第章行列式行列式的性质计算.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,10 十一月 2026,第章行列式行列式的性质计算,一、对换,二、行列式的性质（重点）,三、行列式的计算（重点、难点）,四、行列式按行（列）展开,第一章 行列式,主要内容：,定义,在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做,对换,将相邻两个元素对调，叫做,相邻对换,定理1,一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,一、对 换,提问：,什么叫排列的奇偶性？,定理1,一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,证明：,设排列为,对换 与,除 外，其它元素的逆序数不改变.,当 时，,经对换后 的逆序数增加,1,，,的逆序数不变；,经对换后 的逆序数不变，的逆序数减少,1,.,因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.,设排列为,当 时，,现来对换 与,次相邻对换,次相邻对换,次相邻对换,所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变,奇偶性.,由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的,变化次数,推论,奇排列变标准排列的对换次数为奇数，,偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.,定理,2,阶行列式也可定义为,其中 为行标排列 的逆序数.,证明,而标准排列是偶排列(逆序数为,0,),所以推论成立.,性质,1,行列式,D,与它的转置行列式,D,T,相等,由此性质可知,行列式中的行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立,反之同,性质,2,互换行列式的两行,行列式变号,二、行列式的性质,性质,3,行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数,k,等于用数,k,乘此行列式,。,推论,行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,。,推论,如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于零,。,性质,4,若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和,则行列式等于两个行列式之和,。,即,性质,5,行列式中如果有两行(列)元素成比例,则行列式等于零,性质,6,把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一个数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变。,称,n,阶行列式,为,上三角行列式,。,下三角行列式,？,上三角和下三角行列式统称为,三角形行列式,。,显然，,n,阶三角形行列式等于它的主对角线上元素的乘积,三、行列式的计算,在计算行列式时,可以使用如下记号以便检查:,符号规定,第,i,行(或列)提出公因子,k,记作,r,i,k,(,或,c,i,k,),交换,i,j,两行记作,r,i,r,j,交换,i,j,两列记作,c,i,c,j,以数,k,乘第,j,行(列)加到第,i,行(列)上,记作,r,i,kr,j,(,c,i,kc,j,),对任意的,n,阶行列式可用行列式性质将其化为三角形,行列式，这时计算,n,阶行列式的值即转化为计算三角,形行列式主对角线上的元素相乘的积。,例1,计算,3,1,2,1,5,1,4,3,2,0,1,1,1,5,3,3,2,1,4,3,1,1,3,3,1,3,2,1,1,3,2,1,0,16,7,2,0,1,2,3,1,2,1,1,0,0,10,8,0,1,2,3,1,2,1,1,0,2,1,1,1,1,0,5,解：,3,1,2,1,5,1,4,3,2,0,1,1,1,5,3,3,3,5,2,1,c,1,c,2,r,2,r,1,r,4,5,r,1,0,0,8,16,6,4,0,2,1,1,7,2,0,8,6,4,r,2,r,3,0,0,10,8,0,0,15,10,r,3,4,r,2,r,4,8,r,2,0,0,5/2,0,40,r,4,r,1,r,3,r,1,6,1,1,1,1,例,2,计算,3,1,1,1,1,3,1,1,1,1,1,3,1,1,3,1,3,1,1,1,1,3,1,1,1,1,1,3,1,1,3,1,解：,c,1,c,2,c,3,c,4,6,6,6,6,1,3,1,1,1,1,1,3,1,1,3,1,6,c,1,6,1,1,1,1,1,3,1,1,1,1,1,3,1,1,3,1,r,2,r,1,0,2,0,0,0,0,0,2,0,0,2,0,6,8,48,D,例,3,计算,解：,r,4,r,3,r,3,r,2,r,2,r,1,a,b,c,d,0,a,a,b,a,b,c,0,a,2,a,b,3,a,2,b,c,0,a,3,a,b,6,a,3,b,c,a,b,c,d,0,a,a,b,a,b,c,0,0,a,2,a,b,0,0,a,3,a,b,r,4,r,3,r,3,r,2,a,b,c,d,0,a,a,b,a,b,c,0,0,a,2,a,b,0,0,0,a,r,4,r,3,a,4,对,D,1,作运算,r,i,kr,j,把,D,1,化为下三角形行列式,设为,证,例4,证明,D,D,1,D,2,其中,对,D,2,作运算,c,i,kc,j,把,D,2,化为下三角形行列式,设为,于是,对,D,的前,k,行作运算,r,i,kr,j,再对后,n,列作运算,c,i,kc,j,把,D,化为下三角形行列式,故,D,p,11,p,kk,q,11,q,nn,D,1,D,2,把,D,2,n,中的第2,n,行依次与2,n,1行、,、第2行对调(作2,n,2次相邻对换),再把第2,n,列依次与2,n,1列、,、第2列对调,得,根据例4的结果,有,D,2,n,D,2,D,2(,n,1),(,ad,bc,),D,2(,n,1),以此作递推公式,即得,D,2,n,(,ad,bc,),2,D,2(,n,2),(,ad,bc,),n,1,D,2,(,ad,bc,),n,解,例5,计算2,n,阶行列式,其中未写出的元素为0,四、余子式、代数余子式,所在的,第,i,行和第,j,列,在,n,阶行列式中，把元素,的,余子式,（,complement minor,），记作,阶行列式叫做元素,划去后，剩下来的,代数余子式,（,algebraic complement minor,），,而,前面附以符号,后，叫做元素,的,来表示，即,用符号,例如,4,阶行列式,中元素,的余子式和代数余子式分别为：,引理,一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ,例如,证,当 位于第一行第一列时,即有,又,从而,再证一般情形,此时,本次课例4,的特殊情形,把,D,中的第,i,行依次与第,i,-1行，第,i,-2行，第1行对调,得(共掉换,i,-1次)：,得(共掉换,j,-1次)：,再把,D,中的第,j,列依次与第,j,-1列，第,j,-2列，第1列对调,中的余子式,元素 在行列式,中的余子式仍然是 在,故得,于是有,在运用定理,3,来计算行列式时，总是按含,0,最多的行或列来展开行列式，因为,0,位置的代数余子式乘以,0,后仍然是,0,。,例,6,证明：,证：,由定理,3,将行列式按第,1,行展开，,对这个,n,1,阶行列式再按第,1,行展开有：,这样逐步推下去，则得到,例,7,计算,的值。,证：,用数学归纳法,所以当 时，,(1),式成立。,因为,假设(1)对于,n,-1阶范德蒙德行列式成立.,按第1列展开，并把每列的公因子 提出，,就有,设法对,D,n,降阶：从第,n,行开始，后行减去前行的,x,1,倍，有：,n,-1阶范德蒙行列式,推论,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,把行列式,D,按第,j,行展开，有,行列式,D,，特别写出了第,i,行和第,j,行,同理，,相同,把 换成 ，可得,当 时，,第,i,行,第,j,行,由此得关于代数余子式的重要性质：,其中,或,相关应用,如果第,i,行的元素为,b,1,b,2,b,n,则,有,如果第,j,列的元素为,b,1,b,2,b,n,则,有,例9,设,D,的(,i,，,j,)元的余子式和代数余子式依次记作 和 ，求,解：,小 结,一、对换,二、行列式的性质,三、行列式的计算,四、余子式与代数余子式,五、行列式按行（列）展开（重点）,六、代数余子式的性质与应用（难点）,课后作业,1）作业：书上25页习题一,第,4(1)，5(1)，6(4)(5)，8(1)，9,题,2）预习：第1章行列式第7节,