计与分析一一以全国 I卷(理科)为例J.数学通报,2 0 2 1（2)：5 6-6 2.6刘静，周思波，吴中林.2 0 2 0 年新高考与传统高考的比较研究基于高考试题综合难度模型J.数学教育学报，2 0 2 1（6）：2 6-317中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版2 0 2 0 年修订S.北京：人民教育出版社，2020.8武小鹏，孔企平.基于AHP理论的数学高考试题综合难度模型构建与应用J.数学教育学报，2 0 2 0（2）：29-34.9吕世虎，杨婷，吴振英.数学单元教学设计的内涵、特征以及基本操作步骤J.当代教育与文化，2 0 16（4）：41-46.10傅海伦，张佩雯，徐小惠.对数学逆向思维的再认识J.教学与管理，2 0 17(19)：45-47.11沈威，曹广福.高中三角函数教育形态的重构J.数学教育学报，2 0 17（6）：14-2 1；7 1.