高等数学人教版PPT11.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,10 十一月 2026,高等数学人教版PPT11,一、集合的概念,集合,是具有某种属性的事物的全体，构成集合的事物或对象称为,集合的元素,。,集合举例：,例1,1980年2有1日在北京市出生的人。,例2,彩电，电冰箱，录像机。,例3,x,2,-,5,x,+,6,=,0的根。,例4,全体偶数。,例5,直线,x,+,y,-,1,=,0上所有的点。,下页,通常用大写字母,A,、,B,、,C,等表示集合，用小写字母,a,、,b,、,c,等表示集合的元素。,如果,a,是集合,A,的元素，则记作,a,A,，读作,a,属于,A,；如果,a,不是集合,A,的元素，则记作,a,A,，读作,a,不属于,A,。,一、集合的概念,集合,是具有某种属性的事物的全体，构成集合的事物或对象称为,集合的元素,。,由有限个元素构成的集合称为,有限集合,，由无限多个元素构成的集合称为,无限集合,。,首页,二、集合的表示法,列举法：,按任意可导序列出集合的所有元素，并用花括号括起来。,例1,由,a,、,b,、,c,、,d,四个元素组成的集合,A,可表示为,A,=,a,b,c,d,。,例2,由,x,2,-,5,x,+,6,=,0的根所构成的集合,B,可表示为,B,=,2,3。,描述法：,设,P,(,a,)为某个与,a,有关的条件或法则，,A,为满足,P,(,a,)的一切,a,构成的集合，则记为,A,=,a,|,P,(,a,)。,例3,由,x,2,-,5,x,+,6,=,0的根所构成的集合,B,可表示为,B,=,x,|,x,2,-,5,x,+,6,=,0。,例4,全体偶数构成的集合可表示为,D,=,x,|,x,=,2,n,n,为整数。,首页,三、全集与空集,全集:,由所研究的所有事物构成的集合称为,全集,，记为,U,。,全集是,相对,的，一个集合在一定条件下是全集，在另一条件下就可能不是全集。,例如，讨论的问题仅限于正整数，则全体正整数的集合为全集；讨论的问题包括正整数和负整数，则全体正整数就不是全集。,下页,三、全集与空集,全集:,由所研究的所有事物构成的集合称为,全集,，记为,U,。,空集:,不包含任何元素的集合称为,空集,，记作,F,。,例,x,2,+,1,=,0的实数根构成的集合为空集。,首页,注意:,0,F,不是空集,。,四、子集,定义11,如果集合,A,的每一个元素都是集合,B,的元素，即“如果,a,A,，则,a,B,”，则称,A,为,B,的,子集,。记为,A,B,或,B,A,，读作,A,包含于,B,或,B,包含,A,。,例1,设,N,表示全体自然数的集合，,F,表示全体有理数的集合，则有,N,F,。,例2,设,A,=,1,2,3,4,5，,B,=,1,3,5，则,B,A,。,A,B,下页,四、子集,定义11,如果集合,A,的每一个元素都是集合,B,的元素，即“如果,a,A,，则,a,B,”，则称,A,为,B,的,子集,。记为,A,B,或,B,A,，读作,A,包含于,B,或,B,包含,A,。,定义12,设有集合,A,和,B,，如果,B,A,且,A,B,，则称,A,与,B,相等，记作,A,=,B,。,例3,设,A,=,x,|,x,为大于1小于4的整数，,B,=,x,|,x,2,-,5,x,+,6,=,0，则,A,=,B,。,下页,四、子集,定义11,如果集合,A,的每一个元素都是集合,B,的元素，即“如果,a,A,，则,a,B,”，则称,A,为,B,的子集。记为,A,B,或,B,A,，读作,A,包含于,B,或,B,包含,A,。,定义12,设有集合,A,和,B,，如果,B,A,且,A,B,，则称,A,与,B,相等，记作,A,=,B,。,关于子集有下列结论：,(1),A,A,；,(2),F,A,；,(3)如果,A,B,，,B,C,，则,A,C,。,首页,五、集合的运算,定义13,设有集合,A,和,B,，由,A,和,B,的所有元素构成的集合称为,A,与,B,的并，记为,A,B,。即,A,B,=,x,|,x,A,或,x,B,。,A,B,下页,五、集合的运算,定义13,设有集合,A,和,B,，由,A,和,B,的所有元素构成的集合称为,A,与,B,的并，记为,A,B,。即,A,B,=,x,|,x,A,或,x,B,。,定义14,设有集合,A,和,B,，由,A,和,B,的所有公共元素构成的集合称为,A,与,B,的交，记为,A,B,，即,A,B,=,x,|,x,A,且,x,B,。,A,B,A,B,下页,集合的并与交有下列性质：,(1),A,A,B,，,B,A,B,；,A,B,A,，,A,B,B,。,(2)对任何集合,A,有,A,F,=,A,，,A,U,=,U,，,A,A,=,A,；,A,F,=,F,，,A,U,=,A,，,A,A,=,A,。,五、集合的运算,A,B,A,B,下页,例1,设,A,=,1,2,3,4，,B,=,3,4,5,6，则,如果,A,B,=,F,，则称,A,、,B,是分离的。,A,B,A,B,例4,如果,A,为奇数集合，,B,为偶数集合，则,A,B,A,B,例3,设,A,=,x,|,-,1,x,1，,B,=,x,|,x,0，则,表示会英语,且,会日语的人的集合。,表示会英语,或,会日语的人的集合，,例2,设,A,为某单位会英语的人的集合，,B,为会日语的人的集合，则,=,3,4。,=,1,2,3,4,5,6，,A,B,A,B,A,B,A,B,=,x,|0,x,1。,=,x,|,x,-,1，,=,F,。,=,x,|,x,为奇数或偶数，,下页,定义15,设有集合,A,和,B,，属于,A,而不属于,B,的所有元素构成的集合称为,A,与,B,的差，记为,A,-,B,。即,A,-,B,=,x,|,x,A,且,x,B,。,例5,设,A,=,1,2,3,4，,B,=,3,4,5,6，则,A,B,A,-,B,=,1,2。,A,-,B,下页,U,定义16,全集,U,中所有不属于,A,的元素构成的集合称为,A,的补集，记为,A,。即,A,=,x,|,x,U,且,x,A,。,补集有下列性质：,A,A,=,U,，,A,A,=,F,。,定义15,设有集合,A,和,B,，属于,A,而不属于,B,的所有元素构成的集合称为,A,与,B,的差，记为,A,-,B,。即,A,-,B,=,x,|,x,A,且,x,B,。,A,B,A,-,B,A,A,=,U,-,A,下页,例6,设参加考试的学生为全集,U,。如果,A,表示及格的学生集合，则,A,表示不及格的学生集合。,定义16,全集,U,中所有不属于,A,的元素构成的集合称为,A,的补集，记为,A,。即,A,=,x,|,x,U,且,x,A,。,补集有下列性质：,A,A,=,U,，,A,A,=,F,。,定义15,设有集合,A,和,B,，属于,A,而不属于,B,的所有元素构成的集合称为,A,与,B,的差，记为,A,-,B,。即,A,-,B,=,x,|,x,A,且,x,B,。,首页,六、集合运算律,(1)交换律：,A,B,=,B,A,，,A,B,=,B,A,；,(2)结合律：(,A,B,),C,=,A,(,B,C,)，,(,A,B,),C,=,A,(,B,C,)；,(3)分配律：(,A,B,),C,=,(,A,C,),(,B,C,)，,(,A,B,),C,=,(,A,C,),(,B,C,)；,(4)摩根律：(,A,B,),=,A,B,，,(,A,B,),=,A,B,。,首页,七、集合的笛卡尔乘积,将两个元素,x,和,y,按前后顺序排列成一个元素组(,x,y,)，称为二元有序数组。,(,x,y,)与(,y,x,)是两个不同的二元有序数组。,类似地，有三元有序数组(,x,y,z,)，,，,n,元有序数组(,a,1,a,2,a,n,)。,下页,七、集合的笛卡尔乘积,定义17,设有集合,A,和,B,。,x,A,，,y,B,，所有二元有序数组(,x,y,)构成的集合称为集合,A,与,B,的笛卡尔乘积,，记为,A,B,。即,A,B,=,(,x,y,)|,x,A,，,y,B,。,类似地，可以定义,A,B,C,=,(,x,y,z,)|,x,A,，,y,B,，,z,C,。,例1,设,A,=,1,2,3,4，,B,=,2,3，则,A,B,=,(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,2),(4,3)。,例2,设,R,为全体实数的集合，则笛卡尔直角坐标系的坐标平面可记作,R,R,=,(,x,y,)|,x,R,，,y,R,。,结束,1.2 实数集,一、实数与数轴(略),四、邻域,三、区间,二、绝对值(略),上页,下页,铃,结束,返回,首页,下页,满足不等式,a,x,b,的所有实数,x,的集合称为以,a,、,b,为端点的开区间，记为(,a,b,)。即,(,a,b,),=,x,|,a,x,b,。,x,O,(,a,b,),a,b,开区间：,三、区间,闭区间：,a,b,=,x,|,a,x,b,。,x,O,a,b,a,b,半开区间：,a,b,),=,x,|,a,x,b,，,(,a,b,=,x,|,a,x,b,，,x,O,a,b,),a,b,无穷区间：,a,+,),=,x,|,a,x,，,(,-,b,),=,x,|,x,b,，,(,-,+,),=,x,|,x,|,+,。,x,O,a,+,),a,首页,设,d,是一正数，则称开区间(,a,-,d,a,+,d,)为点,a,的,d,邻域，记作,U,(,a,d,)，即,U,(,a,d,),=,x,|,a,-,d,x,a,+,d,=,x,|,x,-,a,|,d,。,其中点,a,称为,邻域的中心,，,d,称为,邻域的半径,。,x,O,a,-,d,U,(,a,d,),a,+,d,a,四、邻域,以点,a,为中心的任何开区间称为点,a,的,邻域,，记作,U,(,a,)。,去心邻域：,x,O,a,-,d,a,+,d,a,U,(,a,d,),。,结束,1.3 函数关系,四、多值函数,二、函数关系,三、函数符号,f,(,x,)的使用,一、关系(略),上页,下页,铃,结束,返回,首页,五、隐函数,下页,二、函数关系,我们熟悉如下公式或方程：,圆周长公式：,L,=,2,p,r,(,r,0)；,圆面积公式：,S,=,p,r,2,(,r,0),；,自由落体的速度公式：,V,=,gt,(,t,0),。,直线方程：,y,=,ax,+,b,(,-,x,+,)；,抛物线方程：,y,=,(,x,-,a,),2,+,b,(,-,x,y,是否是函数关系？,定义域和对应规则是确定函数关系的,两个要素,。,下页,解：,要使函数有意义，必须3,x,-,20且lg(3,x,-,2),0，,因此，函数的定义域为,在抽象地研究用算式表达的函数时，函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。,下页,定义域的确定：,解：,要使函数有意义，必须,解之得,-,4,x,n,)，为使运费最省，想在铁路上另修一小站,M,作为转运站，那么运费的多少决定于,M,的地点。试将运费表为距离|,BM,|的函数。,B,M,C,A,b,x,a,解：,设|,BM,|,=,x,，运费为,y,。,根据题意，有,其定义域为0,b,。,1.5,建立,函数关系的例题,