广义积分的收敛判别法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,宁波大学教师教育学院,*,广义积分的收敛判别法,一、无穷限广义积分的收敛判别法,定理1.,若函数,证:,根据极限收敛准则知,存在,11/10/2026,2,宁波大学教师教育学院,（Cauchy收敛原理）,定理 2.,证：利用无穷限广义积分收敛的定义以及极限存在的Cauchy准则即得。,11/10/2026,3,宁波大学教师教育学院,柯西（Cauchy，Augustin Louis1789-1857），,十九世纪前半世纪的法国数学家。1789年8月21日生,于巴黎。在大学毕业 后当土木工程师，因数学上的成,就被推荐为科学院院士，同时任工科大学教授。后来,在巴黎大学任教授，一直到逝世。在代数学 上，他有,行列式论和群论的创始性的功绩；在理论物理学、光,学弹性理论等方面，也有显著的贡献。他的特长是在,分析学方面，他对微积分给出了严密的基础。他还证,明了复变函数论的主要定理以及在实变数和复变数的情况下微分方程解的存,在定理。,1821年，在拉普拉斯和泊松的鼓励下，柯西出版了分析教程、无,穷小计算讲义、无穷小计算在几何中的应用这几部划时代的著作。他,给出了分析学一系列基本概念的严格定义。柯西的极限定义至今还在普遍使用，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在较为坚实的基,础上。,11/10/2026,4,宁波大学教师教育学院,定理3.,(比较原理),且对充,则,证:,不失一般性,因此,单调递增有上界函数,11/10/2026,5,宁波大学教师教育学院,说明:,已知,得下列比较判别法.,极限存在,11/10/2026,6,宁波大学教师教育学院,定理4.,(比较判别法 1),11/10/2026,7,宁波大学教师教育学院,例1.,判别广义积分,解:,的收敛性.,由比较判别法 1 可知原积分收敛.,思考题:,讨论广义积分,的收敛性.,提示:,当,x,1 时,利用,可知原积分发散.,11/10/2026,8,宁波大学教师教育学院,定理5,.,(极限判别法1),则有:,1)当,2)当,证:,1),根据极限定义,对取定的,当,x,充,分大时,必有,即,满足,11/10/2026,9,宁波大学教师教育学院,2)当,可取,必有,即,注意:,此极限的大小刻画了,11/10/2026,10,宁波大学教师教育学院,例2.,判别广义积分,的收敛性.,解:,根据极限判别法 1,该积分收敛.,例3.,判别广义积分,的收敛性.,解:,根据极限判别法 1,该积分发散.,11/10/2026,11,宁波大学教师教育学院,定理6.,证：,则,而,11/10/2026,12,宁波大学教师教育学院,定义.,设广义积分,则称,绝对收敛,;,则称,条件收敛,.,例4.,判断广义积分,的收敛性.,解:,根据比,较判别法知,，故由定理6知所,给积分收敛,(绝对收敛).,11/10/2026,13,宁波大学教师教育学院,无界函数的广义积分可转化为无穷限的广义积分.,二、无界函数广义积分的收敛判别法,由定义,例如,因此无穷限广义积分的收敛判别法完全可平移到无界函数,的广义积分中来.,11/10/2026,14,宁波大学教师教育学院,定理7.,(比较判别法 2),定理3,瑕点,有,有,利用,类似定理 4 与定理 5，有如下的收敛判别法.,使对一切充分接近,a,的,x,(,x,a,).,11/10/2026,15,宁波大学教师教育学院,定理8.,(极限判别法2),则有:,1)当,2)当,例5.,判别广义积分,解:,利用洛必达法则得,根据极限判别法2,所给积分发散.,11/10/2026,16,宁波大学教师教育学院,例6.,判定椭圆积分,定理4,敛性.,解:,由于,的收,根据极限判别法 2,椭圆积分收敛.,11/10/2026,17,宁波大学教师教育学院,类似定理6,有下列结论:,例7.,判别广义积分,的收敛性.,解:,称为绝对收敛.,故对充分小,从而,据比较判别法2,所给积分绝对收敛.,则广义积分,11/10/2026,18,宁波大学教师教育学院,三、,函数,1.定义,下面证明这个特殊函数在,内收敛.,令,11/10/2026,19,宁波大学教师教育学院,综上所述,11/10/2026,20,宁波大学教师教育学院,2.性质,(1)递推公式,证:,(分部积分),注意到:,11/10/2026,21,宁波大学教师教育学院,(2),证:,(3)余元公式:,(证明略),11/10/2026,22,宁波大学教师教育学院,(4),得应用中常见的积分,这表明左端的积分可用,函数来计算.,例如,11/10/2026,23,宁波大学教师教育学院,四、*A-D判别法,定理 9,(1)(Abel判别法),(2)(Dirichlet判别法),11/10/2026,24,宁波大学教师教育学院,阿 贝 尔,（Abel,Niels Henrik,1802-1829）,挪威数学家。1802年8月5日生于芬岛，1829年4月,6日卒于弗鲁兰。是克里斯蒂安尼亚（现在的奥斯陆）,教区穷牧师的六个孩子之一。,阿贝尔在他的所有著作中都打下了天才的烙印和,表现出了不起的思维能力。我们可以说他能够穿透一,切障碍深入问题的根底，具有似乎无坚不摧的气势.。,他又以品格纯朴高尚以及罕见的谦逊精神出众，使他人品也像他的天才那样受到人们不同寻常的爱戴。”数学家们有法纪念他们中的伟人，我们常说阿贝尔积分、阿贝尔积分方程、阿贝尔函数、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔部分和公式、阿贝尔收敛判别法、阿贝尔可和性。很少有几个数学家能使他的名字同数学中的这么多概念和定理联系在一起。,11/10/2026,25,宁波大学教师教育学院,狄利克莱（Dirichlet）,（1805-1859）,德国数学家。解析数论的创始人之一。在数论方面关于,Fermat方程，先后给出了n=5,n=14时无整数解的证明。他著,有数论讲义（1863，遗著），对Gauss的算术研究作,出了清楚的解释并有自己的独创。他证明了在任何算术序列,a+nb(其中a与b互素)中，必存在无穷多个素数，这就是著,名的Dirichlet定理。,他在分析学和数学物理方面也有很多重大贡献。在1892年的论文“关于三角级数的收敛性”中得到给定函数f(x)的Fourier级数收敛的第一充分条件.这一研究还促使他将函数作了一般化推广。1829，他给出了具有典型意义的函数：称为Dirichlet函数。这一工作使得数学从研究函数的计算转变到研究函数的概念，性质和结构。他在1837年证明了：对一个绝对收敛级数，可以把它的项加以组合重新排列，而不改变原级数的和，并举例说明对一个条件收敛级数则不然。他修改了Gauss关于位函数论的一个原理，引入了所谓Dirichlet原理。还论述了著名的第一边值问题（现称为Dirichlet问题）。,Dirichlet是Gauss的学生和继承人。他毕生敬仰Gauss.他说Gauss的讲课是“一生所听过的最好，最难忘的课。”1855年，Gauss逝世后，他作为Gauss的继承者被哥丁根大学聘为教授，接替Gauss原任的职务，直到逝世。,11/10/2026,26,宁波大学教师教育学院,例 8,解,11/10/2026,27,宁波大学教师教育学院,例 9,解,11/10/2026,28,宁波大学教师教育学院,与定理9类似，我们有,(1,)(,Abel判别法),(2)(Dirichlet判别法),11/10/2026,29,宁波大学教师教育学院,内容小结,1.,两类广义积分的,比较判别法,和,极限判别法,.,2.,若在同一积分式中出现两类广义积分,习题课,可通过分项,使每一项只含一种类型的广义积分,只有各项都收敛时,才可保证给定的积分收敛.,3,.,函数的定义及性质.,思考与练习,4,.*A-D判别法,11/10/2026,30,宁波大学教师教育学院,分析：,11/10/2026,31,宁波大学教师教育学院,作业,P.277 2(2),(4),(5);6 ；7,P.289 2（2）（4）（6）；5,11/10/2026,32,宁波大学教师教育学院,