江苏专用高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.4直线平面垂直的判定与性质讲义理苏教版.ppt

,8.4,直线、平面垂直的判定与性质,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.,直线与平面垂直,(1),定义,如果直线,l,与平面,内的,直线都垂直，则直线,l,与平面,垂直,.,(2),判定定理与性质定理,知识梳理,文字语言,图形语言,符号语言,判定,定理,如果一条直线和一个平面内的两条,直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面,l,相交,a,，,b,a,b,O,l,a,l,b,任意一条,性质,定理,如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线,_,a,b,平行,a,b,2.,直线和平面所成的角,(1),定义,平面的一条斜线与,所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角,.,若一条直线垂直于平面，它们所成的角是,，若一条直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是,的角,.,(2),范围：,0,，,.,它在这个平面内的射影,直角,0,3.,平面与平面垂直,(1),二面角的有关概念,二面角：一条直线和由这条直线出发的,所组成的图形叫做二面角；,二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作,的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,.,(2),平面和平面垂直的定义,如果两个平面所成的二面角是,，就说这两个平面互相垂直,.,两个半平面,垂直于棱,直二面角,文字语言,图形语言,符号语言,判定,定理,如果一个平面经过另一个平面的一条,，那么这两个平面互相垂直,(3),平面与平面垂直的判定定理与性质定理,垂线,性质,定理,如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们,的直线垂直于另一个平面,l,交线,知识拓展,重要结论,(1),若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面,.,(2),若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线,(,证明线线垂直的一个重要方法,).,(3),垂直于同一条直线的两个平面平行,.,(4),一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直,.,思考辨析,判断下列结论是否正确,(,请在括号中打,“,”,或,“”,),(1),直线,l,与平面,内的无数条直线都垂直，则,l,.(,),(2),垂直于同一个平面的两平面平行,.(,),(3),直线,a,，,b,，则,a,b,.(,),(4),若,，,a,a,.(,),(5),若直线,a,平面,，直线,b,，则直线,a,与,b,垂直,.(,),考点自测,1.(,教材改编,),下列命题中正确的是,_.,如果平面,平面,，且直线,l,平面,，则直线,l,平面,；,如果平面,平面,，那么平面,内一定存在直线平行于平面,；,如果平面,不垂直于平面,，那么平面,内一定不存在直线垂直于平面,；,如果平面,平面,，平面,平面,，,l,，那么,l,.,答案,解析,根据面面垂直的性质，知,不正确，直线,l,可能平行平面,，也可能在平面,内，,正确,.,2.,设平面,与平面,相交于直线,m,，直线,a,在平面,内，直线,b,在平面,内，且,b,m,，则,“,”,是,“,a,b,”,的,_,条件,.,答案,解析,充分不必要,若,，因为,m,，,b,，,b,m,，,所以根据两个平面垂直的性质定理可得,b,，,又,a,，所以,a,b,；,反过来，当,a,m,时，因为,b,m,，,且,a,，,m,共面，一定有,b,a,，,但不能保证,b,，所以不能推出,.,3.(2016,宿迁质检,),对于四面体,ABCD,，给出下列四个命题：,若,AB,AC,，,BD,CD,，则,BC,AD,；,若,AB,CD,，,AC,BD,，则,BC,AD,；,若,AB,AC,，,BD,CD,，则,BC,AD,；,若,AB,CD,，,AC,BD,，则,BC,AD,.,其中为真命题的是,_.,答案,解析,如图，取,BC,的中点,M,，连结,AM,，,DM,，,由,AB,AC,AM,BC,，,同理,DM,BC,BC,平面,AMD,，,而,AD,平面,AMD,，,故,BC,AD,.,设,A,在平面,BCD,内的射影为,O,，,连结,BO,，,CO,，,DO,，,由,AB,CD,BO,CD,，,由,AC,BD,CO,BD,O,为,BCD,的垂心,DO,BC,AD,BC,.,4.(2016,徐州模拟,),、,是两个不同的平面，,m,、,n,是平面,及平面,之外的两条不同的直线，给出四个论断：,m,n,；,；,n,；,m,，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：,_.,答案,可填,与,中的一个,5.(,教材改编,),在三棱锥,P,ABC,中，点,P,在平面,ABC,中的射影为点,O,.,(1),若,PA,PB,PC,，则点,O,是,ABC,的,_,心,.,答案,解析,外,如图,1,，连结,OA,，,OB,，,OC,，,OP,，,在,Rt,POA,、,Rt,POB,和,Rt,POC,中，,PA,PC,PB,，,所以,OA,OB,OC,，,即,O,为,ABC,的外心,.,(2),若,PA,PB,，,PB,PC,，,PC,PA,，则点,O,是,ABC,的,_,心,.,垂,答案,解析,如图,2,，延长,AO,，,BO,，,CO,，分别交,BC,，,AC,，,AB,于,H,，,D,，,G,.,PC,PA,，,PB,PC,，,PA,PB,P,，,PC,平面,PAB,，,AB,平面,PAB,，,PC,AB,，,又,AB,PO,，,PO,PC,P,，,AB,平面,PGC,，,又,CG,平面,PGC,，,AB,CG,，即,CG,为,ABC,边,AB,的高,.,同理可证,BD,，,AH,为,ABC,底边上的高，,即,O,为,ABC,的垂心,.,题型分类深度剖析,题型一直线与平面垂直的判定与性质,例,1,如图，菱形,ABCD,的对角线,AC,与,BD,交于点,O,，,AB,5,，,AC,6,，点,E,，,F,分别在,AD,，,CD,上，,AE,CF,，,EF,交,BD,于点,H,.,将,DEF,沿,EF,折到,D,EF,的位置,.,OD,.,证明：,D,H,平面,ABCD,.,证明,由已知得,AC,BD,，,AD,CD,.,又由,AE,CF,得,，故,AC,EF,.,因此,EF,HD,，从而,EF,D,H,.,由,AB,5,，,AC,6,得,DO,BO,4.,由,EF,AC,得,.,所以,OH,1,，,D,H,DH,3.,于是,D,H,2,OH,2,3,2,1,2,10,D,O,2,，故,D,H,OH,.,又,D,H,EF,，而,OH,EF,H,，且,OH,，,EF,平面,ABCD,，,所以,D,H,平面,ABCD,.,证明线面垂直的常用方法及关键,(1),证明直线和平面垂直的常用方法有：,判定定理；,垂直于平面的传递性,(,a,b,，,a,b,),；,面面平行的性质,(,a,，,a,),；,面面垂直的性质,.,(2),证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质,.,因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想,.,思维升华,跟踪训练,1,(2015,江苏,),如图，在直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中，已知,AC,BC,，,BC,CC,1,.,设,AB,1,的中点为,D,，,B,1,C,BC,1,E,.,求证：,(1),DE,平面,AA,1,C,1,C,；,证明,由题意知，,E,为,B,1,C,的中点，,又,D,为,AB,1,的中点，因此,DE,AC,.,又因为,DE,平面,AA,1,C,1,C,，,AC,平面,AA,1,C,1,C,，,所以,DE,平面,AA,1,C,1,C,.,(2),BC,1,AB,1,.,证明,因为棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,是直三棱柱，所以,CC,1,平面,ABC,.,因为,AC,平面,ABC,，所以,AC,CC,1,.,又因为,AC,BC,，,CC,1,平面,BCC,1,B,1,，,BC,平面,BCC,1,B,1,，,BC,CC,1,C,，,所以,AC,平面,BCC,1,B,1,.,又因为,BC,1,平面,BCC,1,B,1,，所以,BC,1,AC,.,因为,BC,CC,1,，所以矩形,BCC,1,B,1,是正方形，因此,BC,1,B,1,C,.,因为,AC,，,B,1,C,平面,B,1,AC,，,AC,B,1,C,C,，所以,BC,1,平面,B,1,AC,.,又因为,AB,1,平面,B,1,AC,，所以,BC,1,AB,1,.,题型二平面与平面垂直的判定与性质,例,2,如图，四棱锥,P,ABCD,中，,AB,AC,，,AB,PA,，,AB,CD,，,AB,2,CD,，,E,，,F,，,G,，,M,，,N,分别为,PB,，,AB,，,BC,，,PD,，,PC,的中点,.,(1),求证：,CE,平面,PAD,；,证明,方法一取,PA,的中点,H,，连结,EH,，,DH,.,又,E,为,PB,的中点，,所以,EH,綊,AB,.,又,CD,綊,AB,，,所以,EH,綊,CD,.,所以四边形,DCEH,是平行四边形，所以,CE,DH,.,又,DH,平面,PAD,，,CE,平面,PAD,.,所以,CE,平面,PAD,.,方法二连结,CF,.,因为,F,为,AB,的中点，,所以,AF,AB,.,又,CD,AB,，,所以,AF,CD,.,又,AF,CD,，所以四边形,AFCD,为平行四边形,.,因此,CF,AD,，又,CF,平面,PAD,，,AD,平面,PAD,，,所以,CF,平面,PAD,.,因为,E,，,F,分别为,PB,，,AB,的中点，所以,EF,PA,.,又,EF,平面,PAD,，,PA,平面,PAD,，,所以,EF,平面,PAD,.,因为,CF,EF,F,，故平面,CEF,平面,PAD,.,又,CE,平面,CEF,，所以,CE,平面,PAD,.,(2),求证：平面,EFG,平面,EMN,.,证明,因为,E,、,F,分别为,PB,、,AB,的中点，所以,EF,PA,.,又因为,AB,PA,，,所以,EF,AB,，同理可证,AB,FG,.,又因为,EF,FG,F,，,EF,平面,EFG,，,FG,平面,EFG,.,所以,AB,平面,EFG,.,又因为,M,，,N,分别为,PD,，,PC,的中点，,所以,MN,CD,，又,AB,CD,，所以,MN,AB,，,所以,MN,平面,EFG,.,又因为,MN,平面,EMN,，所以平面,EFG,平面,EMN,.,引申探究,1.,在本例条件下，证明：平面,EMN,平面,PAC,.,证明,因为,AB,PA,，,AB,AC,，,且,PA,AC,A,，,PA,平面,PAC,，,AC,平面,PAC,，,所以,AB,平面,PAC,.,又,MN,CD,，,CD,AB,，所以,MN,AB,，,所以,MN,平面,PAC,.,又,MN,平面,EMN,，,所以平面,EMN,平面,PAC,.,2.,在本例条件下，证明：平面,EFG,平面,PAC,.,证明,因为,E,，,F,，,G,分别为,PB,，,AB,，,BC,的中点，,所以,EF,PA,，,FG,AC,，,又,EF,平面,PAC,，,PA,平面,PAC,，,所以,EF,平面,PAC,.,同理，,FG,平面,PAC,.,又,EF,FG,F,，,所以平面,EFG,平面,PAC,.,(1),判定面面垂直的方法,面面垂直的定义；,面面垂直的判定定理,(,a,，,a,).,(2),在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化,.,在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直,.,思维升华,跟踪训练,2,(2016,江苏,),如图，在直三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,中，,D,，,E,分别为,AB,，,BC,的中点，点,F,在侧棱,B,1,B,上，且,B,1,D,A,1,F,，,A,1,C,1,A,1,B,1,.,求证：,(1),直线,DE,平面,A,1,C,1,F,；,证明,由已知，,DE,为,ABC,的中位线，,DE,AC,，又由三棱柱的性质可得,AC,A,1,C,1,，,DE,A,1,C,1,，,又,DE,平面,A,1,C,1,F,，,A,1,C,1,平面,A,1,C,1,F,，,DE,平面,A,1,C,1,F,.,(2),平面,B,1,DE,平面,A,1,C,1,F,.,证明,在直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中，,AA,1,平面,A,1,B,1,C,1,，,AA,1,A,1,C,1,，,又,A,1,B,1,A,1,C,1,，,且,A,1,B,1,AA,1,A,1,，,A,1,B,1,，,AA,1,平面,ABB,1,A,1,，,A,1,C,1,平面,ABB,1,A,1,，,B,1,D,平面,ABB,1,A,1,，,A,1,C,1,B,1,D,，,又,A,1,F,B,1,D,，,且,A,1,F,A,1,C,1,A,1,，,A,1,F,，,A,1,C,1,平面,A,1,C,1,F,，,B,1,D,平面,A,1,C,1,F,，,又,B,1,D,平面,B,1,DE,，,平面,B,1,DE,平面,A,1,C,1,F,.,题型三垂直关系中的探索性问题,例,3,如图，在三棱台,ABC,DEF,中，,CF,平面,DEF,，,AB,BC,.,(1),设平面,ACE,平面,DEF,a,，求证：,DF,a,；,证明,在三棱台,ABC,DEF,中，,AC,DF,，,AC,平面,ACE,，,DF,平面,ACE,，,DF,平面,ACE,.,又,DF,平面,DEF,，平面,ACE,平面,DEF,a,，,DF,a,.,(2),若,EF,CF,2,BC,，试问在线段,BE,上是否存在点,G,，使得平面,DFG,平面,CDE,？若存在，请确定,G,点的位置；若不存在，请说明理由,.,解答,线段,BE,上存在点,G,，且,BG,BE,，使得平面,DFG,平面,CDE,.,证明如下：,取,CE,的中点,O,，连结,FO,并延长交,BE,于点,G,，,连结,GD,，,GF,CF,EF,，,GF,CE,.,在三棱台,ABC,DEF,中，,AB,BC,DE,EF,.,由,CF,平面,DEF,CF,DE,.,又,CF,EF,F,，,DE,平面,CBEF,，,DE,GF,.,GF,平面,CDE,.,又,GF,平面,DFG,，,平面,DFG,平面,CDE,.,此时，如平面图所示，延长,CB,，,FG,交于点,H,，,O,为,CE,的中点，,EF,CF,2,BC,，,由平面几何知识易证,HOC,FOE,，,HB,BC,EF,.,由,HGB,FGE,可知,，即,BG,BE,.,同,“,平行关系中的探索性问题,”,的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明,.,思维升华,跟踪训练,3,(2016,北京东城区模拟,),如图，在三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，侧棱,AA,1,底面,ABC,，,M,为棱,AC,的中点,.,AB,BC,，,AC,2,，,AA,1,.,(1),求证：,B,1,C,平面,A,1,BM,；,证明,连结,AB,1,与,A,1,B,，两线交于,O,点，连结,OM,，,在,B,1,AC,中，,M,，,O,分别为,AC,，,AB,1,中点，,OM,B,1,C,，,又,OM,平面,A,1,BM,，,B,1,C,平面,A,1,BM,，,B,1,C,平面,A,1,BM,.,(2),求证：,AC,1,平面,A,1,BM,；,证明,侧棱,AA,1,底面,ABC,，,BM,平面,ABC,，,AA,1,BM,，又,M,为棱,AC,中点，,AB,BC,，,BM,AC,.,AA,1,AC,A,，,BM,平面,ACC,1,A,1,，,BM,AC,1,.,又,AA,1,，,在,Rt,ACC,1,和,Rt,A,1,AM,中，,tan,AC,1,C,tan,A,1,MA,.,AC,1,C,A,1,MA,，,即,AC,1,C,C,1,AC,A,1,MA,C,1,AC,90,，,A,1,M,AC,1,.,BM,A,1,M,M,，,AC,1,平面,A,1,BM,.,AC,2,，,AM,1.,(3),在棱,BB,1,上是否存在点,N,，使得平面,AC,1,N,平面,AA,1,C,1,C,？如果存在，求此时,的值；如果不存在，请说明理由,.,解答,当点,N,为,BB,1,中点，即,时，,证明如下：,设,AC,1,中点为,D,，连结,DM,，,DN,.,D,，,M,分别为,AC,1,，,AC,中点，,DM,CC,1,，且,DM,CC,1,.,又,N,为,BB,1,中点，,DM,BN,，且,DM,BN,，,MBND,为平行四边形，,BM,DN,，,BM,平面,ACC,1,A,1,，,DN,平面,ACC,1,A,1,.,又,DN,平面,AC,1,N,，,平面,AC,1,N,平面,AA,1,C,1,C,.,平面,AC,1,N,平面,AA,1,C,1,C,.,典例,(14,分,),如图所示，,M,，,N,，,K,分别是正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的棱,AB,，,CD,，,C,1,D,1,的中点,.,求证：,(1),AN,平面,A,1,MK,；,(2),平面,A,1,B,1,C,平面,A,1,MK,.,立体几何证明问题中的转化思想,思想方法系列,17,规范解答,思想方法指导,(1),线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；,(2),线线关系是线面关系、面面关系的基础,.,证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；,(3),证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范,.,返回,证明,(1),如图所示，连结,NK,.,在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,四边形,AA,1,D,1,D,，,DD,1,C,1,C,都为正方形，,AA,1,DD,1,，,AA,1,DD,1,，,C,1,D,1,CD,，,C,1,D,1,CD,.,2,分,N,，,K,分别为,CD,，,C,1,D,1,的中点，,DN,D,1,K,，,DN,D,1,K,，,四边形,DD,1,KN,为平行四边形，,3,分,KN,DD,1,，,KN,DD,1,，,AA,1,KN,，,AA,1,KN,，,四边形,AA,1,KN,为平行四边形，,AN,A,1,K,.,4,分,A,1,K,平面,A,1,MK,，,AN,平面,A,1,MK,，,AN,平面,A,1,MK,.,6,分,(2),如图所示，连结,BC,1,.,在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB,C,1,D,1,，,AB,C,1,D,1,.,M,，,K,分别为,AB,，,C,1,D,1,的中点，,BM,C,1,K,，,BM,C,1,K,，,四边形,BC,1,KM,为平行四边形，,MK,BC,1,.,8,分,在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,A,1,B,1,平面,BB,1,C,1,C,，,BC,1,平面,BB,1,C,1,C,，,A,1,B,1,BC,1,.,MK,BC,1,，,A,1,B,1,MK,.,四边形,BB,1,C,1,C,为正方形，,BC,1,B,1,C,.,MK,B,1,C,.,12,分,A,1,B,1,平面,A,1,B,1,C,，,B,1,C,平面,A,1,B,1,C,，,A,1,B,1,B,1,C,B,1,，,MK,平面,A,1,B,1,C,.,又,MK,平面,A,1,MK,，,平面,A,1,B,1,C,平面,A,1,MK,.,14,分,返回,课时作业,1.,若平面,平面,，平面,平面,直线,l,，则下列命题正确的有,_.,垂直于平面,的平面一定平行于平面,；,垂直于直线,l,的直线一定垂直于平面,；,垂直于平面,的平面一定平行于直线,l,；,垂直于直线,l,的平面一定与平面,，,都垂直,.,对于,，垂直于平面,的平面与平面,平行或相交，故,错误；,对于,，垂直于直线,l,的直线与平面,垂直、斜交、平行或在平面,内，故,错误；,对于,，垂直于平面,的平面与直线,l,平行或相交，故,错误；,易知,正确,.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2016,常州模拟,),设,m,、,n,是两条不同的直线，,、,是两个不同的平面，则下列命题正确的是,_.,若,m,n,，,n,，则,m,；,若,m,，,，则,m,；,若,m,，,n,，,n,，则,m,；,若,m,n,，,n,，,，则,m,.,答案,解析,中，由,m,n,n,，可得,m,或,m,或,m,与,相交，错误；,中，由,m,，,，可得,m,或,m,或,m,与,相交，错误；,中，由,m,，,n,，可得,m,n,，又,n,，则,m,，正确；,中，由,m,n,，,n,，,，可得,m,与,相交或,m,或,m,，错误,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2016,无锡模拟,),如图，在斜三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,BAC,90,，,BC,1,AC,，则,C,1,在底面,ABC,上的射影,H,必在直线,_,上,.,答案,解析,AB,由,AC,AB,，,AC,BC,1,，,AC,平面,ABC,1,.,又,AC,平面,ABC,，,平面,ABC,1,平面,ABC,.,C,1,在平面,ABC,上的射影,H,必在两平面交线,AB,上,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.,如图，三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，侧棱,AA,1,垂直底面,A,1,B,1,C,1,，底面三角形,A,1,B,1,C,1,是正三角形，,E,是,BC,中点，则下列叙述正确的是,_.,CC,1,与,B,1,E,是异面直线；,AC,平面,ABB,1,A,1,；,AE,与,B,1,C,1,是异面直线，且,AE,B,1,C,1,；,A,1,C,1,平面,AB,1,E,.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,不正确，因为,CC,1,与,B,1,E,在同一个侧面中，故不是异面直线；,不正确，由题意知，上底面,ABC,是一个正三角形，故不可能存在,AC,平面,ABB,1,A,1,；,正确，因为,AE,，,B,1,C,1,为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；,不正确，因为,A,1,C,1,所在的平面与平面,AB,1,E,相交，且,A,1,C,1,与交线有公共点，故,A,1,C,1,平面,AB,1,E,不正确,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.,如图，以等腰直角三角形,ABC,的斜边,BC,上的高,AD,为折痕，把,ABD,和,ACD,折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：,BD,AC,；,BAC,是等边三角形；,三棱锥,D,ABC,是正三棱锥；,平面,ADC,平面,ABC,.,其中正确的是,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由题意知，,BD,平面,ADC,，故,BD,AC,，,正确；,AD,为等腰直角三角形斜边,BC,上的高，,平面,ABD,平面,ACD,，,所以,AB,AC,BC,，,BAC,是等边三角形，,正确；,易知,DA,DB,DC,，又由,知,正确；,由,知,错,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.,如图所示，直线,PA,垂直于,O,所在的平面，,ABC,内接于,O,，且,AB,为,O,的直径，点,M,为线段,PB,的中点,.,现有结论：,BC,PC,；,OM,平面,APC,；,点,B,到平面,PAC,的距离等于线段,BC,的长,.,其中正确的是,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,对于,，,PA,平面,ABC,，,PA,BC,，,AB,为,O,的直径，,BC,AC,，,BC,平面,PAC,，,又,PC,平面,PAC,，,BC,PC,；,对于,，,点,M,为线段,PB,的中点，,OM,PA,，,PA,平面,PAC,，,OM,平面,PAC,，,OM,平面,PAC,；,对于,，由,知,BC,平面,PAC,，,线段,BC,的长即是点,B,到平面,PAC,的距离，故,都正确,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.(2016,镇江模拟,),已知,a,、,b,、,l,表示三条不同的直线，,、,、,表示三个不同的平面，有下列四个命题：,若,a,，,b,，且,a,b,，则,；,若,a,、,b,相交，且都在,、,外，,a,，,a,，,b,，,b,，则,；,若,，,a,，,b,，,a,b,，则,b,；,若,a,，,b,，,l,a,，,l,b,，则,l,.,其中正确命题的序号是,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,在三棱柱中，三条侧棱互相平行，但三个侧面所在平面两两相交，故,错误；,因为,a,、,b,相交，假设其确定的平面为,，根据,a,，,b,，可得,，同理可得,，因此,，,正确；,由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知,正确；,当且仅当,a,、,b,相交时结论正确，,错误,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.,如图，直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，侧棱长为,2,，,AC,BC,1,，,ACB,90,，,D,是,A,1,B,1,的中点，,F,是,BB,1,上的动点，,AB,1,，,DF,交于点,E,.,要使,AB,1,平面,C,1,DF,，则线段,B,1,F,的长为,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,设,B,1,F,x,，,因为,AB,1,平面,C,1,DF,，,DF,平面,C,1,DF,，所以,AB,1,DF,.,由已知可得,A,1,B,1,，,设,Rt,AA,1,B,1,斜边,AB,1,上的高为,h,，则,DE,.,所以,h,，,DE,.,在,Rt,DB,1,E,中，,由面积相等得,，,得,x,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.,如图，,PA,圆,O,所在的平面，,AB,是圆,O,的直径，,C,是圆,O,上的一点，,E,，,F,分别是点,A,在,PB,，,PC,上的射影，给出下列结论：,AF,PB,；,EF,PB,；,AF,BC,；,AE,平面,PBC,.,其中正确结论的序号是,_.,答案,解析,由题意知,PA,平面,ABC,，,PA,BC,.,BC,平面,PAC,，,BC,AF,.,AF,平面,PBC,，,AF,PB,，又,AE,PB,，,AE,AF,A,，,PB,平面,AEF,，,PB,EF,.,又,AC,BC,，且,PA,AC,A,，,AF,PC,，且,BC,PC,C,，,故,正确,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.,如图，在直二面角,MN,中，等腰直角三角形,ABC,的斜边,BC,，,一直角边,AC,，,BC,与,所成角的正弦值为,，则,AB,与,所成的角是,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,如图所示，作,BH,MN,于点,H,，连结,AH,，,则,BH,，,BCH,为,BC,与,所成的角,.,sin,BCH,，,设,BC,1,，则,BH,.,ABC,为等腰直角三角形，,AC,AB,，,AB,与,所成的角为,BAH,.,BAH,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.(2016,四川,),如图，在四棱锥,PABCD,中，,PA,CD,，,AD,BC,，,ADC,PAB,90,，,BC,CD,AD,.,(1),在平面,PAD,内找一点,M,，使得直线,CM,平面,PAB,，并说明理由；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,取棱,AD,的中点,M,(,M,平面,PAD,),，点,M,即为所求的一个点，理由如下：,连结,BM,，,CM,.,因为,AD,BC,，,BC,AD,，,所以,BC,AM,，且,BC,AM,，,所以四边形,AMCB,是平行四边形，从而,CM,AB,.,又,AB,平面,PAB,，,CM,平面,PAB,.,所以,CM,平面,PAB,.,(,说明：取棱,PD,的中点,N,，则所找的点可以是直线,MN,上任意一点,),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2),证明：平面,PAB,平面,PBD,.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由已知，,PA,AB,，,PA,CD,.,因为,AD,BC,，,BC,CD,AD,，,所以直线,AB,与,CD,相交，所以,PA,平面,ABCD,，,从而,PA,BD,.,又,BC,MD,，且,BC,MD,.,所以四边形,BCDM,是平行四边形，,又,AB,AP,A,，所以,BD,平面,PAB,.,又,BD,平面,PBD,，所以平面,PAB,平面,PBD,.,所以,BM,CD,AD,，所以,BD,AB,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.,如图所示，四边形,ABCD,是平行四边形，平面,AED,平面,ABCD,，,EF,AB,，,AB,2,，,BC,EF,1,，,AE,，,DE,3,，,BAD,60,，,G,为,BC,的中点,.,(1),求证：,FG,平面,BED,；,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,如图，取,BD,的中点,O,，连结,OE,，,OG,.,在,BCD,中，因为,G,是,BC,的中点，,所以,OG,DC,且,OG,DC,1.,又因为,EF,AB,，,AB,DC,，,所以,EF,OG,且,EF,OG,，,所以四边形,OGFE,是平行四边形，所以,FG,OE,.,又,FG,平面,BED,，,OE,平面,BED,，,所以,FG,平面,BED,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2),求证：平面,BED,平面,AED,；,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,在,ABD,中，,AD,1,，,AB,2,，,BAD,60,，,由余弦定理可得,BD,，进而,ADB,90,，,即,BD,AD,.,又因为平面,AED,平面,ABCD,，,BD,平面,ABCD,，,平面,AED,平面,ABCD,AD,，,所以,BD,平面,AED,.,又因为,BD,平面,BED,，,所以平面,BED,平面,AED,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(3),求直线,EF,与平面,BED,所成角的正弦值,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,因为,EF,AB,，所以直线,EF,与平面,BED,所成的角即为直线,AB,与平面,BED,所成的角,.,过点,A,作,AH,DE,于点,H,，连结,BH,.,又平面,BED,平面,AED,ED,，由,(2),知,AH,平面,BED,，,所以直线,AB,与平面,BED,所成的角即为,ABH,.,在,ADE,中，,AD,1,，,DE,3,，,AE,，,由余弦定理得,cos,ADE,，所以,sin,ADE,，,因此，,AH,AD,sin,ADE,.,在,Rt,AHB,中，,sin,ABH,.,所以直线,EF,与平面,BED,所成角的正弦值为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,13.,在直角梯形,SBCD,中，,D,C,，,BC,CD,2,，,SD,4,，,A,为,SD,的中点，如图,(1),所示，将,SAB,沿,AB,折起，使,SA,AD,，点,E,在,SD,上，且,SE,SD,，如图,(2),所示,.,(1),求证：,SA,平面,ABCD,；,证明,由题意，知,SA,AB,，,又,SA,AD,，,AB,AD,A,，,所以,SA,平面,ABCD,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2),求二面角,E,AC,D,的正切值,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,在,AD,上取一点,O,，使,AO,AD,，,连结,EO,，如图所示,.,又,SE,SD,，所以,EO,SA,.,过,O,作,OH,AC,交,AC,于,H,，连结,EH,，,则,AC,平面,EOH,，所以,AC,EH,，,所以,EHO,为二面角,E,AC,D,的平面角,.,所以,EO,平面,ABCD,.,已知,EO,SA,.,在,Rt,AHO,中，,HAO,45,，,OH,AO,sin,45,.,tan,EHO,，即二面角,E,AC,D,的正切值为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,