高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念课件0新人教B版选修.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,导入新课,观察与分析,我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，如果改变平面与圆锥曲线的夹角，会得到什么呢？,抛物线,双曲线,椭圆,如图：以上三个不垂直于圆锥轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，他们分别是抛物线，双曲线，和椭圆,.,观察与分析,因此我们通常把,抛物线,，,双曲线,和,椭圆,统称为,圆锥曲线,.,圆锥曲线与科研、生活、以及人类生活有着密切的关系,.,早在,16,，,17,世纪之交，开普勒就发现行星绕太阳运行是一个椭圆,.,喷泉喷出美丽的抛物线,发电厂冷却塔的外形是双曲线,曲线与方程,曲线与方程的概念,平面解析几何研究的主要问题是：,(1),根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；,(2),通过方程，研究平面曲线的性质,用坐标系研究图形性质的基本思路是，借助于坐标系，把,点与坐标,，,曲线与方程,联系起来，从而达到,形与数,的结合；再通过方程对,曲线的几何性质,进行研究，把几何问题转化为代数问题来解决。,让我们回顾一下圆及其方程的意义。,如图，以点,O,为圆心，半径为,r,(,r,0),的圆，记作,(,O,r,),，以,O,为原点建立直角坐标系,xOy,，我们可以得到圆的方程,x,2,+,y,2,=,r,2,.,上述圆的方程表示的意义是：,（,1,）设,M,(,x,0,y,0,),是,(,O,r,),上任意一点，则它到圆心,O,的距离等于,r,，,因而满足方程 ，即,x,2,+,y,2,=,r,2,.,这就是说,(,x,0,y,0,),是此方程的一个解；,如果点,(,x,0,y,0,),不在,(,O,r,),上，则必有，,即有,x,2,+,y,2,r,2,.(,x,0,y,0,),就不会是方程,x,2,+,y,2,=,r,2,的解。,（,2,）如果,(,x,0,y,0,),是方程,x,2,+,y,2,=,r,2,的一个解，则可以推得，,即点,M,(,x,0,y,0,),到圆心的距离等于,r,，点,M,在,(,O,r,),上；,如果,(,x,0,y,0,),不是方程,x,2,+,y,2,=,r,2,.,的解，则可以推出,即点,M,(,x,0,y,0,),不在,(,O,r,),上。,以上两点说明了,(,O,r,),上的点与方程,x,2,+,y,2,=,r,2,的解之间有,一一对应,关系。,我们知道,(,O,r,),可以看成一个动点,M,运动的轨迹,，于是在坐标平面上，当,(,O,r,),上一个动点,M,运动时，点,M,的坐标,(,x,y,),随着点,M,的运动而变化，点,M,运动的轨迹可以用方程,x,2,+,y,2,=,r,2,来表达。,一般地，,一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为某种条件的点的轨迹方程,。,一个二元方程总可以通过移项写成,F,(,x,，,y,)=0,的形式。其中,F,(,x,，,y,),是关于,x,y,的解析式，例如,y,=,x,2,可以写成,x,2,y,=0,的形式。,在平面直角坐标系中，如果曲线,C,与方程,F,(,x,，,y,)=0,之间具有下列关系：,（,1,）曲线,C,上的点的坐标都是方程,F,(,x,，,y,)=0,的解；,（,2,）以方程,F,(,x,，,y,)=0,的解为坐标的点都在曲线,C,上。,那么曲线,C,叫做,方程,F,(,x,，,y,)=0,的曲线,，方程,F,(,x,，,y,)=0,叫做,曲线,C,的方程,。,这就是说，如果曲线,C,的方程是,F,(,x,y,)=0.,则,M,(,x,，,y,),C F,(,x,，,y,)=0.,因此方程,F,(,x,，,y,)=0,可作为描述曲线,C,的特征性质。曲线,C,用集合特征性质描述法，可以描述为,C,=,M,(,x,，,y,)|,F,(,x,，,y,)=0.,在坐标系选定以后，曲线被它的方程所,惟一确定,，但曲线的方程表示,不是惟一的,，除与我们选取的坐标系有关外，在同一坐标系下，还会有同解方程。,由两条曲线的方程，可求出这两条曲线的交点的坐标。,已知两条曲线,C,1,和,C,2,的方程分别为,F,(,x,，,y,)=0,，,G,(,x,，,y,)=0,，则交点的坐标必须满足上面两个方程，反之如果,(,x,0,y,0,),是上面两个方程的公共解，则以,(,x,0,y,0,),为坐标的点必定是两条曲线的交点。因此求两条曲线,C,1,和,C,2,的交点坐标，只要求方程组,的实数解就可以得到。,思考与推论：,下面两个命题正确吗？,（,1,）到两条坐标轴距离相等的点的轨迹方程是,y,=,x,；,（,2,）如图，,MA,和,MB,分别是动点,M,(,x,，,y,),与两定点,A,(,1,，,0),，,B,(1,，,0),的连线，使,AMB,为直角的动点轨迹方程是：,x,2,+,y,2,=1.,不正确,不正确,例,1.,已知两圆,C,1,：,x,2,+,y,2,+6,x,16=0,，,C,2,：,x,2,+,y,2,4,x,5=0,，,求证：对任一不等于,1,的实数,，方程,x,2,+,y,2,+6,x,16+(,x,2,+,y,2,4,x,5)=0,是通过两圆交点的圆的方程。,证明：方程,x,2,+,y,2,+6,x,16+(,x,2,+,y,2,4,x,5)=0,可以变形为,(1+),x,2,+(1+),y,2,+(6,4),x,16,5=0,因为,1,，得,因为方程中等号右端大于,0,，所以它是一个圆的方程，两圆的交点坐标满足已知圆的方程，当然也满足这个方程。因此此方程表示的圆通过两圆交点。,例,2.,已知曲线,C,上的点的坐标都是方程,f,(,x,，,y,)=0,的解，则下列命题中正确的是（）,(A),满足方程,f,(,x,，,y,)=0,的点都在曲线,C,上,(B),方程,f,(,x,，,y,)=0,是曲线的方程,(C),曲线,C,是满足方程,f,(,x,，,y,)=0,的曲线,(D),方程,f,(,x,，,y,)=0,的曲线包含曲线,C,上的任意一点,D,例,3.,设圆,M,的方程为,(,x,3),2,+(,y,2),2,=2,直线,l,的方程是,x,+,y,3=0,，点,P,的坐标是,(2,，,1),，那么（）,(A),点,P,在直线,l,上，但不在圆,M,上,(B),点,P,不在直线,l,上，但在圆,M,上,(C),点,P,在直线,l,上，也在圆,M,上,(D),点,P,不在直线,l,上，也不在圆,M,上,C,证明,：,与两条坐标轴的距离的积是常数,k,（,k,0,）的点的轨迹方程是,xy,=,k,的解,.,M,R,O,Q,图,2.1-3,例,3,：,证明,：,（,1,）,如图,2.1-3,，设,M,（,x,0,，,y,0,）,是轨迹上的任一点,.,因为点,M,与,x,轴的距离为,|,y,0,|,，,与,y,轴的距离为,|,x,0,|,，所以,|,x,0,|,y,0,|=,k,，,即（,x,0,，,y,0,）是,方程,x y,=,k,的解,.,M,R,O,Q,如图,2.1-3,（,2,）,设点,M,1,的坐标（,x,1,，,y,1,）是方程,xy,=,k,的解则,x,1,y,1,=,k,即,|,x,1,|,y,1,|=,k,，,|,x,1,|,，,|,y,1,|,正是点,M,1,到纵轴和横轴的距离，因此点,M,1,到这两条直线的距离的积是常数,k,，点,M,1,是曲线上的点,.,由（,1,）（,2,）可知,x y,=,k,是与两条坐标的距离的积为常数,k,（,k,0,）的点的轨迹方程,.,已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是,A,（,0,，,3,），,B,（,-2,，,0,），,C,（,2,，,0,）,.,问,：,中线,AO,（,O,为原点）所在直线的方程是,x,=0,吗？为什么？,例,4,：,解,：是，由图可知，等腰三角形,ABC,的边,BC,上的中线,AO,所在直线的方程是：,x,=0,A,B,C,O,x,y,这里的“曲线”指的是三角形,ABC,中,BC,的中线所在的直线,x,=0,是这条曲线的方程,.,在理解什么是“曲线”时，要注意曲线是满足条件的图形；在理解“方程”时，要注意方程包含对其中未知数的限制,.,比如本例题中，三角形,ABC,中,BC,的中线的方程是,x,=0,（,0,y,3,）,.,注意！,课堂练习,1.,下列各组方程中表示相同曲线的是（）,(A)(B),(C)(D),D,2.,已知直线,l,：,x,+,y,3=0,及曲线,C,：,(,x,3),2,+(,y,2),2,=2,，则点,M,(2,，,1),（）,(A),在直线,l,上，但不在曲线,C,上,(B),在直线,l,上，也在曲线,C,上,(C),不在直线,l,上，也不在曲线,C,上,(D),不在直线,l,上，但在曲线,C,上,B,3.,曲线,y,=,x,2,与,x,2,+,y,2,=5,的交点是（）,(2,，,1),(B)(2,，,1),(C)(2,，,1),或,(2,，,5),(D)(2,，,1),或,(2,，,5),B,4.,命题“曲线,S,上的点的坐标满足方程,F,(,x,，,y,)=0”,是正确的，则下列命题正确的一个是（）,(A),方程,F,(,x,，,y,)=0,的曲线是,S,(B),满足方程,F,(,x,，,y,)=0,的点都在曲线,S,上,(C),曲线,S,是方程,F,(,x,，,y,)=0,的轨迹,(D),方程,F,(,x,，,y,)=0,的曲线不一定是,S,D,5.,方程,4,x,2,y,2,+4,x,+2,y,=0,表示的曲线是（）,一个点,(B),两条互相平行的直线,(C),两条相交但不垂直的直线,(D),两条相互垂直的直线,C,6.,经过两圆,2,x,2,+2,y,2,3,x,+4,y,=0,与,x,2,+,y,2,+2,x,+6,y,6=0,的交点的直线方程为,。,7.,P,(,m,+1,，,m,+4),在曲线,y,=,x,2,+5,x,+3,上，则,m,的值为,。,7,x,+8,y,12=0,1,或,5,8.“,点,M,在曲线,y=|x|,上”是“点,M,到两坐标轴距离相等”的,条件。,9.,已知,0,2,，点,P,(cos,，,sin,),在曲线,(,x,2),2,+,y,2,=3,上，则,的值为,.,充分不必要,10.,已知,ABC,的面积为,4,，,A,、,B,两点的坐标分别是（,2,，,0,）、（,2,，,0,），则顶点,C,的轨迹方程是,_.,y=2,和,y=,2,解,：如图，设围成四边形为,OABC,，因,OABC,有外接圆，且,AOC,90,，故,ABC,90.,两条直线,x,+3,y,-7=0,kx,y,2=0,互相垂直，,(-),k,=-1,，即,k,=3.,11.,已知直线,x,+3,y,-7=0,，,kx-y,-2=0,和,x,轴、,y,轴围成,四边形有外接圆，求,k,.,