等效点系专题.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。,点群的国际符号,最多有三位,分别代表不同方向，如,mmm,432,4/m,；,每个点群的,3,个对称元素符号，它们的取向只有在它们所属的晶系的特定坐标系中才有意义；,取向是指在特定坐标系中某一通过坐标原点的直线的方向，这直线既可以是坐标轴，也可以是对称面的法线；,每个点群符号都包含了该对称类型中最基本的对称元素，其它未指出的对称元素可通过这些已经标出的最基本的对称元素的组合推导出来。,全面掌握(!)32种点群的国际符号,4/m m m,1,2,3,晶系,三个位所表示的方向(依次列出),立方,c,a+b+c,a+b,001,111,110,四方,c,a,a+b,001,100,110,正交,a,b,c,100,010,001,单斜,b,010,三斜,任意方向,任意方向,六方,&,三方,c,a,2a+b,001,100,210,1,1,2,3,3,2,点群的国际符号,各晶系取向表,a,a,a,立方晶系,a,a,c,120,O,六方晶系,三方晶系,四方晶系,a,a,b,三斜晶系,a,b,c,正交晶系,b,a,b,c,单斜晶系,第一方向,第二方向,第三方向,点群的国际符号,各晶系取向表,点群的国际符号,正交、四方、立方晶系主要晶棱指数及晶面指数,点群的国际符号,三方晶系及其六方晶系：取向示意图,注意：,旋转轴用数字,n,表示，反轴用,n,，反映面用,m,表示，旋转轴和与之垂直的反映面用,n/m,表示，对称中心用,1,表示。,在既可写轴又可以写反映面时尽量写反映面，因为反映面组合可以得到旋转轴，而旋转轴组合不可以得到反映面。,例如：,2/m 2/m 2/m,是正交晶系全对称型的国际符号，一般简写成,mmm,，但不能简写成,2mm,。因为,mmm,可以推导出点群中所有的对称元素，而从,2mm,中却不能推导出点群中所有的对称元素。请注意,m,是指与该方向垂直的反映面。,点群的国际符号,点群国际符号的推导,实例,1,：由点群,L,4,4L,2,5PC,导出国际符号：,L,4,4L,2,5PC,属,四方晶系,.,Why,？,国际,符号规定的窥视方向：,c,o,、,a,o,、,(a,o,+b,o,),。,c,o,方向,(,Z,轴,),上存在的对称要素有一个,L,4,和垂直此,L,4,的对称面,P,，第一位写做,4/m,；,a,o,方向,(,X,轴,),上存在的对称要素有一个,L,2,和垂直此,L,2,的对称面,P,，第二位写做,2/m,；,(a,o,+b,o,),方向,(X,与,Y,轴平分线,),上的对称要素有一个,L,2,和垂直此,L,2,的对称面,P,，第三位写作,2/m,；,排列起来应写为：最后简化为,。,首位,6,表示六方晶系，其国际符号的三个窥视方向为,c,0,、,a,0,、,(2a,0,+b,0,),。,c,0,方向有一个,L,6,和垂直,L,6,的,P,，有,L,6,P,L,6,P,C,；,a,0,方向有一个平行,L,6,的,P,，有,L,6,P,/,L,6,6P,/,；包含,L,6,的,P,与垂直,L,6,的,P,的交线必为垂直于,L,6,的,L,2,于是有,L,6,L,2,L,6,6L,2,；最后将所有对称要素组合得到点群,L,6,6L,2,7PC,。,点群国际符号的推导,实例,2,：由国际符号,导出点群全部对称元素：,L,6,a,b,c,L,2,由点群,L,6,6L,2,7PC,导出其国际符号；,由点群,L,i,3,3L,2,3PC,导出其国际符号；,由点群,6m2,的国际符号推导其所有的宏观对称元素；,掌握,这些推导的关键是要熟悉有关宏观对称元素组合的几个定理以及,7,个晶系的定向规则！,！,练习：,点群用熊夫利斯符号表示时有如下规则：,仅有一个旋转轴的点群用,C,n,表示，,n,为轴次；,由,2,次轴组合产生的点群用,D,n,表示；,有几,个高次轴时，轴组合相当于正四面体用,T,表示,(Tetrahedral),；轴组合相当于正八面体时用,O,表示,(Octahedral),存在反映面时：,反映面与主轴平行（即穿过主轴），这个反映面是直立的，以下标,v,（,vertical,）表示；而当反映面穿过主轴又平分两个,2,次轴间的夹角时以下标,d,表示（,diagonal,）；,反映面垂直主轴时，反映面是水平的，以下标,h(horizontal),表示；,S,4,表示,4,次反轴；,C,s,表示反映面。,点群中的熊夫利斯符号,点群用熊夫利斯符号表示时有如下规则：,仅有一个旋转轴的点群用,C,n,表示，,n,为轴次；,由,2,次轴组合产生的点群用,D,n,表示；,存在反映面时：,反映面与主轴平行（即穿过主轴），这个反映面是直立的，以下标,v,（,vertical,）表示；而当反映面穿过主轴又平分两个,2,次轴间的夹角时以下标,d,表示（,diagonal,）；,反映面垂直主轴时，反映面是水平的，以下标,h(horizontal),表示；,点群中的熊夫利斯符号,有,几,个高次轴时，轴组合相当于正四面体用,T,表示,(Tetrahedral),；轴组合相当于正八面体时用,O,表示,(Octahedral),S,4,表示,4,次反轴；,C,s,表示反映面,。,C,n,:,具有一个,n,次旋转轴的点群；,C,nh,:,具有一个,n,次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群；,C,nv,:,具有一个,n,次旋转轴和,n,个通过该轴的镜面的点群,。,S,n,:,具有一个,n,次反轴的,点群,.,点群中的熊夫利斯符号,D,n,:,具有一个,n,次旋转主轴和,n,个垂直该轴的二次轴的点群；,D,nh,：在,D,n,的基础上再加上一个垂直与主轴的对称面的点群；,D,nd,：在,D,n,的基础上，再含有,n,个包含,n,重轴但不包含,2,重轴，而是平分相邻,2,个,2,重轴夹角的对称面。,T,:,具有,4,个,3,次轴和,4,个,2,次轴的正四面体点群；,T,h,：在,T,群基础上再含有与,2,次轴垂直的对称面的点群；,T,d,：四面体中，具有平分二次轴夹角平面的点群。,O:,具有,3,个,4,次轴,4,个,3,次轴和,6,个,2,次轴的八面体点群；,O,h,：在,O,群基础上再含有对称面的点群。,点群中的熊夫利斯符号,32,种点群国际符号和熊夫利斯符号的对应关系,32,种点群国际符号和熊夫利斯符号的对应关系,等效点系,等效点,：也叫做对称等效点，是指一个点经某一指定的对称元素的对称操作后，与另外一个点完全重合，那么这两个点就互为对称等效点。在晶体学里，等效点可以代表晶体外形多面体的晶面（在几何晶体学），也可以代表基元结构（在微观空间对称里）。,等效点系,：,从一个初始点出发，经某一个给定对称群（几何晶体学里就是点群，它可能含有一个对称元素，也可能是一组对称元素的组合）全部对称操作的反复进行直至循环重复为止。所导出的一组对称等效点称为该点群的“等效点系”。,等效点系,一般位置等效点系,：,在给定点群里，若初始点,x,y,z,是位于任意位置，所推导出来的等效点系称为该点群的“一般位置等效点系”。,特殊位置等效点系,：,若初始点位于特殊位置，即三个坐标变量中具有常数值（如,x,0,z;x,0,0;0,0,0,等），或者三个变量之间具有某种特定关系（如,x,x,z;x,x,x;2x,x,z,等），例如处于对称元素的位置上，所导出的等效点系就为该点群的特殊位置等效点系。,显然在所有的,32,点群里，每个点群都有一个一般位置等效点系，而大多数点群里，它的特殊位置等效点系却可能有很多种。下面以,2/m,点群为例进行说明：,（,1,）初始点位置位于对称面；（,2,）初始点位于二次轴；（,3,）初始点位于对称面与二次轴的交点上。,一般位置等效点系,1,2,3,4,X,Y,(1),(1),(2),(3),X,Y,(2),特殊位置等效点系,等效点系,每个点群只有一个等效点系，而且它具有的等效点数目是最多的，特殊位置等效点系中的等效点数目总是比一般位置等效点系的等效点数目少一个整数倍。,例如上面的,2/m,点群：,一般位置：,等效点数目为,4,特殊位置：,（,1,）初始点位置位于对称面：等效点数目为,2,；,（,2,）初始点位于二次轴：等效点数目为,2,；,（,3,）初始点位于对称面与二次轴交点上：等效点数目为,1,。,等效点系,等效点系的推导,例,1,已知点群的国际符号为,6mm,，请推导出此点群的全部对称元素及其坐标，以及此点群的一般位置等效点系和各种特殊位置等效点系的坐标。,解：,(1),从国际符号,6mm,知道该点群属于六方晶系。选取坐标系,X,Y,Z,以极射赤平投影表示于下图：,第一步：确定坐标系,(2),确定基本对称元素在坐标系里的方位，并将他们标在投影图中。从六方晶系的定向中可知，点群符号里面的,6,次轴于晶棱,001,方向重合，而两个对称面,mm,的法线分别于,100,和,120,重合。,第二步：引入对称元素,等效点系的推导,(3),运用对称元素组合的原理和推导方法，在极射赤平投影图上，从任意初始点出发，推导出各个等效点及所有对称元素。,第三步：一般位置等效点系,（,4,）参考图中各等效点的坐标，确定其中所有对称元素的坐标。,6:,(0 0 z);m:(x 0 z),m:(2x x z);m:(x x z),m:(x 2x z);m:(0 y z),m:(x x z),等效点系的推导,参照教材有关等效点系的坐标变换（,P71,和,P25,），从任意点出发，可以导出所有,12,个一般等效点系的坐标。,计算结果可参看,P77-78,（,5,）特殊位置等效点系,初始点位于特殊位置上有如下三种情况：,初始点,A,位于对称面,m(xoz),，此初始点坐标为,xoz,将此初始点坐标分别带入上述一般等效点系,12,个坐标点中，可以推导出如下图所示的,6,个等效点组成的特殊位置等效点系；,初始点,B,位于对称面,m,，此初始点坐标为,将此初始点坐标分别带入上述一般等效点系,12,个坐标点中，可以推导出如下图所示的,6,个等效点组成的特殊位置等效点系；,初始点,C,位于,6,个对称面与六次轴相交的直线上，此直线的对称性为,6mm,，此时初始点的坐标为,00z,。将此初始点带入一般位置等效点系的等效点坐标，最终只获得一套特殊位置等效点系：,00z,。,等效点系的等效点数目,等效点系的等效点数目决定于点群所包含的,对称元素的种类与数量，,也决定于初始点所处的坐标位置。一个等效点系的组成是从一个初始点出发，经过该点群全部对称元素的反复对称操作直至互相重复封闭所导出的一组对称等效点。,一个点群里的对称元素可以分为独立对称元素和派生对称元素，派生的对称元素可以从独立对称元素的对称组合派生出来。,等效点系的等效点数目,例如：点群,mmm,中具有,3,个互相垂直的对称面，还有,3,个互相垂直的,2,次轴和一个对称中心。,3,个对称面可以当作独立对称元素，其他对称元素可以由,3,个对称面推导出来；或者把,2,个,2,次轴和对称中心当做独立对称元素，可以推导出点群中其他对称元素。,一般位置等效点系的等效点数目，是此点群中独立对称元素的等效点的乘积。例如,mmm,点群，每个,m,的等效点数目为,2,，可知等效点数目为,222=8,练习,试推导点群,422,、,6/m,、全部对称元素及其坐标，以及此点群的一般位置等效点系和各种特殊位置等效点系的坐标。,试判断,2/m,、,6mm,、,4/mmm,点群一般等效点系等效点的数目。,点群的,熊夫利斯,C,3v,、,D,2,、,D,2d,、,D,6,、,T,h,、,T,d,、,O,对应的点群的国际符号是什么？,这类推导请灵活掌握，考试题。,